Prozentualer Rückgang Rechner

Dieser Rechner für die prozentuale Abnahme (auch Prozentrechner genannt) ermittelt schnell und präzise den prozentualen Rückgang von einem bestimmten Wert (dem Ausgangswert) zu einem anderen (dem Endwert).

Gebrauchsanweisung

Um den Rechner für die prozentuale Abnahme zu verwenden, geben Sie einfach den Ausgangs- und Endwert in die entsprechenden Eingabefelder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Rechner zeigt Ihnen sofort den prozentualen Rückgang an. Sollte der Endwert größer als der Ausgangswert sein, ist der berechnete prozentuale Rückgang negativ. In diesem Fall zeigt der Rechner sowohl die negative prozentuale Abnahme als auch die entsprechende (positive) prozentuale Zunahme an.

Sie können ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Zahlen in wissenschaftlicher Notation (E-Notation) eingeben. Beide Eingabewerte können sowohl positiv als auch negativ sein.

Berechnung des prozentualen Rückgangs

Um die prozentuale Abnahme von einem Ausgangswert Vₛ zu einem Endwert V𝒻 manuell zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Subtrahieren Sie den Endwert vom Ausgangswert: Vₛ - V𝒻.
2. Dividieren Sie das Ergebnis aus Schritt 1 durch den absoluten Wert (den Betrag) von Vₛ: (Vₛ - V𝒻) / |Vₛ|.
3. Multiplizieren Sie das Ergebnis aus Schritt 2 mit 100, um den Wert in Prozent zu erhalten.

Die folgende Formel fasst die oben genannten Schritte zusammen:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100$$

Beispiel 1

Ermitteln Sie den prozentualen Rückgang von 80 auf 10.

Lösung

Gegeben sind: Vₛ = 80, V𝒻 = 10. Nach den Schritten der obigen Anleitung berechnen wir:

1. Subtrahiert man den Endwert vom Ausgangswert, erhält man Vₛ - V𝒻 = 80 - 10 = 70.
2. Da Vₛ positiv ist (Vₛ > 0), gilt |Vₛ| = Vₛ. Dividiert man das Ergebnis aus Schritt 1 durch |Vₛ|, erhält man: 70 / |80| = 70 / 80 = 7 / 8 = 0,875.
3. Multipliziert man das Ergebnis aus Schritt 2 mit 100, erhält man: 0,875 × 100 = 87,5.

Oder direkt mit der zusammenfassenden Formel:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100=\frac{80-10}{|80|}×100=70/80×100=0,875×100=87,5$$

Antwort

Der prozentuale Rückgang von 80 auf 10 beträgt 87,5 %.

Negativer prozentualer Rückgang

Wenn der Endwert größer ist als der Ausgangswert (V𝒻 > Vₛ), ist der Wert offensichtlich gestiegen und nicht gesunken. Schauen wir uns an, wie sich diese Tatsache in der oben beschriebenen Formel widerspiegelt.

Beachten Sie, dass wir in Schritt 1 den Wert V𝒻 von Vₛ subtrahieren: Vₛ - V𝒻. Wenn Vₛ < V𝒻 ist, wird das Ergebnis dieser Subtraktion negativ. Dies ist der einzige Schritt, der das Vorzeichen des Ergebnisses beeinflusst. In Schritt 2 dividieren wir durch den absoluten Wert von Vₛ, und absolute Werte sind immer positiv. In Schritt 3 wird das Ergebnis lediglich mit 100 multipliziert, was das Vorzeichen ebenfalls nicht verändert.

Das bedeutet: Wenn V𝒻 > Vₛ, ist das Ergebnis der Subtraktion aus Schritt 1 negativ, und wir erhalten am Ende der Berechnung eine negative prozentuale Abnahme. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine prozentuale Zunahme.

Beispiel 2

Ermitteln Sie den prozentualen Rückgang von -25 auf 25.

Lösung

Gegeben sind: Vₛ = -25, V𝒻 = 25. Nach der schrittweisen Methode ergibt sich:

1. Subtrahiert man den Endwert vom Ausgangswert, erhält man Vₛ - V𝒻 = -25 - 25 = -50.
2. Da Vₛ negativ ist (Vₛ < 0), gilt |Vₛ| = -Vₛ. Dividiert man das Ergebnis aus Schritt 1 durch |Vₛ|, erhält man: (-50) / |(-25)| = (-50) / 25 = -(50 / 25) = -2.
3. Multipliziert man das Ergebnis aus Schritt 2 mit 100, erhält man: (-2) × 100 = -200.

Oder mit der zusammenfassenden Formel:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100=\frac{(-25)-25}{|(-25)|}×100=(-50)/25×100=(-2)×100=-200$$

Der ermittelte prozentuale Rückgang ist negativ. Daher liegt in diesem Fall eine prozentuale Zunahme vor.

Antwort

Der prozentuale Rückgang von -25 auf 25 beträgt -200 %. Die prozentuale Zunahme von -25 auf 25 beträgt 200 %.

Formel für prozentuale Veränderung

Die Formeln für die prozentuale Zunahme und die prozentuale Abnahme lassen sich in einer allgemeinen Formel für die prozentuale Veränderung zusammenfassen:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100$$

Ist das Ergebnis der prozentualen Veränderung positiv, handelt es sich um eine prozentuale Zunahme. Ist das Ergebnis negativ, handelt es sich um einen prozentualen Rückgang.

Beispiel 3

Ermitteln Sie die prozentuale Veränderung von 0,1 auf 0,01. Handelt es sich bei der Veränderung um eine prozentuale Zunahme oder eine prozentuale Abnahme?

Lösung

Gegeben sind: Vₛ = 0,1, V𝒻 = 0,01. Da der Ausgangswert größer als der Endwert ist, erkennen wir sofort, dass es sich um eine Abnahme handelt. Nutzen wir nun die Formel für die prozentuale Veränderung, um diese Annahme zu bestätigen und den genauen Wert zu berechnen:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100=\frac{0,01-0,1}{|0,1|}×100=((-0,09))/0,1×100=(-0,9)×100= -90$$

Die berechnete prozentuale Veränderung ist negativ (-90), was unsere Schlussfolgerung bestätigt, dass es sich um einen prozentualen Rückgang handelt. Der Wert des Rückgangs entspricht 90 %.

Antwort

Die Veränderung von 0,1 auf 0,01 entspricht einem prozentualen Rückgang von 90 %.

Anwendungen im echten Leben

Beispiel 4

Der Preis für ein Videospiel lag im März bei 80 $ und fiel im April auf 60 $. Wie hoch ist der prozentuale Rückgang des Preises?

Lösung

Gegeben sind: Vₛ = 80, V𝒻 = 60. Verwenden wir zunächst die schrittweise Berechnung, um den prozentualen Rückgang zu ermitteln:

1. Subtrahiert man den Endwert vom Ausgangswert, erhält man Vₛ - V𝒻 = 80 - 60 = 20.
2. Da Vₛ positiv ist (Vₛ > 0), gilt |Vₛ| = Vₛ. Dividiert man das Ergebnis aus Schritt 1 durch |Vₛ|, erhält man: 20 / |80| = 20 / 80 = 2 / 8 = 1 / 4 = 0,25.
3. Multipliziert man das Ergebnis aus Schritt 2 mit 100, erhält man: 0,25 × 100 = 25.

Oder mit der zusammenfassenden Formel:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100=\frac{80-60}{|80|}×100=20/80×100=2/8×100=0,25×100=25$$

Antwort

Der Preis des Videospiels ist um 25 % gesunken.

Beispiel 5

Die Formel für die prozentuale Abnahme lässt sich auch umstellen, um den Endwert zu berechnen, wenn der Ausgangswert und die prozentuale Abnahme bereits bekannt sind. Stellen Sie sich vor, Sie erfahren per E-Mail, dass Ihr Gehalt im nächsten Monat um 5 % gekürzt wird. Ihr aktuelles Gehalt beträgt 800 $ pro Woche. Wie hoch wird Ihr neues Gehalt sein?

Lösung

Gegeben sind: Vₛ = 800, prozentualer Rückgang = 5 %. Wir setzen die bekannten Werte in die Formel ein, um den gesuchten Endwert V𝒻 (Ihr künftiges Gehalt) zu berechnen:

$$Prozentualer\ Rückgang=\frac{V_s-V_f}{|V_s|}×100$$

$$5=\frac{800-V_f}{|800|}×100$$

Nachdem die Nullen bei 800 und 100 gekürzt wurden, ergibt sich:

$$5=\frac{800-V_f}{8}$$

5 × 8 = 800 - V𝒻

40 = 800 - V𝒻

V𝒻 = 800 - 40 = 760

Antwort

Ihr neues Gehalt beträgt 760 $.