ऑड्स प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर

किसी घटना की भविष्यवाणी करते समय अक्सर प्रोबेबिलिटी (Probability) और ऑड्स (Odds) का उपयोग किया जाता है। हालांकि ये दोनों शब्द एक जैसे लगते हैं, लेकिन प्रोबेबिलिटी और ऑड्स पर्यायवाची नहीं हैं। इनके बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतर होते हैं, जिन्हें समझना आपके लिए आवश्यक है।

प्रोबेबिलिटी की परिभाषा

प्रोबेबिलिटी (संभाव्यता) किसी घटना (Event) के घटित होने की संभावना को दर्शाती है। सरल शब्दों में कहें तो, यह कुल संभावित परिणामों में से अनुकूल (वांछित) परिणामों का एक अंश (Fraction) है।

आइए इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें।

प्रोबेबिलिटी का उदाहरण

52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक में 12 फेस कार्ड (Face cards) होते हैं। चारों सूट (Suits) में से प्रत्येक में एक राजा, एक रानी और एक गुलाम होता है।

मान लीजिए कि आपके मित्र ने आपको कार्ड खींचने के लिए कहने से पहले डेक को अच्छी तरह से फेंट (shuffle) दिया। आपको विश्वास है कि आप यह शर्त जीत सकते हैं। परिणामस्वरूप, आप दांव लगाते हैं कि यदि आप एक फेस कार्ड निकालने में विफल रहते हैं, तो आप उसे $1 का भुगतान करेंगे। लेकिन यदि आप फेस कार्ड निकाल लेते हैं, तो वह आपको $5 देगा।

जीतने की संभावना (Probability of winning) निर्धारित करें।

जीतने की प्रोबेबिलिटी, सभी संभावित परिणामों में से एक फेस कार्ड प्राप्त करने की संभावना है। यहाँ कुल 52 कार्ड हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 52 संभावित परिणाम मौजूद हैं। फेस कार्ड प्राप्त करना आपकी अनुकूल घटना (Desired event) है। क्योंकि ताश की गड्डी में 12 फेस कार्ड होते हैं, इसलिए वांछित घटना के लिए 12 संभावित परिणाम हैं।

आप कुल परिणामों की संख्या के संबंध में अनुकूल घटनाओं की संख्या को व्यक्त करते हैं। यानी 12/52। इस तरह जीतने की प्रोबेबिलिटी की गणना की जाती है।

ऑड्स की परिभाषा

ऑड्स (Odds) किसी घटना के घटित होने की संभावना को अनुकूल परिणामों (Favorable outcomes) और प्रतिकूल परिणामों (Unfavorable outcomes) की संख्या के बीच तुलना करके मापते हैं। दूसरे शब्दों में, ऑड्स किसी दी गई स्थिति में अनुकूल और प्रतिकूल परिणामों के अनुपात (Ratio) को दर्शाने का एक बेहतरीन तरीका है।

आइए इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए पिछले उदाहरण का ही उपयोग करें।

ऑड्स का उदाहरण

पिछले उदाहरण में, एक फेस कार्ड निकालना आपका अनुकूल परिणाम है। नतीजतन, 12 अनुकूल परिणाम मौजूद हैं। कुल परिणामों की संख्या में से अनुकूल परिणामों की कुल संख्या को घटाने पर प्रतिकूल परिणामों की संख्या प्राप्त होती है। चूंकि यहाँ 52 संभावित परिणाम हैं, इसलिए आपको 52 में से 12 घटाना होगा।

प्रतिकूल परिणामों की संख्या = परिणामों की कुल संख्या - अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 - 12 = 40

अब आप अवांछित (प्रतिकूल) परिणामों की कुल संख्या के संबंध में वांछित (अनुकूल) परिणामों की कुल संख्या को व्यक्त करने के लिए अनुपात का उपयोग करते हैं। इसे ही ऑड्स कहा जाता है।

संभाव्यता (Probability) की गणना

परिणामों की कुल संख्या से वांछित परिणामों की संख्या को विभाजित करके संभाव्यता की गणना की जाती है।

संभाव्यता = वांछित परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या

आइए अब पिछले उदाहरण के लिए जीतने की संभावना की गणना करें।

जीतने की संभावना = फेस कार्ड की संख्या / डेक में ताश के पत्तों की कुल संख्या = 12/52 = 3/13

अब हम हारने की संभावना की गणना करेंगे। यह वांछित घटना के पूरक घटना (Complementary event) की संभावना का अनुमान लगाने के समान है।

यदि वांछित घटना A है, तो पूरक घटना Aᶜ या A¹ है। एक पूरक घटना की संभावना की गणना वांछित घटना की संभावना को 1 में से घटाकर की जाती है।

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

आइए पिछले उदाहरण के लिए हारने की संभावना की गणना करें।

हम पहले ही जीतने की संभावना की गणना 3/13 के रूप में कर चुके हैं। इसलिए,

हारने की संभावना = 1 - जीतने की संभावना = 1 - 3/13 = 10/13

ऑड्स की गणना

ऑड्स की गणना वांछित परिणामों की संख्या और अवांछित परिणामों की संख्या के बीच न्यूनतम अनुपात (Lowest ratio) ज्ञात करके की जाती है। यह वांछित परिणामों की संभावना और अवांछनीय घटनाओं की संभावना के बीच अनुपात की गणना करके भी निर्धारित किया जा सकता है।

ऑड्स की गणना मुख्य रूप से दो प्रकार की होती है:

• के पक्ष में ऑड्स (Odds in favor),
• के खिलाफ ऑड्स (Odds against)।

पक्ष में ऑड्स

वांछित घटना के लिए हो सकने वाले परिणामों की संख्या और वांछित घटना के लिए नहीं हो सकने वाले परिणामों की संख्या के न्यूनतम अनुपात को 'पक्ष में ऑड्स' के रूप में जाना जाता है। मान लीजिए कि हमारी वांछित घटना A है। तो घटना A के पक्ष में ऑड्स की गणना नीचे दी गई है:

परिणामों की संख्या के आधार पर

घटना A के पक्ष में ऑड्स = n(A) : n(Aᶜ)

प्रोबेबिलिटी के आधार पर

घटना A के पक्ष में ऑड्स = P(A) : P(Aᶜ)

आइए ऊपर दिए गए उदाहरण में जीतने के पक्ष में ऑड्स की गणना करें।

1. परिणामों की संख्या के आधार पर

पिछले उदाहरण में, वांछित घटना एक फेस कार्ड निकालना था।

वांछित परिणामों की संख्या = 12

अवांछित परिणामों की संख्या = परिणामों की कुल संख्या - वांछित परिणामों की संख्या = 52 - 12 = 40

इसलिए,

पक्ष में ऑड्स = वांछित परिणामों की संख्या / अवांछित परिणामों की संख्या = 12/40 = 3/10

2. प्रोबेबिलिटी के आधार पर

वांछित घटना एक फेस कार्ड निकालना है।

जीतने की प्रोबेबिलिटी = वांछित परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या = 12/52 = 3/13

हारने की प्रोबेबिलिटी = 1 - जीतने की प्रोबेबिलिटी = 1 - 3/13 = 10/13

पक्ष में ऑड्स = जीतने की प्रोबेबिलिटी / हारने की प्रोबेबिलिटी = 3/13 : 10/13 = 3:10

ऑड्स के खिलाफ (Odds Against)

'ऑड्स के खिलाफ' उन परिणामों की संख्या (जो वांछित घटना के लिए नहीं हो सकते) और वांछित घटना के परिणामों की संख्या का सबसे कम अनुपात है। आइए मान लें कि वांछित घटना A है। घटना A के खिलाफ ऑड्स की गणना निम्नानुसार की जाती है:

परिणामों की संख्या के आधार पर,

घटना A के खिलाफ ऑड्स = n(Aᶜ) : n(A)

प्रोबेबिलिटी के आधार पर,

घटना A के खिलाफ ऑड्स = P(Aᶜ) : P(A)

आइए ऊपर दिए गए उदाहरण के लिए जीतने के खिलाफ ऑड्स की गणना करें।

1. परिणामों की संख्या के आधार पर

वांछित घटना एक फेस कार्ड निकालना है।

वांछित परिणामों की संख्या = 12

अवांछित परिणामों की संख्या = परिणामों की कुल संख्या - वांछित परिणामों की संख्या = 52 - 12 = 40

इसलिए,

खिलाफ ऑड्स = अवांछित परिणामों की संख्या : वांछित परिणामों की संख्या = 40 : 12 = 10 : 3

2. प्रोबेबिलिटी के आधार पर

वांछित घटना एक फेस कार्ड निकालना है।

जीतने की प्रोबेबिलिटी = वांछित परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या = 12/52 = 3/13

हारने की प्रोबेबिलिटी = 1 - जीतने की प्रोबेबिलिटी = 1 - 3/13 = 10/13

खिलाफ ऑड्स = हारने की प्रोबेबिलिटी : जीतने की प्रोबेबिलिटी = 10/13 : 3/13 = 10:3

अभिव्यक्ति (Expression)

संभावना की अभिव्यक्ति

संभावनाओं (Probability) को दशमलव (Decimal), प्रतिशत (Percentage), अंश (Fraction) या अनुपात (Ratio) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

पिछले उदाहरण में, हमने जीतने की संभावना को भिन्न (Fraction) के रूप में परिकलित किया था:

• जीतने की संभावना = वांछित परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या = 12/52 = 3/13

हम जीतने की संभावना को दशमलव के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं:

• जीतने की संभावना = वांछित परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या = 12/52 = 3/13 = 0.2308

जीतने की संभावना को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• जीतने की संभावना = (वांछित परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या) × 100% = (12/52) × 100% = (3/13) × 100% = 23.08%

जीतने की संभावना का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अनुपात का उपयोग किया जा सकता है:

• जीतने की संभावना = वांछित परिणामों की संख्या : परिणामों की कुल संख्या = 12 : 52 = 3 : 13

संक्षेप में,

• जीतने की संभावना = 3/13 = 0.2308 = 23.08%

ऑड्स की अभिव्यक्ति

ऑड्स को आमतौर पर सबसे कम शब्दों में अनुपात (Ratio) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के अनुसार,

• पक्ष में ऑड्स = वांछित परिणामों की संख्या : अवांछित परिणामों की संख्या = 12 : 40 = 3 : 10

• विपरीत ऑड्स (खिलाफ) = अवांछित परिणामों की संख्या : वांछित परिणामों की संख्या = 40 : 12 = 10 : 3

क्षेत्र (Range)

प्रोबेबिलिटी की सीमा

जब किसी घटना का घटित होना निश्चित होता है, तो उसकी प्रोबेबिलिटी 1 होती है। जब कोई घटना घटित नहीं होने वाली होती है, तो उसकी प्रोबेबिलिटी 0 होती है। परिणामस्वरूप, किसी भी घटना की प्रोबेबिलिटी हमेशा 0 और 1 के बीच होती है। यदि प्रोबेबिलिटी को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो यह 0% और 100% के बीच होगी।

ऑड्स की सीमा

जब कोई घटना निश्चित होती है, तो उसके पक्ष में ऑड्स अनंत (Infinite) होते हैं। यदि घटना कभी नहीं होने वाली है, तो ऑड्स शून्य (Zero) होते हैं। इसलिए, ऑड्स को 0 और अनंत के बीच की संख्या के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के अनुसार,

• पक्ष में ऑड्स = 3 : 10 = 0.3

• विपरीत ऑड्स = 10 : 3 = 1.02

ऑड्स को प्रोबेबिलिटी में बदलना

जैसा कि आप पहले ही सीख चुके हैं, ऑड्स एक विशिष्ट स्थिति में अनुकूल और प्रतिकूल परिणामों के अनुपात के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है।

ऑड्स स्वयं इस बात की प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति नहीं है कि उस घटना के होने की कितनी प्रोबेबिलिटी (संभावना) है। इसलिए, जब ऑड्स दिए जाते हैं, तो आपको यह जानने के लिए उन ऑड्स को प्रोबेबिलिटी में बदलना पड़ सकता है कि वास्तव में उस घटना के होने की कितनी संभावना है। आप ऑड्स को प्रोबेबिलिटी में निम्नानुसार बदल सकते हैं।

मान लें कि अनुकूल घटना A है,

आप जानते हैं कि,

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

इसलिए,

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

ऑड्स को प्रोबेबिलिटी में बदलने की गणना का उदाहरण

हमारे उदाहरण में,

• पक्ष में ऑड्स = 3 : 10

इसलिए,

• जीतने की संभावना = वांछित परिणामों की संख्या / (वांछित परिणामों की संख्या + अवांछित परिणामों की संख्या) = 3 / (3 + 10) = 3/13

हमारे उदाहरण में,

• विपरीत ऑड्स = 10 : 3

इसलिए,

• हारने की संभावना = अवांछित परिणामों की संख्या / (अवांछित परिणामों की संख्या + वांछित परिणामों की संख्या) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

ऑड्स को प्रोबेबिलिटी में बदलना और ऑड्स को उनके न्यूनतम अनुपात में लाना अब कोई मुश्किल काम नहीं है। हमारा उन्नत ऑड्स प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर (Odds Probability Calculator) आपको विनिंग ऑड्स को जीतने की प्रोबेबिलिटी में आसानी से बदलने में मदद करेगा। यह टूल जीतने वाले ऑड्स को उनके न्यूनतम अनुपात में कम कर देगा और ऑड्स को हारने की संभावना में भी बदल देगा।

पिछले उदाहरण के उत्तरों की गणना करने के लिए ऑड्स प्रोबेबिलिटी कैलकुलेटर का उपयोग करते समय: A के लिए 12 और B के लिए 40 दर्ज करें, "ऑड्स जीतने के लिए हैं (Odds are for winning)" का चयन करें और फिर 'गणना करें' पर क्लिक करें। A के लिए 40 और B के लिए 12 दर्ज करके और "ऑड्स जीतने के खिलाफ हैं (Odds are against winning)" का चयन करके भी समान परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। आपके परिणाम कुछ ही सेकंड में स्क्रीन पर उपलब्ध होंगे।

ऑड्स का महत्व

विभिन्न क्षेत्रों में ऑड्स के कई महत्वपूर्ण उपयोग हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान में, विशेष रूप से रोगों के प्रसार (transmission of diseases) का अध्ययन करते समय ऑड्स का अक्सर उपयोग किया जाता है। वैज्ञानिक ऑड्स का उपयोग उस आबादी के अनुपात की तुलना करने के लिए कर सकते हैं जो एक बीमारी का विकास उस अनुपात से करती है जिसे यह समझने के लिए उपयोग किया जाता है कि कोई बीमारी कैसे फैलती है, ताकि उसके अनुसार उपचार विकसित किए जा सकें।

निवेश संबंधी निर्णय लेने में सहायता के लिए, वित्तीय विशेषज्ञ (Financial experts) यह निर्धारित करने के लिए ऑड्स का उपयोग करते हैं कि कोई निवेश अधिक जोखिम या लाभ प्रदान कर सकता है या नहीं।

सट्टेबाजी (Betting) और जुआ (Gambling) अन्य प्रमुख क्षेत्र हैं जहाँ ऑड्स का भारी उपयोग होता है। हालांकि, प्रदर्शित ऑड्स कभी भी किसी घटना के घटित होने या न होने की वास्तविक संभावना का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं। बुकी (Bookmaker) हमेशा इन ऑड्स में अपना प्रॉफिट मार्जिन (Profit margin) जोड़ता है। इस प्रकार, जीतने वाले दांव लगाने वाले का भुगतान हमेशा उस राशि की तुलना में कम होता है जो उसे तब मिलती जब ऑड्स ने संभावनाओं का पूरी तरह से सटीक प्रतिनिधित्व किया होता।