ماشین حساب شانس

مفاهیم «احتمال» (Probability) و «شانس» (Odds) اغلب در هنگام انجام پیش‌بینی‌ها و تحلیل داده‌ها به کار می‌روند. با این حال، احتمال و شانس مترادف یکدیگر نیستند و تفاوت‌های مهمی بین این دو مفهوم وجود دارد. درک این تفاوت‌ها برای استفاده از ابزارهای محاسباتی ضروری است.

تعریف احتمال

احتمالِ یک رویداد، نشان‌دهنده میزان امکان رخ دادن آن رویداد است. به عبارت دیگر، احتمال برابر است با کسری از کل نتایج ممکن که به وقوع رویداد مورد نظر ما منجر می‌شود.

بیایید برای درک بهتر، از یک مثال ملموس استفاده کنیم.

مثال از احتمال

در یک دسته کارت پاسور استاندارد (52 تایی)، 12 کارت تصویر وجود دارد: شاه، بی‌بی و سرباز در هر یک از چهار خال.

فرض کنید دوست شما دسته کارت‌ها را بُر می‌زند و سپس از شما می‌خواهد که به طور تصادفی یک کارت از آن بکشید. شما فکر می‌کنید که می‌توانید در این شرط‌بندی برنده شوید؛ بنابراین، شرط می‌بندید که اگر یک کارت تصویر نکشید، 1 دلار به او می‌پردازید و در غیر این صورت، او باید 5 دلار به شما بدهد.

می‌خواهیم احتمال برنده شدن شما را پیدا کنیم.

احتمال برنده شدن، در واقع همان شانس بیرون کشیدن یک کارت تصویر از میان تمام نتایج ممکن است. از آنجا که در مجموع 52 کارت وجود دارد، پس 52 نتیجه ممکن در کل خواهیم داشت. رویداد مورد نظر شما (مطلوب)، کشیدن یک کارت تصویر است. چون در دسته کارت‌ها 12 کارت تصویر وجود دارد، پس 12 نتیجه مطلوب برای این رویداد وجود خواهد داشت.

برای محاسبه، باید نسبت رویدادهای مطلوب را به کل نتایج ممکن در نظر بگیرید. این نسبت 12/52 است و احتمال برنده شدن به این شکل محاسبه می‌شود.

تعریف شانس

شانس (Odds)، روشی برای سنجش امکان وقوع یک رویداد است که در آن، تعداد «نتایج مطلوب» مستقیماً با تعداد «نتایج نامطلوب» مقایسه می‌شود. به بیان دیگر، شانس راهی برای نمایش نسبت پیامدهای مثبت به پیامدهای منفی در یک شرایط خاص است.

برای درک بهتر این موضوع، دوباره از مثال قبلی استفاده می‌کنیم.

مثال از شانس

در مثال بالا، نتیجه مطلوب شما کشیدن یک کارت تصویر است. بنابراین، 12 نتیجه مطلوب وجود دارد. تعداد نتایج نامطلوب با کسر کردن تعداد نتایج مطلوب از کل نتایج به دست می‌آید. از آنجا که در مجموع 52 نتیجه وجود دارد، باید 12 را از 52 کم کنید.

تعداد نتایج نامطلوب = تعداد کل نتایج - تعداد نتایج مطلوب = 52 - 12 = 40

اکنون از این اعداد برای بیان نسبت نتایج مطلوب در برابر نتایج نامطلوب استفاده می‌کنیم. به این نسبت، «شانس» می‌گویند.

محاسبه احتمال

احتمال با تقسیم کردن تعداد نتایج مطلوب بر تعداد کل نتایج محاسبه می‌شود.

احتمال = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج

حالا بیایید احتمال برنده شدن در مثال قبلی را محاسبه کنیم:

احتمال برنده شدن = تعداد کارت‌های تصویر / تعداد کل کارت‌ها در دسته = 12 / 52 = 3 / 13

اکنون احتمال باختن را محاسبه می‌کنیم. این کار مشابه یافتنِ احتمال «رویداد مکمل» برای رویداد مورد نظر است.

اگر رویداد مورد نظر را A بنامیم، رویداد مکمل آن Aᶜ یا A¹ خواهد بود. احتمال وقوع رویداد مکمل با کسر کردن احتمال رویداد مورد نظر از عدد 1 محاسبه می‌شود.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

بیایید احتمال باختن را در مثال کارتی خود محاسبه کنیم:

ما قبلاً احتمال برنده شدن را برابر با 3 / 13 به دست آوردیم. بنابراین:

احتمال باختن = 1 - احتمال برنده شدن = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

محاسبه شانس

شانس با یافتن ساده‌ترین شکل نسبت (کوچکترین کسر) بین تعداد نتایج مطلوب و تعداد نتایج نامطلوب محاسبه می‌شود. همچنین می‌توان آن را از طریق محاسبه نسبت بین احتمال وقوع نتایج مطلوب به احتمال وقوع رویدادهای نامطلوب نیز به دست آورد.

به طور کلی دو نوع شانس محاسبه می‌شود:

• شانس موافق (به نفع)
• شانس مخالف (علیه)

شانس موافق (به نفع)

ساده‌ترین نسبتِ نتایجی که منجر به وقوع رویداد مطلوب می‌شوند به نتایجی که منجر به آن رویداد نمی‌شوند، با عنوان «شانس موافق» یا «شانس به نفع» شناخته می‌شود. فرض کنید رویداد مورد نظر ما A است. در این صورت، شانس به نفع رویداد A به شکل زیر محاسبه می‌شود:

بر اساس تعداد نتایج:

شانس به نفع رویداد A = n(A) : n(Aᶜ)

بر اساس احتمال:

شانس به نفع رویداد A = P(A) : P(Aᶜ)

بیایید شانس به نفعِ برنده شدن را در مثال ارائه‌شده محاسبه کنیم.

1. بر اساس تعداد نتایج

در مثال ما، رویداد مطلوب، بیرون کشیدن یک کارت تصویر بود.

تعداد نتایج مورد نظر = 12

تعداد نتایج نامطلوب = تعداد کل نتایج - تعداد نتایج مورد نظر = 52 - 12 = 40

بنابراین:

شانس به نفع = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد نتایج نامطلوب = 12 / 40 = 3 / 10

2. بر اساس احتمال

رویداد مطلوب، بیرون کشیدن یک کارت تصویر است.

احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج = 12 / 52 = 3 / 13

احتمال باختن = 1 - احتمال برنده شدن = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

شانس به نفع = احتمال برنده شدن / احتمال باختن = 3 /13 : 10 / 13 = 3:10

شانس مخالف (علیه)

شانس مخالف یا شانس علیه، بیانگر ساده‌ترین نسبتِ نتایجی است که منجر به رویداد مطلوب نمی‌شوند در برابر نتایجی که به رویداد مطلوب ختم می‌شوند. فرض کنید رویداد مورد نظر A است؛ شانس علیه رویداد A به شکل زیر محاسبه می‌شود:

بر اساس تعداد نتایج:

شانس علیه رویداد A = n(Aᶜ) : n(A)

بر اساس احتمال:

شانس علیه رویداد A = P(Aᶜ) : P(A)

بیایید شانس مخالف برنده شدن را برای مثال کارت‌ها محاسبه کنیم.

1. بر اساس تعداد نتایج

رویداد مطلوب، کشیدن یک کارت تصویر است.

تعداد نتایج مورد نظر = 12

تعداد نتایج نامطلوب = تعداد کل نتایج - تعداد نتایج مورد نظر = 52 - 12 = 40

بنابراین:

شانس علیه برنده شدن = تعداد نتایج نامطلوب : تعداد نتایج مورد نظر = 40 : 12 = 10 : 3

2. بر اساس احتمال

رویداد مطلوب، کشیدن یک کارت تصویر است.

احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج = 12 / 52 = 3 / 13

احتمال باختن = 1 - احتمال برنده شدن = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

شانس علیه برنده شدن = احتمال باختن : احتمال برنده شدن = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

نحوه بیان

بیان احتمال

احتمالات می‌توانند در قالب اعداد اعشاری، درصد، کسر یا نسبت بیان شوند.

در مثال‌های قبلی، ما احتمال برنده شدن را به صورت یک کسر محاسبه کردیم:

• احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج = 12 / 52 = 3 / 13

همچنین می‌توانیم احتمال برنده شدن را به شکل اعشاری نشان دهیم:

• احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج = 12 / 52 = 3 / 13 = 0.2308

احتمال برنده شدن می‌تواند به صورت درصد نیز بیان شود:

• احتمال برنده شدن = (تعداد نتایج مورد نظر / تعداد کل نتایج) × 100٪ = (12 / 52) × 100٪ = (3 / 13) × 100٪ = 23.08٪

از نسبت‌ها نیز می‌توان برای نمایش احتمال بهره برد:

• احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر : تعداد کل نتایج = 12 : 52 = 3 : 13

به طور خلاصه:

• احتمال برنده شدن = 3 / 13 = 0.2308 = 23.08٪

بیان شانس

شانس‌ها معمولاً به صورت نسبت‌هایی در ساده‌ترین شکل خود بیان می‌شوند.

بر اساس مثال ما:

• شانس به نفع = تعداد نتایج مورد نظر: تعداد نتایج نامطلوب = 12 : 40 = 3 : 10

• شانس علیه = تعداد نتایج نامطلوب : تعداد نتایج مورد نظر = 40 : 12 = 10 : 3

دامنه متغیرها

دامنه احتمال

وقتی وقوع یک رویداد قطعی و حتمی باشد، احتمال آن 1 است. وقتی یک رویداد هرگز رخ ندهد (غیرممکن باشد)، احتمال آن 0 است. در نتیجه، مقدار احتمال برای هر رویداد همیشه بین 0 و 1 قرار دارد. اگر احتمال را به صورت درصد بیان کنیم، دامنه آن بین 0٪ و 100٪ خواهد بود.

دامنه شانس

اگر وقوع رویدادی قطعی باشد، شانس به نفع آن بی‌نهایت است. اگر رویدادی هرگز رخ ندهد، شانس آن صفر است. بنابراین، شانس به عنوان یک عدد در بازه 0 تا بی‌نهایت نمایش داده می‌شود.

بر اساس مثال ما:

• شانس به نفع = 3 : 10 = 0.3

• شانس علیه = 10 : 3 = 1.02

تبدیل شانس به احتمال

همان‌طور که متوجه شدید، شانس ابزاری برای نشان دادن رابطه بین نسبت نتایج مثبت به نتایج منفی در یک وضعیت مشخص است.

شانس به طور مستقیم نشان‌دهنده احتمال وقوع یک رویداد نیست. بنابراین، هنگامی که اعداد مربوط به شانس را در اختیار دارید، برای اینکه بدانید چقدر احتمال دارد آن رویداد اتفاق بیفتد، باید شانس را به احتمال تبدیل کنید. شما می‌توانید از فرمول زیر برای تبدیل شانس به احتمال استفاده کنید.

اگر رویداد مطلوب را A در نظر بگیریم، می‌دانیم که:

n(S) =n(A) + n(Aᶜ)

بنابراین:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

مثال از محاسبه تبدیل شانس به احتمال

در مثال ما:

• شانس به نفع = 3 : 10

پس:

• احتمال برنده شدن = تعداد نتایج مورد نظر / (تعداد نتایج مورد نظر + تعداد نتایج نامطلوب) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

و در حالت مخالف:

• شانس علیه = 10 : 3

پس:

• احتمال باختن = تعداد نتایج نامطلوب / (تعداد نتایج نامطلوب + تعداد نتایج مورد نظر) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

با استفاده از ابزارهای آنلاین، تبدیل شانس به احتمال و همچنین ساده‌سازی نسبت‌ها دیگر کار دشواری نیست. ماشین‌حساب تبدیل شانس به احتمال می‌تواند به شما کمک کند تا در کمترین زمان، شانس‌های موافق و مخالف را تحلیل کرده و آن‌ها را به احتمالات دقیق تبدیل کنید.

برای محاسبه سریع مثال بالا به کمک ماشین‌حساب تبدیل شانس به احتمال، کافی است مقدار 12 را برای A و 40 را برای B وارد کنید، گزینه "شانس به نفع" (Odds are for winning) را انتخاب کرده و روی محاسبه کلیک کنید. اگر 40 را برای A و 12 را برای B وارد کنید و "شانس علیه" (Odds are against winning) را انتخاب نمایید نیز دقیقاً به همان نتایج خواهید رسید و پاسخ‌ها در کسری از ثانیه در دسترس شما خواهند بود.

اهمیت شانس در دنیای واقعی

مفهوم شانس (Odds) در حوزه‌های متنوعی کاربرد دارد:

در بخش تحقیقات علمی و پزشکی، به‌ویژه در زمینه اپیدمیولوژی (شیوع بیماری‌ها)، از شانس به وفور استفاده می‌شود. برای درک چگونگی انتشار یک بیماری و ارزیابی اثربخشی درمان‌ها، محققان نسبت جمعیتی که به بیماری مبتلا شده‌اند را با کسانی که مبتلا نشده‌اند مقایسه کرده و شانس ابتلا را می‌سنجند.

کارشناسان و تحلیل‌گران مالی از مفاهیم شانس برای ارزیابی ریسک و بازده استفاده می‌کنند تا تعیین کنند یک سرمایه‌گذاری خاص چقدر می‌تواند پرخطر یا سودآور باشد و تصمیمات اقتصادی بهتری اتخاذ کنند.

شرط‌بندی و پیش‌بینی مسابقات یکی دیگر از حوزه‌های اصلی استفاده از شانس است. جالب است بدانید شانس‌هایی (ضریب‌هایی) که توسط سایت‌های شرط‌بندی (بوکمیکرها) ارائه می‌شوند، هرگز به طور دقیق احتمال واقعی وقوع یا عدم وقوع یک رویداد را نشان نمی‌دهند. بوکمیکرها همیشه حاشیه سود (Profit Margin) خود را در این شانس‌ها لحاظ می‌کنند؛ بنابراین مبلغی که به فرد برنده پرداخت می‌شود، همواره کمتر از مقداری است که در صورت مطابقت دقیق شانس‌ها با احتمالات واقعی پرداخت می‌شد.