Kansen Calculator

Bij het maken van voorspellingen worden de termen 'waarschijnlijkheid' (probability) en 'kansen' (odds) vaak door elkaar gebruikt. Toch zijn het geen synoniemen. Er bestaan namelijk belangrijke verschillen tussen waarschijnlijkheid en kansen.

Definitie van waarschijnlijkheid

De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis geeft aan hoe groot de kans is dat deze gebeurtenis daadwerkelijk zal plaatsvinden. Met andere woorden: het is de verhouding tussen de gewenste uitkomst en alle mogelijke uitkomsten.

Laten we dit verduidelijken met een praktijkvoorbeeld.

Voorbeeld van waarschijnlijkheid

Een standaard kaartspel van 52 kaarten bevat 12 plaatjeskaarten: de heer, vrouw en boer van elke kleur.

Stel dat een vriend het kaartspel schudt en je vraagt om blind één kaart te trekken. Je besluit een weddenschap aan te gaan: als je géén plaatjeskaart trekt, betaal je hem $1. Trek je er wél een, dan betaalt hij jou $5.

Hoe bereken je nu de winstkans?

De winstkans is de waarschijnlijkheid dat je een plaatjeskaart trekt, gemeten tegen alle mogelijke uitkomsten. Omdat er 52 kaarten in het spel zitten, zijn er 52 mogelijke uitkomsten. Jouw gewenste gebeurtenis is het trekken van een plaatjeskaart. Omdat er 12 plaatjeskaarten zijn, zijn er 12 mogelijke uitkomsten voor deze gewenste gebeurtenis.

Je drukt het totale aantal gewenste uitkomsten uit ten opzichte van het totale aantal mogelijke uitkomsten. Dat is 12/52. Op deze manier wordt de waarschijnlijkheid van winnen berekend.

Definitie van kansen

Kansen (of odds) meten eveneens de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, maar vergelijken specifiek het aantal gewenste uitkomsten direct met het aantal ongewenste uitkomsten. Met andere woorden: kansen geven de verhouding weer tussen de gunstige en de ongunstige uitkomsten in een bepaalde situatie.

We gebruiken het vorige voorbeeld om dit te illustreren.

Voorbeeld van kansen

In ons voorbeeld is de gunstige uitkomst het trekken van een plaatjeskaart. Er zijn dus 12 gunstige uitkomsten. Het aantal ongunstige uitkomsten bereken je door dit aantal af te trekken van het totale aantal kaarten. Je trekt dus 12 af van 52.

Aantal ongunstige uitkomsten = Totaal aantal uitkomsten - Aantal gunstige uitkomsten = 52 - 12 = 40

Vervolgens gebruik je een verhouding om het totale aantal gewenste uitkomsten uit te drukken ten opzichte van het totale aantal ongewenste uitkomsten. Dit noemen we de kansen of de odds.

Berekening van waarschijnlijkheid

Waarschijnlijkheid bereken je door het aantal gewenste uitkomsten te delen door het totale aantal uitkomsten.

Waarschijnlijkheid = Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten

Laten we de waarschijnlijkheid van winnen voor ons eerdere voorbeeld berekenen.

De winstkans = Aantal plaatjeskaarten / Totaal aantal kaarten in het deck = 12 / 52 = 3 / 13

Nu berekenen we de waarschijnlijkheid om te verliezen. Dit komt overeen met het berekenen van de waarschijnlijkheid van de complementaire gebeurtenis (het tegenovergestelde van de gewenste gebeurtenis).

Als de gewenste gebeurtenis A is, dan is de complementaire gebeurtenis Aᶜ of A′. De waarschijnlijkheid van een complementaire gebeurtenis bereken je door de waarschijnlijkheid van de gewenste gebeurtenis af te trekken van 1.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

Laten we dit toepassen op het eerdere voorbeeld om de waarschijnlijkheid van verlies te bepalen.

We hebben de winstkans al berekend als 3 / 13. Dus:

Waarschijnlijkheid van verlies = 1 - Winstkans = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Berekening van kansen

Kansen (odds) bereken je door de meest vereenvoudigde verhouding te bepalen tussen het aantal gewenste uitkomsten en het aantal ongewenste uitkomsten. Dit kan ook worden gedaan door de verhouding te berekenen tussen de waarschijnlijkheid van de gewenste gebeurtenis en de waarschijnlijkheid van de ongewenste gebeurtenis.

Er zijn twee manieren om dit uit te drukken:

• de kansen in het voordeel,
• de kansen tegen.

De kansen in het voordeel

De verhouding van het aantal uitkomsten dat wél resulteert in de gewenste gebeurtenis, tot het aantal uitkomsten dat niét resulteert in de gewenste gebeurtenis, staat bekend als de kansen in het voordeel (odds in favor). Stel dat onze gewenste gebeurtenis A is. De kansen in het voordeel van gebeurtenis A worden dan als volgt berekend.

Gebaseerd op het aantal uitkomsten:

De kansen in het voordeel van gebeurtenis A = n(A) : n(Aᶜ)

Gebaseerd op waarschijnlijkheid:

De kansen in het voordeel van gebeurtenis A = P(A) : P(Aᶜ)

Laten we de kansen in het voordeel van winnen berekenen voor het kaartvoorbeeld.

1. Gebaseerd op het aantal uitkomsten

In het vorige voorbeeld was de gewenste gebeurtenis het trekken van een plaatjeskaart.

Aantal gewenste uitkomsten = 12

Aantal ongewenste uitkomsten = Totaal aantal uitkomsten - Aantal gewenste uitkomsten = 52 - 12 = 40

Dus,

De kansen in het voordeel = Aantal gewenste uitkomsten / Aantal ongewenste uitkomsten = 12 / 40 = 3 / 10

2. Gebaseerd op waarschijnlijkheid

De gewenste gebeurtenis is het trekken van een plaatjeskaart.

De winstkans = Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten = 12 / 52 = 3 / 13

De waarschijnlijkheid van verlies = 1 - De winstkans = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

De kansen in het voordeel = De winstkans / De waarschijnlijkheid van verlies = 3 / 13 : 10 / 13 = 3 : 10

De kansen tegen

De kansen tegen (odds against) zijn de verhouding tussen het aantal uitkomsten waarbij de gebeurtenis niét optreedt, ten opzichte van het aantal uitkomsten waarbij dit wél gebeurt. Laten we aannemen dat de gewenste gebeurtenis A is. De kansen tegen gebeurtenis A worden dan als volgt berekend.

Gebaseerd op het aantal uitkomsten:

De kansen tegen gebeurtenis A = n(Aᶜ) : n(A)

Gebaseerd op waarschijnlijkheid:

De kansen tegen gebeurtenis A = P(Aᶜ) : P(A)

Laten we de kansen tegen winnen berekenen voor ons voorbeeld.

1. Gebaseerd op het aantal uitkomsten

De gewenste gebeurtenis is het trekken van een plaatjeskaart.

Aantal gewenste uitkomsten = 12

Aantal ongewenste uitkomsten = Totaal aantal uitkomsten - Aantal gewenste uitkomsten = 52 - 12 = 40

Dus,

De kansen tegen winnen = Aantal ongewenste uitkomsten : Aantal gewenste uitkomsten = 40 : 12 = 10 : 3

2. Gebaseerd op waarschijnlijkheid

De gewenste gebeurtenis is het trekken van een plaatjeskaart.

De winstkans = Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten = 12 / 52 = 3 / 13

De waarschijnlijkheid van verlies = 1 - De winstkans = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

De kansen tegen winnen = De waarschijnlijkheid van verlies : De winstkans = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

Uitdrukking

Uitdrukking van waarschijnlijkheid

Waarschijnlijkheden kunnen worden uitgedrukt als een decimaal getal, een percentage, een breuk of een verhouding.

In het vorige voorbeeld hebben we de winstkans als een breuk berekend.

• De winstkans = Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten = 12 / 52 = 3 / 13

We kunnen de winstkans ook uitdrukken als een decimaal getal.

• De winstkans = Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten = 12 / 52 = 3 / 13 = 0,2308

Daarnaast kan de winstkans worden weergegeven als een percentage.

• De winstkans = (Aantal gewenste uitkomsten / Totaal aantal uitkomsten) × 100% = (12 / 52) × 100% = (3 / 13) × 100% = 23,08%

Ten slotte kan er een verhouding worden gebruikt om de winstkans aan te duiden.

• De winstkans = Aantal gewenste uitkomsten : Totaal aantal uitkomsten = 12 : 52 = 3 : 13

Samengevat,

• De winstkans = 3 / 13 = 0,2308 = 23,08%

Uitdrukking van kansen

Kansen (odds) worden doorgaans uitgedrukt als een verhouding in de meest vereenvoudigde vorm.

Volgens ons voorbeeld,

• De kansen in het voordeel = Aantal gewenste uitkomsten : Aantal ongewenste uitkomsten = 12 : 40 = 3 : 10

• De kansen tegen = Aantal ongewenste uitkomsten : Aantal gewenste uitkomsten = 40 : 12 = 10 : 3

Het bereik

Het bereik van waarschijnlijkheid

Wanneer een gebeurtenis met absolute zekerheid zal plaatsvinden, is de waarschijnlijkheid 1. Als een gebeurtenis onmogelijk is en nooit zal gebeuren, is de waarschijnlijkheid 0. Dit betekent dat de waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis altijd tussen 0 en 1 ligt. Als de waarschijnlijkheid wordt uitgedrukt als een percentage, ligt deze altijd tussen 0% en 100%.

Het bereik van kansen

De kansen in het voordeel zijn oneindig wanneer een gebeurtenis zeker zal plaatsvinden. Als de gebeurtenis nooit zal gebeuren, zijn de kansen nul. Daarom worden kansen weergegeven als een getal tussen 0 en oneindig.

Volgens het voorbeeld,

• De kansen in het voordeel = 3 : 10 = 0,3

• De kansen tegen = 10 : 3 = 3,33

Omzetten van kansen naar waarschijnlijkheid

Zoals we eerder hebben besproken, zijn kansen (odds) een manier om de verhouding weer te geven tussen de positieve en negatieve uitkomsten in een specifieke situatie.

Kansen geven echter niet direct weer hóe waarschijnlijk het is dat een gebeurtenis daadwerkelijk zal plaatsvinden. Wanneer u alleen de odds krijgt, moet u deze mogelijk omzetten naar waarschijnlijkheid (probability) om een accuraat beeld te krijgen. U kunt kansen als volgt omzetten naar waarschijnlijkheid.

Stel dat de gunstige gebeurtenis A is,

dan weet u dat,

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Daarom geldt:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

Voorbeeld van het omrekenen van kansen naar waarschijnlijkheid

In ons voorbeeld,

• De kansen in het voordeel = 3 : 10

Dus,

• Waarschijnlijkheid van winnen = Aantal gewenste uitkomsten / (Aantal gewenste uitkomsten + Aantal ongewenste uitkomsten) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

Voor de tegenovergestelde situatie in ons voorbeeld,

• De kansen tegen = 10 : 3

Dus,

• Waarschijnlijkheid van verliezen = Aantal ongewenste uitkomsten / (Aantal ongewenste uitkomsten + Aantal gewenste uitkomsten) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

Het is met de juiste tools niet langer moeilijk om kansen (odds) om te zetten naar waarschijnlijkheid of om verhoudingen te vereenvoudigen. Onze kansen- en waarschijnlijkheidsrekenmachine kan u helpen om eenvoudig winnende odds om te rekenen naar een winstkans (waarschijnlijkheid) en om de odds te vereenvoudigen naar de kleinste verhouding. De rekentool reduceert de kansen tegen tot de eenvoudigste verhouding en zet deze direct om in de waarschijnlijkheid om te verliezen.

Om de antwoorden voor het voorgaande voorbeeld te berekenen met onze rekentool, voert u 12 in voor A en 40 voor B. Kies vervolgens "Kansen zijn voor winnen" en klik op berekenen. U krijgt precies dezelfde resultaten als u 40 invoert voor A en 12 voor B en de optie "De kansen zijn tegen winnen" selecteert. De antwoorden zijn in een fractie van een seconde klaar.

Het belang van kansen

Kansen en waarschijnlijkheden worden toegepast in talloze en diverse vakgebieden.

In de wetenschappelijke onderzoekswereld, met name binnen de epidemiologie (de overdracht van ziekten), wordt veelvuldig gewerkt met odds. Om te begrijpen hoe een ziekte zich verspreidt en om effectieve behandelingen te ontwikkelen, gebruiken wetenschappers kansen om de verhouding van een populatie die wél een ziekte ontwikkelt, te vergelijken met de groep die dat niét doet.

Daarnaast maken financiële experts gebruik van kansberekeningen om te bepalen of een bepaalde investering een hoog risico of juist een groot winstpotentieel met zich meebrengt. Dit helpt hen bij het nemen van weloverwogen strategische investeringsbeslissingen.

Wedden en gokken (zoals sportweddenschappen en casino's) zijn eveneens belangrijke gebieden die zwaar leunen op odds. Het is hierbij cruciaal om te weten dat de odds die bookmakers aanbieden vrijwel nooit exact de werkelijke waarschijnlijkheid van een gebeurtenis weerspiegelen. Een bookmaker bouwt altijd een winstmarge in. Hierdoor is de uiteindelijke uitbetaling aan de winnende gokker altijd iets lager dan het geval zou zijn als de odds de werkelijke wiskundige waarschijnlijkheden perfect zouden weerspiegelen.