Quoten-Wahrscheinlichkeits-Rechner

Bei Prognosen, Wetten und in der Statistik fallen häufig die Begriffe „Wahrscheinlichkeit“ und „Quote“ (im Englischen oft als Odds bezeichnet). Oft werden sie fälschlicherweise synonym verwendet, doch das ist nicht korrekt. Es gibt grundlegende mathematische Unterschiede zwischen einer Wahrscheinlichkeit und einer Quote, die vor allem bei der Nutzung eines Wahrscheinlichkeitsrechners entscheidend sind.

Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Chance ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Mathematisch ausgedrückt ist es der Anteil der günstigen (gewünschten) Ergebnisse an allen überhaupt möglichen Ergebnissen.

Ein einfaches Beispiel verdeutlicht dieses Prinzip.

Beispiel für Wahrscheinlichkeit

Ein Standard-Kartenspiel mit 52 Karten enthält 12 Bildkarten (König, Dame und Bube in jeder der vier Farben).

Angenommen, ein Freund mischt die Karten und bittet Sie, blind eine Karte aus dem verdeckten Stapel zu ziehen. Sie sind sicher, dass Sie gewinnen können, und bieten folgende Wette an: Sie zahlen ihm 1 $, wenn Sie keine Bildkarte ziehen. Ziehen Sie jedoch eine Bildkarte, zahlt er Ihnen 5 $.

Wie ermittelt man hier die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist die Chance, aus allen möglichen Ergebnissen genau eine Bildkarte zu erhalten. Das Deck besteht aus 52 Karten, das bedeutet, es gibt insgesamt 52 mögliche Ergebnisse. Ihr gewünschtes Ereignis ist das Ziehen einer Bildkarte. Da das Spiel 12 Bildkarten enthält, gibt es genau 12 mögliche Treffer (günstige Ergebnisse).

Sie setzen nun die Anzahl der gewünschten Ereignisse ins Verhältnis zur Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. Das ergibt 12/52. Genau auf diese Weise wird die grundlegende Wahrscheinlichkeit berechnet.

Definition von Quoten (Odds)

Quoten messen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf etwas andere Weise: Sie vergleichen die Anzahl der gewünschten (günstigen) Ergebnisse direkt mit der Anzahl der unerwünschten (ungünstigen) Ergebnisse. Mit anderen Worten: Quoten sind eine Darstellung des Verhältnisses zwischen positiven und negativen Ausgängen in einer bestimmten Situation.

Nehmen wir das vorherige Beispiel, um diesen Unterschied zur Wahrscheinlichkeit besser zu verstehen.

Beispiel für Quoten

In unserem Karten-Beispiel ist das günstige Ergebnis das Ziehen einer Bildkarte. Folglich gibt es 12 vorteilhafte Ergebnisse. Die Anzahl der ungünstigen Ergebnisse berechnet man, indem man die vorteilhaften Ergebnisse von allen möglichen Ergebnissen abzieht. Da es insgesamt 52 Karten gibt, müssen Sie 12 von 52 subtrahieren.

Anzahl der ungünstigen Ergebnisse = Gesamtzahl der Ergebnisse - Anzahl der günstigen Ergebnisse = 52 - 12 = 40

Nun verwenden Sie ein Verhältnis, um die günstigen und ungünstigen Ergebnisse gegenüberzustellen. Dieser Wert wird als Quote bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsberechnung

Die Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Anzahl der gewünschten Ergebnisse durch die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt wird.

Wahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse

Berechnen wir nun die Gewinnwahrscheinlichkeit für unser Karten-Beispiel:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der Bildkarten / Gesamtzahl der Karten im Deck = 12 / 52 = 3 / 13

Als Nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit zu verlieren. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit des sogenannten Gegenereignisses (oder Komplementärereignisses).

Wenn das gewünschte Ereignis A ist, wird das Komplementärereignis als Aᶜ oder A′ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit eines komplementären Ereignisses berechnet sich, indem man die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses von 1 (also 100 %) abzieht.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

So berechnen wir die Verlustwahrscheinlichkeit für unser Beispiel:

Wir haben die Gewinnwahrscheinlichkeit bereits als 3 / 13 ermittelt. Daher gilt:

Verlustwahrscheinlichkeit = 1 - Gewinnwahrscheinlichkeit = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Quotenberechnung

Wettquoten oder statistische Quoten werden berechnet, indem man das gekürzte Verhältnis zwischen der Anzahl der gewünschten und unerwünschten Ergebnisse ermittelt. Alternativ lassen sie sich auch berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses ins Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens setzt.

In der Praxis gibt es zwei Arten von Quoten:

• Quoten dafür (Odds in favor)
• Quoten dagegen (Odds against)

Quoten dafür (Odds in favor)

Das gekürzte Verhältnis zwischen der Anzahl der Ergebnisse, bei denen ein Ereignis eintritt, und der Anzahl der Ergebnisse, bei denen es nicht eintritt, nennt man „Quoten dafür“. Nehmen wir an, unser gewünschtes Ereignis ist A. Die Quoten für das Ereignis A werden dann wie folgt berechnet:

Basierend auf der Anzahl der Ergebnisse:

Die Quoten für das Ereignis A = n(A) : n(Aᶜ)

Basierend auf der Wahrscheinlichkeit:

Die Quoten für das Ereignis A = P(A) : P(Aᶜ)

Berechnen wir die Quoten dafür anhand unseres Beispiels.

1. Basierend auf der Anzahl der Ergebnisse

Das gewünschte Ereignis ist das Ziehen einer Bildkarte.

Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 12

Anzahl der unerwünschten Ergebnisse = Gesamtzahl der Ergebnisse - Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 52 - 12 = 40

Deshalb gilt:

Quoten dafür = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Anzahl der unerwünschten Ergebnisse = 12 / 40 = 3 / 10

2. Basierend auf der Wahrscheinlichkeit

Das gewünschte Ereignis ist das Ziehen einer Bildkarte.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse = 12 / 52 = 3 / 13

Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren = 1 - Die Gewinnwahrscheinlichkeit = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Die Quoten dafür = Die Gewinnwahrscheinlichkeit / Die Verlustwahrscheinlichkeit = 3 / 13 : 10 / 13 = 3 : 10

Quoten dagegen (Odds against)

Die „Quoten dagegen“ beschreiben genau den umgekehrten Fall: Es ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der Ergebnisse, bei denen das gewünschte Ereignis nicht eintritt, und der Anzahl der Ergebnisse, bei denen es eintritt. Wenn das gewünschte Ereignis A ist, berechnen sich die Quoten gegen das Ereignis A wie folgt:

Basierend auf der Anzahl der Ergebnisse:

Die Quoten gegen Ereignis A = n(Aᶜ) : n(A)

Basierend auf der Wahrscheinlichkeit:

Die Quoten gegen Ereignis A = P(Aᶜ) : P(A)

Berechnen wir die Quoten dagegen für unser Beispiel.

1. Basierend auf der Anzahl der Ergebnisse

Das gewünschte Ereignis ist das Ziehen einer Bildkarte.

Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 12

Anzahl der unerwünschten Ergebnisse = Gesamtzahl der Ergebnisse - Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 52 - 12 = 40

Deshalb gilt:

Die Quoten dagegen = Anzahl der unerwünschten Ergebnisse : Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 40 : 12 = 10 : 3

2. Basierend auf der Wahrscheinlichkeit

Das gewünschte Ereignis ist das Ziehen einer Bildkarte.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse = 12 / 52 = 3 / 13

Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren = 1 - Die Gewinnwahrscheinlichkeit = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Die Quoten dagegen = Die Verlustwahrscheinlichkeit : Die Gewinnwahrscheinlichkeit = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

Darstellung von Wahrscheinlichkeiten und Quoten

Darstellung der Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeiten können sehr flexibel ausgedrückt werden: als Dezimalzahl, als Prozentsatz, als Bruch oder als Verhältnis.

Im obigen Beispiel haben wir die Gewinnwahrscheinlichkeit zunächst als Bruch berechnet:

• Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse = 12 / 52 = 3 / 13

Wir können die Gewinnwahrscheinlichkeit auch als Dezimalzahl ausdrücken:

• Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse = 12 / 52 = 3 / 13 = 0,2308

Genauso lässt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit als Prozentsatz angeben:

• Die Gewinnwahrscheinlichkeit = (Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse) × 100% = (12 / 52) × 100% = (3 / 13) × 100% = 23,08%

Zur Darstellung kann außerdem ein Verhältnis verwendet werden:

• Die Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse : Gesamtzahl der Ergebnisse = 12 : 52 = 3 : 13

Zusammengefasst ergibt das für unser Beispiel:

• Die Gewinnwahrscheinlichkeit = 3 / 13 = 0,2308 = 23,08%

Darstellung von Quoten

Quoten werden in der Regel als vollständig gekürztes Verhältnis dargestellt.

Entsprechend unserem Beispiel sieht das so aus:

• Die Quoten dafür = Anzahl der gewünschten Ergebnisse : Anzahl der unerwünschten Ergebnisse = 12 : 40 = 3 : 10

• Die Quoten dagegen = Anzahl der unerwünschten Ergebnisse : Anzahl der gewünschten Ergebnisse = 40 : 12 = 10 : 3

Der Wertebereich

Der Wertebereich von Wahrscheinlichkeiten

Wenn ein Ereignis zu 100 % sicher eintritt, ist seine Wahrscheinlichkeit 1. Wenn ein Ereignis absolut unmöglich ist und niemals eintreten wird, ist seine Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses liegt also immer exakt zwischen 0 und 1. Wird die Wahrscheinlichkeit in Prozent ausgedrückt, bewegt sich der Wert entsprechend zwischen 0 % und 100 %.

Der Wertebereich von Quoten

Wenn ein Ereignis mit absoluter Sicherheit eintritt, ist die Quote unendlich. Wird das Ereignis niemals eintreten, ist die Quote gleich null. Daher kann eine Quote jeden beliebigen Wert zwischen 0 und unendlich annehmen.

Als Dezimalwert ausgedrückt, ergibt sich für unser Beispiel:

• Die Quoten dafür = 3 : 10 = 0,3

• Die Quoten dagegen = 10 : 3 = 3,33

Umrechnung von Quoten in Wahrscheinlichkeiten

Wie wir gesehen haben, sind Quoten eine hervorragende Methode, um das direkte Verhältnis zwischen positiven und negativen Ergebnissen aufzuzeigen.

Allerdings verraten Quoten auf den ersten Blick nicht direkt die prozentuale Eintrittswahrscheinlichkeit. Wenn Sie also Quoten vorliegen haben (z.B. bei Sportwetten), müssen Sie diese oft in Wahrscheinlichkeiten umrechnen, um die echte Gewinnchance einschätzen zu können. Die mathematische Umrechnung funktioniert wie folgt:

Angenommen, das günstige Ereignis ist A. Die Gesamtanzahl der Ergebnisse n(S) setzt sich aus den günstigen n(A) und den ungünstigen n(Aᶜ) Ergebnissen zusammen:

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Deshalb lautet die Formel zur Umrechnung:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

Beispiel zur Umrechnung von Quoten in Wahrscheinlichkeiten

Wenden wir die Formel auf unser Kartenbeispiel an:

• Quoten dafür = 3 : 10

Also berechnet sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt:

• Gewinnwahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / (Anzahl der gewünschten Ergebnisse + Anzahl der unerwünschten Ergebnisse) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

Andersherum verhält es sich mit den Quoten dagegen:

• Quoten dagegen = 10 : 3

Also:

• Verlustwahrscheinlichkeit = Anzahl der unerwünschten Ergebnisse / (Anzahl der unerwünschten Ergebnisse + Anzahl der gewünschten Ergebnisse) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

Mit einem professionellen Quoten-Wahrscheinlichkeitsrechner müssen Sie diese Rechenschritte nicht mehr per Hand durchführen. Ein solcher Online-Rechner konvertiert mühelos Wettquoten in eine reale Gewinnwahrscheinlichkeit oder wandelt Wahrscheinlichkeiten in gekürzte Quoten um. Er berechnet die Quoten für das Gewinnen in ihrem kleinsten Verhältnis und wandelt die Verlustquoten sekundenschnell in die exakte Verlustwahrscheinlichkeit um.

Um die Werte unseres Beispiels mit dem Rechner zu überprüfen, geben Sie einfach 12 für Ereignis A und 40 für Ereignis B ein, wählen Sie „Quoten dafür“ und starten Sie die Berechnung. Sie erhalten exakt dieselben Ergebnisse, wenn Sie 40 für A und 12 für B eingeben und „Quoten dagegen“ auswählen. Die Lösung steht Ihnen in Bruchteilen einer Sekunde zur Verfügung!

Die Bedeutung von Quoten im Alltag

Die Berechnung von Quoten findet in zahlreichen professionellen Bereichen Anwendung.

In der wissenschaftlichen Forschung und Epidemiologie (z. B. bei der Analyse von Krankheitsausbreitungen) werden sogenannte "Odds Ratios" (Quotenverhältnisse) ausgiebig genutzt. Um Ansteckungsrisiken zu verstehen und Medikamente zu entwickeln, vergleichen Wissenschaftler die Quote der Menschen, die eine Krankheit entwickeln, mit der Quote derer, die gesund bleiben.

Finanzexperten und Analysten stützen sich auf Quoten, um das Rendite-Risiko-Verhältnis einer bestimmten Anlage abzuschätzen und fundierte Investmententscheidungen zu treffen.

Einer der bekanntesten Bereiche für Quoten sind natürlich Sportwetten und Glücksspiele. Hierbei ist jedoch ein wichtiges Detail zu beachten: Die von Buchmachern angebotenen Wettquoten spiegeln so gut wie nie die echte, mathematische Wahrscheinlichkeit wider. Der Buchmacher kalkuliert in seine Quoten stets eine Gewinnspanne (die Buchmachermarge) ein. Dementsprechend fällt die Auszahlung für den Gewinner immer etwas niedriger aus, als es bei völlig fairen, echten Wahrscheinlichkeitsquoten der Fall wäre.