Dreiecksrechner

Dreiecksrechner

Der Dreiecksrechner ist ein praktischer Online-Rechner für Dreiecke, mit dem Sie alle relevanten Dreiecksmaße anhand von nur drei bekannten Werten schnell und präzise ermitteln können. Das Tool nutzt die Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks als Eingabe und berechnet im Handumdrehen folgende Werte:

• fehlende Seitenlängen,
• fehlende Innenwinkel,
• Flächeninhalt,
• Umfang,
• Halbumfang,
• Höhen auf alle drei Seiten des Dreiecks,
• Seitenhalbierende (Mediane) zu allen drei Seiten,
• Inkreisradius,
• Umkreisradius.

Zusätzlich liefert der Rechner die genauen Koordinaten der Eckpunkte, des Schwerpunkts, des Inkreismittelpunkts sowie des Umkreismittelpunkts. Hierbei wird standardmäßig angenommen, dass der Eckpunkt A auf den Koordinaten [0, 0] liegt.

Bedienungsanleitung

Um diesen Dreiecksrechner zu nutzen, geben Sie einfach drei beliebige Werte in die entsprechenden Eingabefelder ein. Sie können beliebige Kombinationen aus Winkeln und Seitenlängen verwenden. Beachten Sie jedoch: Mindestens einer der Werte muss eine Seitenlänge sein. Sind nur drei Winkel bekannt, gäbe es unendlich viele Dreiecke (ähnliche Dreiecke), weshalb eine eindeutige Berechnung nicht möglich ist.

Wählen Sie nach der Eingabe Ihrer Werte die gewünschte Einheit für die Winkel aus – Sie haben die Wahl zwischen Grad und Bogenmaß (Radiant). Falls Sie das Bogenmaß verwenden, können Sie "pi" als Eingabe für π nutzen. Beträgt der Winkel beispielsweise \$\frac{π}{3}\$, geben Sie einfach "pi/3" ein. Klicken Sie anschließend auf "Berechnen". Der Rechner ermittelt sofort alle fehlenden Eigenschaften aus der obigen Liste und erstellt eine schematische Darstellung des Dreiecks, die Ihnen hilft, das Ergebnis optimal zu visualisieren.

Nach erfolgter Berechnung können Sie das Feld „Berechnungsschritte anzeigen“ ausklappen. Dort finden Sie den kompletten Lösungsansatz sowie alle mathematischen Formeln, die zur Ermittlung der Ergebnisse herangezogen wurden.

Beschränkungen für die Eingabewerte

Damit das Dreieck berechnet werden kann, gelten folgende mathematische Voraussetzungen:

Mindestens einer der drei bekannten Werte muss eine Seitenlänge sein.

Wenn Sie zwei Winkel und eine Seitenlänge eingeben, muss die Summe der beiden Winkel zwingend kleiner als 180° (oder π im Bogenmaß) sein, da die Innenwinkelsumme im Dreieck genau 180° beträgt.

Wenn Sie drei Seitenlängen eingeben, gilt die sogenannte Dreiecksungleichung: Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten muss immer größer sein als die Länge der dritten Seite.

Berechnungsbeispiel

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen um und möchten den Transporter eines Freundes ausleihen. Sie müssen das Fahrzeug be- und entladen, aber es verfügt über keine integrierte Rampe. Sie besitzen zwar eine tragbare Rampe, müssen aber sicherstellen, dass deren Abmessungen zur Ladehöhe des Transporters passen. Die Rampe ist nicht verstellbar. Sie haben gemessen, dass zwei ihrer Seiten 1 m und 0,8 m lang sind und der Winkel, der der 1-Meter-Seite gegenüberliegt, genau 85 Grad beträgt (siehe Abbildung). Sie wissen zudem, dass sich die Ladehöhe des Transporters flexibel zwischen 0,5 m und 1 m einstellen lässt. Passt Ihre Rampe?

Gegeben:

• Seite b = 1
• Seite c = 0,8
• Winkel B = 85 Grad

Lösung:

Um herauszufinden, ob die Rampe geeignet ist, müssen Sie das entsprechende Dreieck berechnen und prüfen, ob die fehlende Seite a (die Höhe der Rampe) in den vorgegebenen Bereich des Transporters passt: 0,5 < a < 1. Wenn Sie die bekannten Werte in den Dreiecksrechner eingeben, erhalten Sie sofort das Ergebnis. Für unser praktisches Problem benötigen wir nur die fehlende Seitenlänge a.

Der Rechner ermittelt natürlich noch viele weitere Daten, die wichtigsten Ergebnisse für dieses Beispiel lauten:

Antwort:

• Seite a = 0,67376

• Seite b = 1

• Seite c = 0,8

• Winkel A = 42,16° = 42°9'35" = 0,73582 rad

• Winkel B = 85° = 1,48353 rad

• Winkel C = 52,84° = 52°50'25" = 0,92224 rad

Die schematische Darstellung der Rampe sieht in etwa so aus:

Das Ergebnis zeigt: Die Höhe a beträgt ca. 0,674 m. Da die Ladehöhe des Transporters in einem Bereich von 0,5 < a < 1 variabel eingestellt werden kann, passt die Höhe der Rampe perfekt! Sie können sich den Transporter Ihres Freundes bedenkenlos ausleihen und sparen sich das Geld für einen Mietwagen.

Dreieck: Definition und wichtige Formeln

In der Geometrie ist ein Dreieck eine ebene Figur, die von drei geraden, sich schneidenden Linien begrenzt wird. Man kann ein Dreieck auch als Polygon mit drei Eckpunkten und drei Kanten (Seiten) beschreiben.

Bedingungen für die Existenz eines Dreiecks

Damit ein Dreieck überhaupt existieren kann, müssen zwei grundlegende Bedingungen erfüllt sein: Eine bezieht sich auf die Seiten, die andere auf die Winkel.

Die Seitenbedingung ist als Dreiecksungleichung bekannt. Sie besagt, dass die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite sein muss. Entspricht die Summe der beiden Seiten exakt der Länge der dritten Seite, spricht man von einem entarteten Dreieck. Bei einem entarteten Dreieck liegen alle drei Eckpunkte auf einer einzigen geraden Linie. Dies ist ein spezieller Grenzfall, der in der klassischen elementaren Geometrie meist vernachlässigt und auch bei diesem Rechner nicht berücksichtigt wird.

Die Winkelbedingung besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks immer exakt 180° (oder π im Bogenmaß) beträgt.

Dreiecksmaße berechnen

Schauen wir uns nun die wichtigsten Eigenschaften eines Dreiecks an und werfen einen Blick auf die Formeln, mit denen diese berechnet werden.

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe aller drei Seitenlängen und wird wie folgt berechnet:

p = a + b + c

Der Halbumfang eines Dreiecks ist, wie der Name schon sagt, genau die Hälfte des Umfangs:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beschreibt, wie viel Fläche die Figur in der zweidimensionalen Ebene einnimmt. Sind zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt, lässt sich die Fläche mit dieser Formel ermitteln:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot (die senkrechte Linie) von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite. Da ein Dreieck drei Seiten besitzt, hat es folglich auch drei Höhen. Die Höhe, die senkrecht auf der Seite a steht, wird meist als hₐ bezeichnet. Dementsprechend nennt man die anderen beiden Höhen \$h_b\$ und h꜀. Am einfachsten lässt sich die Höhe über den Flächeninhalt herleiten:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Die Seitenhalbierende (der Median) eines Dreiecks ist die Verbindungsstrecke zwischen einem Eckpunkt und dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Auch hier gibt es in jedem Dreieck drei Stück.

Die Seitenhalbierende zur Seite a wird typischerweise mit mₐ abgekürzt (analog dazu \$m_b\$ und m꜀ für die anderen Seiten). Ihre Länge kann mit folgender Formel berechnet werden:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Der Inkreisradius eines Dreiecks ist der Radius des Kreises, der das Dreieck von innen ausfüllt und dabei alle drei Seiten exakt berührt (tangiert).

Die Länge dieses Inkreisradius r berechnet sich wie folgt:

$$r=\frac{A}{s}$$

Der Umkreisradius eines Dreiecks ist der Radius des Kreises, der exakt durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft.

Die Länge des Umkreisradius R lässt sich mit Hilfe des sogenannten Sinussatzes bestimmen:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Der Sinussatz ist ein äußerst mächtiges Werkzeug in der Geometrie, um fehlende Seitenlängen oder Winkel zu berechnen. Eine weitere, ebenso wichtige Regel ist der Kosinussatz:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Mit all diesen aufgeführten mathematischen Gesetzmäßigkeiten lässt sich jedes beliebige Dreieck vollständig berechnen. Genau diese Formeln verwendet unser Dreiecksrechner im Hintergrund, um Ihnen in Sekundenbruchteilen die exakten fehlenden Werte zu liefern.