Rechner für Mittelwert, Median, Modus und Bereich

Mittelwert, Median, Modus und Spannweite berechnen

Unser kostenloser Rechner für Mittelwert, Median, Modus und Spannweite (Range) macht es Ihnen unglaublich einfach, diese wichtigen statistischen Kennzahlen gleichzeitig zu ermitteln. Geben Sie Ihre Rohdaten einfach manuell ein oder kopieren Sie diese direkt in das Eingabefeld. Achten Sie lediglich darauf, die einzelnen Zahlen oder Werte Ihres Datensatzes durch Kommas zu trennen. Klicken Sie anschließend auf "Berechnen".

In Sekundenschnelle erhalten Sie Ihre präzisen Ergebnisse. Unser Statistik-Rechner ermittelt dabei nicht nur das arithmetische Mittel (Mittelwert), den Median, den Modus und die Spannweite, sondern berechnet zusätzlich das geometrische Mittel, den größten und kleinsten Wert, die Summe sowie die Gesamtanzahl der Werte. Zudem wird Ihnen der Datensatz übersichtlich und aufsteigend sortiert präsentiert.

Mit diesem praktischen Tool zur Datenanalyse finden Sie mühelos den perfekten repräsentativen Wert für Ihren Datensatz. Während Mittelwert, Median und Modus die zentrale Tendenz (Lageparameter) beschreiben, hilft Ihnen die Spannweite dabei, die Streuung Ihrer Daten zu verstehen. Im Folgenden schauen wir uns die einzelnen statistischen Kennzahlen genauer an.

Definition des Mittelwerts

Der Mittelwert (oft auch als Durchschnitt bezeichnet) ist die Summe aller Werte in Ihrem Datensatz geteilt durch die Gesamtzahl der vorhandenen Datenwerte. In der Statistik wird der Mittelwert einer Grundgesamtheit mit dem griechischen Buchstaben μ (Mu) dargestellt, während der Mittelwert einer Stichprobe mit x̄ (x-Quer) bezeichnet wird.

Um den Mittelwert einer Grundgesamtheit zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:

$$\mu=\frac{Summe\ der\ Werte\ des\ Datensatzes}{Gesamtzahl\ der\ Werte\ der\ Daten\ in\ der\ Bevölkerung}=\frac{ΣX}{N}$$

Für die Berechnung des Mittelwerts einer Stichprobe gilt diese Formel:

$$\bar{X}=\frac{Summe\ der\ Werte\ des\ Datensatzes}{Gesamtzahl\ der\ Werte\ der\ Daten\ in\ der\ Stichprobe}=\frac{ΣX}{n}$$

Schauen wir uns die Berechnung des Mittelwerts an einem praktischen Beispiel an.

Beispiel:

Im Folgenden sind die Körpergrößen (in Metern) einer Mannschaft von College-Basketballspielern aufgelistet. Wie hoch ist die durchschnittliche Körpergröße der Spieler?

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Lösung:

$$Die\ mittlere\ Höhe=\frac{\sum{}{}X}{N}=\frac{1,75\ m+1,96\ m+1,95\ m+2,00\ m+2,05\ m+2,05\ m+2,10\ m}{7}=\frac{13,86\ m}{7}=1,98\ m$$

Da der Mittelwert aus allen Werten des Datensatzes berechnet wird, ist er ein hervorragender repräsentativer Wert für Ihre Daten.

Unser Rechner kann jedoch nicht nur das oben erwähnte arithmetische Mittel bestimmen, sondern auch das geometrische Mittel Ihres Datensatzes berechnen. Das geometrische Mittel ist definiert als die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Elementen eines Datensatzes.

$$Geometrisches\ Mittel=\sqrt[n]{x₁ × x₂ × x₃ × \cdots × xₙ}$$

Berechnen wir nun das geometrische Mittel für unser Basketball-Beispiel:

$$Geometrisches\ Mittel=\sqrt[7]{1,75×1,96×1,95×2,00×2,05×2,05×2,10}=\sqrt[7]{118,0554}=1,977$$

Für jede Menge von nicht-negativen Zahlen ist das geometrische Mittel stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

In unserem Beispiel gilt also:

$$Geometrisches\ Mittel < Arithmetisches\ Mittel\$$

$$1,977<1,98$$

Definition des Medians

Der Median (Zentralwert) ist der genaue Mittelpunkt eines auf- oder absteigend sortierten Datensatzes. Er teilt Ihre Daten somit in zwei exakt gleich große Hälften.

$$Median=Wert\ der\ \left(\frac{N+1}{2}\right)-te\ Element$$

Wenn die Anzahl der Werte in Ihrem Datensatz ungerade ist, entspricht der Median exakt dem mittleren Wert der sortierten Liste. Unser Rechner nimmt Ihnen dabei die Arbeit ab und sortiert die Daten automatisch. Ist die Anzahl der Werte hingegen gerade, wird der Median berechnet, indem der Durchschnitt der beiden mittleren Werte gebildet wird.

Ermitteln wir den Median für unser vorheriges Beispiel.

Zunächst müssen wir den Datensatz der Größe nach sortieren:

1,75 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Nun ermitteln wir den mittleren Wert:

$$Median=Wert\ der\ \left(\frac{N+1}{2}\right)-te\ Element = Wert\ der\ \left(\frac{7+1}{2}\right)-te\ Element = Wert\ der\ 4-te\ Element$$

Der Wert des 4. Elements im sortierten Datensatz beträgt 2,00 m. Daher gilt:

Median = 2,00 m

Nehmen wir nun an, die Basketballmannschaft bekommt einen neuen Spieler, der 1,90 m groß ist. Wie verändert sich nun die durchschnittliche Körpergröße (der Median) der Mannschaft?

Die unkorrigierten Größen der Spieler sehen nun so aus:

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m, 1,90 m

Zunächst bringen wir den Datensatz wieder in die richtige Reihenfolge:

1,75 m, 1,90 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Nun suchen wir erneut die Mitte:

$$Median=Wert\ der\ \left(\frac{N+1}{2}\right)-te\ Element = Wert\ der\ \left(\frac{8+1}{2}\right)-te\ Element = Wert\ der\ {4,5}-te\ Element$$

Da wir nun eine gerade Anzahl von Spielern (8) haben, müssen wir den Durchschnitt der beiden mittleren Werte berechnen. In diesem Fall ist der Median der Durchschnitt aus dem 4. und 5. Wert.

Daher gilt:

$$Median=\frac{1,96\ m+2,00\ m}{2}=1,98\ m$$

Der Median ist ein besonders robustes Maß für die zentrale Tendenz und extrem nützlich, wenn Ihr Datensatz Ausreißer oder Extremwerte aufweist. Solche extremen Werte verfälschen den Median nicht, da dieser sich ausschließlich an den mittleren Positionen orientiert. Obwohl der Median einen hervorragenden zentralen Bezugspunkt bietet, bezieht er (im Gegensatz zum Durchschnitt) nicht den exakten numerischen Wert jedes einzelnen Datenpunkts in die Berechnung mit ein.

Definition des Modus

Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der am häufigsten vorkommende Wert in einem Datensatz.

Lassen Sie uns den Modus für unser Basketball-Beispiel ermitteln.

Alle Körpergrößen der Spieler kommen genau einmal vor – mit Ausnahme von 2,05 m. Zwei Spieler der Mannschaft sind exakt 2,05 m groß. Daher ist dies der häufigste Wert in unserem Datensatz.

Modus = 2,05 m

Da es in unserem Beispiel nur einen einzigen Modus gibt, bezeichnet man diesen Datensatz als unimodal. Ein Datensatz kann jedoch auch mehrere Modi besitzen. Gibt es zwei häufigste Werte, spricht man von bimodal, bei mehr als zwei von multimodal. Wichtig zu wissen: Wenn jeder Wert in einem Datensatz nur ein einziges Mal vorkommt, besitzt dieser Datensatz keinen Modus.

Der Modus lässt sich meist durch einfaches Ablesen und ohne komplexe Berechnungen finden. Im Gegensatz zum Mittelwert ist er jedoch keine mathematische Repräsentation aller Werte in den Daten.

Definition der Spannweite (Range)

Die Spannweite (in der Statistik oft auch als Range bezeichnet) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert Ihres Datensatzes. Es ist das einfachste statistische Streuungsmaß, das Sie berechnen können, um die Verteilung Ihrer Daten zu beurteilen.

Spannweite = Größter Wert - Kleinster Wert

Wenden wir dies auf unser vorheriges Beispiel an.

Um die Spannweite zu ermitteln, identifizieren Sie zunächst den höchsten und den niedrigsten Wert in Ihrem Datensatz. Ist der Datensatz unsortiert, nimmt Ihnen unser Rechner diese Arbeit ab und zeigt das Maximum und Minimum sofort an.

Anschließend subtrahieren Sie den kleinsten Wert vom größten.

größter Wert = 2,10 m

kleinster Wert = 1,75 m

Daraus ergibt sich:

Spannweite = 2,10 m - 1,75 m = 0,35 m

Da die Spannweite ausschließlich die beiden extremsten Randwerte berücksichtigt und alle dazwischenliegenden Datenpunkte ignoriert, ist dieses Maß naturgemäß sehr anfällig für Ausreißer und statistische Verzerrungen.