Ortalama, Medyan, Mod, Aralık Hesaplayıcı

Ortalama, Medyan, Mod ve Aralık Hesaplayıcı Kullanımı

Ortalama, Medyan, Mod ve Aralık Hesaplayıcı; elinizdeki veri setinin ortalama, medyan (ortanca), mod (tepe değer) ve aralık (ranj) değerlerini tek bir işlemle, hızlı ve kolayca bulmanızı sağlar. Verilerinizi giriş alanına kopyalayıp yapıştırmanız veya manuel olarak girmeniz yeterlidir. Veri setinizdeki sayıları birbirinden ayırmak için virgül kullandığınızdan emin olun. Ardından "Hesapla" butonuna tıklayarak sonuçlara anında ulaşabilirsiniz.

İşlemi tamamladığınızda sonuçlar anında ekrana yansır. Gelişmiş Ortalama, Medyan, Mod ve Aralık Hesaplayıcı aracımız; yalnızca bu temel istatistiksel ölçümleri sunmakla kalmaz. Aynı zamanda Geometrik Ortalama, En Büyük (Maksimum) ve En Küçük (Minimum) değer, Genel Toplam, Veri Sayısı (Eleman Sayısı) ve Sıralanmış Veri Seti gibi detaylı sonuçları da sizinle paylaşır.

Veri setinizi en iyi temsil eden istatistiksel değerleri bulmak, Ortalama, Medyan ve Mod Hesaplayıcı ile artık çok daha zahmetsiz. Aralık (ranj) hesaplayıcısı ise veri setinizin yayılımını ve genel dağılım aralığını pratik bir şekilde analiz etmenize olanak tanır. Şimdi, bu aracın sunduğu temel istatistiksel kavramların ve çıktıların ne anlama geldiğini yakından inceleyelim.

Ortalama (Aritmetik Ortalama) Nedir?

Ortalama (aritmetik ortalama), bir veri setindeki tüm değerlerin matematiksel ortalamasını ifade eder. Başka bir deyişle, veri setindeki tüm değerlerin toplamının, toplam eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir. İstatistiksel olarak bir popülasyonun (evrenin) ortalaması μ (Mu) sembolüyle gösterilirken, bir örneklemin ortalaması x̄ (X-çizgi) ile temsil edilir.

Bir popülasyonun ortalamasını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

$$\mu=\frac{Veri\ setinin\ değerler\ toplamı}{Popülasyondaki\ veri\ değerlerinin\ toplam\ sayısı}=\frac{\Sigma X}{N}$$

Bir örneklemin ortalamasını bulmak için ise şu formülden yararlanılır:

$$\bar{x}=\frac{Veri\ setinin\ değerler\ toplamı}{Örnekteki\ veri\ değerlerinin\ toplam\ sayısı}=\frac{\Sigma X}{n}$$

Konuyu daha iyi kavramak için ortalama hesaplamayla ilgili aşağıdaki örneği inceleyelim.

Örnek:

Bir üniversite basketbol takımındaki oyuncuların boy uzunlukları (metre cinsinden) aşağıda verilmiştir. Bu takımdaki oyuncuların ortalama boyu nedir?

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Çözüm:

$$Ortalama\ boy=\frac{\sum{}{}X}{N}=\frac{1,75\ m+1,96\ m+1,95\ m+2,00\ m+2,05\ m+2,05\ m+2,10\ m}{7}=\frac{13,86\ m}{7}=1,98\ m$$

Görüldüğü üzere aritmetik ortalama, veri setindeki tüm değerler dikkate alınarak hesaplanır. Bu nedenle, genel veri setini temsil eden en temel merkezi eğilim ölçüsüdür.

Yukarıda açıkladığımız aritmetik ortalamaya ek olarak, gelişmiş hesaplayıcımızı kullanarak veri setinizin geometrik ortalamasını da bulabilirsiniz. İstatistikte geometrik ortalama, veri setindeki n adet elemanın çarpımının n'inci dereceden kökü alınarak bulunur.

$$Geometrik\ ortalama=\sqrt[n]{x₁ × x₂ × x₃ × \cdots × xₙ}$$

Şimdi, önceki basketbol oyuncuları boy örneğimiz üzerinden geometrik ortalamayı hesaplayalım:

$$Geometrik\ ortalama=\sqrt[7]{1,75×1,96×1,95×2,00×2,05×2,05×2,10}=\sqrt[7]{118,0554}\approx1,977$$

İstatistiksel bir kural olarak; negatif olmayan herhangi bir sayılar kümesinde Geometrik Ortalama, daima Aritmetik Ortalamadan küçük veya ona eşittir.

Bizim verdiğimiz örnekte de bu kuralın geçerli olduğunu görebiliriz:

$$Geometrik\ ortalama < Aritmetik\ ortalama$$

$$1,977<1,98$$

Medyan (Ortanca Değer) Nedir?

Medyan (ortanca değer), artan veya azalan sıraya göre dizilmiş bir veri setinin tam ortasında yer alan değerdir. Medyan hesaplayıcımız, sıralanmış verilerinizi tam ortadan iki eşit parçaya bölerek merkez noktasını tespit eder.

$$Medyan=\left(\frac{N+1}{2}\right). \text{değer}$$

Eğer veri setinizdeki eleman sayısı tek ise, medyan doğrudan sıralanmış dizinin tam ortasındaki değerdir (Aracımız verilerinizi otomatik olarak sıralar). Ancak veri setindeki eleman sayısı çift sayı ise, dizinin tam ortasında iki farklı değer bulunacağından, medyan bu iki orta noktanın aritmetik ortalaması alınarak bulunur.

Önceki örneğimizdeki basketbolcular üzerinden medyanı (ortanca) hesaplayalım.

İlk adım olarak, karmaşık haldeki veri setini küçükten büyüğe doğru sıralamamız gerekir.

1,75 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Verilerimizi sıraladığımıza göre, şimdi orta noktayı bulabiliriz:

$$Medyan=\left(\frac{N+1}{2}\right). \text{değer}=\left(\frac{7+1}{2}\right). \text{değer}=4. \text{değer}$$

Formül sonucuna göre, sıralanmış veri setindeki 4. değer 2,00 m'dir. Buna göre,

Medyan = 2,00 m

Şimdi varsayalım ki basketbol takımına 1,90 m boyunda yeni bir oyuncu daha katıldı. Bu durumda takımdaki basketbolcuların medyan boy uzunluğu ne olacaktır?

Yeni oyuncunun katılımıyla oyuncu boyları güncellenir:

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m, 1,90 m

Yeni veriyi de katarak seti yeniden küçükten büyüğe sıralayalım:

1,75 m, 1,90 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Ardından yeniden orta noktayı hesaplayalım:

$$Medyan=\left(\frac{N+1}{2}\right). \text{değer}=\left(\frac{8+1}{2}\right). \text{değer}=4,5. \text{değer}$$

Veri setimizde çift sayıda (8) oyuncu olduğu için tam ortada tek bir değer yoktur. Bu yüzden ortadaki iki noktanın ortalamasını bulmamız gerekir. Bu örneğimizde medyan, sıralı dizideki 4. ve 5. değerlerin aritmetik ortalaması olacaktır.

İşlemi yaparsak;

$$Medyan=\frac{1,96\ m+2,00\ m}{2}=1,98\ m$$

Eğer veri setinizde ortalamayı aşırı derecede yükseltecek veya düşürecek uç değerler (aykırı değerler) bulunuyorsa, medyan merkezi eğilim ölçüsü olarak çok daha güvenilir bir araçtır. Aşırı uç değerler ortalamayı doğrudan saptırırken, medyanı etkileyemez; çünkü medyan değerlerin büyüklüğüne değil, sıralamadaki konumuna bakar. Medyan, istatistikte verinin merkezini göstermek için sağlam ve dirençli bir referans noktası sağlasa da, aritmetik ortalamanın aksine veri setindeki tüm değerleri hesaba katarak işlem yapmaz.

Mod (Tepe Değer) Nedir?

Mod (tepe değer), bir veri setinde en çok tekrar eden, yani frekansı en yüksek olan değerdir. Başka bir ifadeyle, bir dağılımda en yaygın karşılaşılan değer o verinin modudur.

Şimdi, önceki basketbol oyuncuları örneğimizin modunu bulalım.

Veri setimizi incelediğimizde, 2,05 m hariç diğer tüm boy uzunluklarının yalnızca birer kez tekrar ettiğini görüyoruz. Takımdaki iki farklı oyuncunun boyu 2,05 m'dir. Bu nedenle, 2,05 m değeri örneğimizdeki en yaygın (en çok tekrar eden) veridir.

Mod = 2,05 m

İncelediğimiz örnekte yalnızca tek bir tepe değer bulunduğu için, bu tür veri setlerine istatistikte tek modlu (unimodal) adı verilir. Ancak bir veri setinde birden fazla mod bulunması da mümkündür. Eğer verileriniz içinde en çok tekrar eden iki farklı değer varsa bu dizi çift modlu (bimodal), ikiden fazla mod varsa çok modlu (multimodal) olarak adlandırılır. Öte yandan, bir veri setindeki tüm elemanlar yalnızca birer kez (eşit sıklıkta) görülüyorsa, o veri setinde bir mod değerinden söz edilemez (mod yoktur).

Bir veri setinin modunu karmaşık bir matematiksel işlem yapmadan, sadece verilerin tekrar sıklığına bakarak kolayca tespit edebiliriz. Ancak mod, ortalamada olduğu gibi veri setindeki her bir değeri formüle dahil etmediği için genel durumu her zaman en doğru şekilde temsil etmeyebilir.

Aralık (Ranj) Nedir?

Aralık (ranj veya açıklık), bir veri setindeki en büyük değer (maksimum) ile en küçük değer (minimum) arasındaki farktır. Veri setinizin ne kadarlık bir alana yayıldığını ve genel dağılımını anlamak için hesaplanabilecek en kolay istatistiksel ölçümdür.

Aralık = En büyük değer - En küçük değer

Konuyu pekiştirmek için basketbolcu boyları örneğimiz üzerinden aralığı bulalım.

Aralığı hesaplamak için öncelikle elinizdeki dizinin içindeki en yüksek ve en düşük değeri belirlemeniz gerekir. Eğer çok fazla veriniz varsa ve veri setiniz karmaşıksa, en büyük ve en küçük değeri anında tespit edip sonucu görmek için Aralık Hesaplayıcısı aracımızdan faydalanabilirsiniz.

Maksimum ve minimum değerleri bulduktan sonra, aralarındaki farkı almanız yeterlidir.

En büyük değer = 2,10 m

En küçük değer = 1,75 m

Buna göre,

Aralık = 2,10 m - 1,75 m = 0,35 m

Aralık hesaplaması, veri setinin genel resmi hakkında hızlı bir fikir verse de, yalnızca uç noktalardaki (en büyük ve en küçük) iki değere odaklandığı için zayıf bir noktası vardır. Dizinin ortasındaki diğer hiçbir veriyi dikkate almadığından dolayı, aşırı uç (aykırı) değerlerin olduğu setlerde yanıltıcı sonuçlara ve istatistiksel sapmalara karşı oldukça hassastır.