2D Entfernungsberechnung

Dieser Rechner ermittelt den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, wenn die Koordinaten der Punkte bekannt sind. Der Rechner arbeitet in einem 2-dimensionalen Raum.

Da eine gerade Linie den kürzesten Abstand zwischen 2 Punkten darstellt, kann dieser Rechner auch als Linienlängenrechner verwendet werden.

Gebrauchsanweisung

Der Rechner ermittelt den Abstand zwischen Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂).

Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen, geben Sie deren Koordinaten in die entsprechenden Felder ein. Die Eingabekoordinaten sollten wie folgt eingegeben werden:

• Trennen Sie die beiden Koordinaten jedes Punktes durch ein Komma; geben Sie z. B. "4,5" in das Feld (X₁, Y₁) ein, um Punkt 1 mit der x-Koordinate 4 und der y-Koordinate 5 zu erhalten. Wenn eine der Koordinaten durch eine Dezimalzahl dargestellt wird, verwenden Sie den Dezimalpunkt, um den ganzzahligen Teil vom dezimalen Teil zu trennen; geben Sie zum Beispiel "4,5 ,7" ein, um einen Punkt mit einer x-Koordinate von 4,5 und einer y-Koordinate von 7 zu erhalten.
• Sie können nur ganze Zahlen und Dezimalzahlen als Punktkoordinaten verwenden. Brüche werden nicht akzeptiert.
• Leerzeichen zwischen den Koordinaten sind nicht notwendig, aber Sie können sie der Einfachheit halber verwenden

Nachdem Sie die Koordinaten eingegeben haben, drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt die endgültige Antwort und den detaillierten Lösungsalgorithmus zurück.

Entfernungsformel

In einer zweidimensionalen Ebene lässt sich der Abstand d zwischen Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂) mit Hilfe der folgenden Formel ermitteln:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Mit anderen Worten: Der Abstand zwischen zwei Punkten in einem zweidimensionalen Raum lässt sich als Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen der entsprechenden Koordinaten berechnen. Diese Formel ist bekannt als die euklidische Abstandsformel. Daher kann dieser Rechner auch als Rechner für den euklidischen Abstand bezeichnet werden.

Ableitung der Formel für den euklidischen Abstand

Um die Formel abzuleiten, betrachten wir die beiden gegebenen Punkte auf der Koordinatenebene (X, Y):

Um den Abstand zwischen Punkt 1 und Punkt 2 zu bestimmen, zeichnen wir eine senkrechte Linie von Punkt 2 nach unten und eine waagerechte Linie von Punkt 1 nach rechts. Die beiden gezeichneten Linien und der erforderliche Abstand bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der vertikale Schenkel dieses Dreiecks wird durch den vertikalen Abstand zwischen Punkt 1 und Punkt 2 gebildet: Y₂ - Y₁. Der horizontale Schenkel des Dreiecks wird durch den horizontalen Abstand zwischen den beiden Punkten gebildet: X₂ - X₁. Die Hypotenuse dieses Dreiecks stellt den erforderlichen Abstand zwischen den Punkten dar. Wenn die Längen der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, kann die Länge der Hypotenuse mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermittelt werden:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

Finden wir den Abstand zwischen Punkt 1 mit (X₁, Y₁) = (3, 1) und Punkt 2 mit (X₂, Y₂) = (5, 7). Setzt man die Werte von X₁, Y₁, X₂, Y₂ in die euklidische Abstandsformel ein, so erhält man:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Beachten Sie, dass die Änderung der Reihenfolge der Punkte nichts am Endergebnis ändert, da die Differenzen zwischen den Koordinaten quadriert werden. Wiederholen wir die obige Berechnung unter der Annahme, dass (X₁, Y₁) = (5, 7), und (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Beispiel 2

Betrachten wir ein Beispiel mit negativen Koordinaten und finden den Abstand zwischen Punkt 1 mit (X₁, Y₁) = (-4, 2) und Punkt 2 mit (X₂, Y₂) = (6, -6). Setzt man die Werte von X₁, Y₁, X₂, Y₂ in die euklidische Abstandsformel ein, so erhält man:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Beispiele aus der Praxis

Wie oben gezeigt, basiert die euklidische Abstandsformel auf dem Satz des Pythagoras. Sie passt den Satz jedoch an Situationen an, in denen nur die Koordinaten der Punkte bekannt sind (und nicht die Längen der Seiten des Dreiecks, die im Satz des Pythagoras verwendet werden). Die Formel ist nützlich, wenn Entfernungen anhand der Koordinaten auf einer Karte oder einem Diagramm berechnet werden müssen. Sie wird auch zur Berechnung der Größenordnungen von komplexen Zahlen und Vektoren verwendet.

Beispiel 3

Stellen Sie sich eine Leiter vor, die an der Wand lehnt. In dieser Situation stellt der Boden die x-Achse der 2D-Ebene dar, und die Wand die y-Achse, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Wenn die Leiter die Wand im Punkt (0, 2) und den Boden im Punkt (3, 0) berührt, bestimmen Sie die Länge der Leiter.

Lösung

Um die Länge der Leiter in einer zweidimensionalen Ebene zu ermitteln, die von der Wand und dem Boden gebildet wird, bestimmen wir zunächst die Koordinaten der Endpunkte der Leiter: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Nennen wir den Punkt, an dem die Leiter die Wand berührt - Punkt 1 (X₁, Y₁), und den Punkt, an dem die Leiter den Boden berührt - Punkt 2 (X₂, Y₂). Wir wissen, dass die Leiter die Wand an dem Punkt mit den Koordinaten (0, 2) berührt. Daher ist (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Beachten Sie, dass X₁ = 0 ist, was in der obigen Abbildung deutlich zu sehen ist. Der Punkt (0, 0) entspricht dem physischen Punkt, an dem die Wand auf den Boden trifft, was negative Werte für X und Y unmöglich macht.

Außerdem wissen wir, dass die Leiter den Boden an dem Punkt mit den Koordinaten (3, 0) berührt. Daher ist (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Außerdem ist Y₂ = 0, da diese Koordinaten dem Punkt entsprechen, der direkt auf dem Boden liegt. Verwenden wir nun die Abstandsformel, um die Länge der Leiter zu berechnen:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Antwort

Die Länge der Leiter beträgt 3,6.

Abstand im 3D-Raum

Die euklidische Entfernung ist das, was die meisten Menschen als "Entfernung" bezeichnen. Wenn wir sagen, dass ein Objekt 5 Meter von uns entfernt ist, haben wir die euklidische Entfernung vor Augen. Die oben beschriebene Entfernungsformel kann leicht in 3 (oder sogar mehr!) Dimensionen extrapoliert werden.

In einem dreidimensionalen Raum kann der Abstand zwischen Punkt 1 mit den Koordinaten (X₁, Y₁, Z₁) und Punkt 2 mit den Koordinaten (X₂, Y₂, Z₂) als Quadratwurzel der Summe der quadrierten Differenzen zwischen den entsprechenden Koordinaten berechnet werden:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$