Máy tính số trung bình, trung vị, mốt, khoảng biến thiên

Sử dụng Máy tính Giá trị Trung bình, Trung vị, Mode và Phạm vi

Công cụ Máy tính Giá trị Trung bình, Trung vị, Mode và Phạm vi giúp việc tìm các chỉ số thống kê cơ bản cùng một lúc trở nên vô cùng nhanh chóng và đơn giản. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu thô hoặc sao chép và dán trực tiếp vào ô nhập liệu. Hãy nhớ sử dụng dấu phẩy để phân tách các số hoặc giá trị trong tập dữ liệu của bạn. Sau đó, nhấn nút Tính toán (Calculate).

Ngay lập tức, hệ thống sẽ trả về kết quả chuẩn xác nhất. Công cụ tính toán thống kê của chúng tôi không chỉ tìm ra Giá trị Trung bình cộng, Trung vị, Mode (Mốt) và Phạm vi (Khoảng biến thiên) mà còn cung cấp Trung bình nhân, trích xuất số Lớn nhất và Nhỏ nhất, tính Tổng, Đếm số lượng phần tử và trả về Tập dữ liệu đã sắp xếp.

Việc tìm ra các giá trị đại diện cho tập dữ liệu của bạn giờ đây dễ dàng hơn bao giờ hết. Hơn thế nữa, Máy tính Phạm vi còn giúp bạn đánh giá được độ phân tán của dữ liệu một cách trực quan. Dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết ý nghĩa các kết quả đầu ra từ công cụ tuyệt vời này.

Định nghĩa giá trị trung bình

Giá trị trung bình (Mean) là trung bình cộng của tất cả các giá trị trong một tập dữ liệu. Nói cách khác, để tìm giá trị trung bình, bạn lấy tổng các giá trị chia cho tổng số lượng phần tử có trong tập dữ liệu đó. Giá trị trung bình của tổng thể (quần thể) được biểu thị bằng ký hiệu μ (Mu) và giá trị trung bình của mẫu được biểu thị bằng x̄ (X-bar).

Để tính giá trị trung bình của tổng thể, bạn có thể sử dụng công thức sau:

$$\mu=\frac{Tổng\ các\ giá\ trị\ trong\ tập\ dữ\ liệu}{Tổng\ số\ lượng\ giá\ trị\ dữ\ liệu\ trong\ quần\ thể}=\frac{ΣX}{N}$$

Để tính giá trị trung bình của mẫu, bạn có thể sử dụng công thức sau:

$$\bar{X}=\frac{Tổng\ các\ giá\ trị\ trong\ tập\ dữ\ liệu}{Tổng\ số\ lượng\ giá\ trị\ dữ\ liệu\ trong\ mẫu}=\frac{ΣX}{n}$$

Hãy cùng tìm hiểu cách tính giá trị trung bình thông qua ví dụ thực tế dưới đây.

Ví dụ:

Chiều cao của các cầu thủ bóng rổ trong đội tuyển trường đại học của bạn (tính bằng mét) được thống kê như sau. Chiều cao trung bình của các cầu thủ là bao nhiêu?

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Lời giải:

$$Chiều\ cao\ trung\ bình=\frac{\sum{}{}X}{N}=\frac{1,75\ m+1,96\ m+1,95\ m+2,00\ m+2,05\ m+2,05\ m+ 2,10\ m}{7}=\frac{13,86\ m}{7}=1,98\ m$$

Giá trị trung bình được tính toán dựa trên tất cả các giá trị, do đó, nó là một chỉ số đại diện xuất sắc cho toàn bộ tập dữ liệu của bạn.

Bên cạnh trung bình cộng, bạn cũng có thể sử dụng máy tính này để xác định giá trị trung bình nhân (geometric mean) của tập dữ liệu. Căn bậc n của tích n phần tử trong tập dữ liệu được gọi là giá trị trung bình nhân.

$$Trung\ bình\ hình\ học=\sqrt[n]{x₁ × x₂ × x₃ × \cdots × xₙ}$$

Chúng ta sẽ tính giá trị trung bình nhân (được ghi là trung bình hình học trong công thức) cho ví dụ trên:

$$Trung\ bình\ hình\ học=\sqrt[7]{1,75×1,96×1,95×2,00×2,05×2,05×2,10}=\sqrt[7]{118,0554}=1,977$$

Giá trị trung bình nhân luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị trung bình cộng đối với bất kỳ tập hợp các số thực không âm nào.

Trong ví dụ của chúng ta:

$$Trung\ bình\ hình\ học < Trung\ bình\ cộng$$

$$1,977<1,98$$

Định nghĩa trung vị

Trung vị (Median) là điểm chính giữa của một tập dữ liệu sau khi đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Về bản chất, công cụ máy tính trung vị giúp chia tập dữ liệu của bạn thành hai nửa hoàn toàn bằng nhau.

$$Trung\ vị=Giá\ trị\ của\ phần\ tử\ thứ\ \left(\frac{N+1}{2}\right)$$

Nếu số lượng phần tử trong tập dữ liệu là số lẻ, trung vị chính là giá trị nằm ở vị trí chính giữa của tập dữ liệu đã sắp xếp. Tính năng tự động sắp xếp của Máy tính Giá trị Trung bình, Trung vị, Mode và Phạm vi sẽ hỗ trợ bạn việc này một cách nhanh chóng. Nếu số lượng phần tử là số chẵn, trung vị sẽ là trung bình cộng của hai giá trị nằm ở chính giữa.

Hãy tìm trung vị cho ví dụ về đội bóng rổ trước đó.

Đầu tiên, chúng ta sẽ sắp xếp tập dữ liệu theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.

1,75 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Bây giờ chúng ta sẽ tìm điểm chính giữa.

$$Trung\ vị=Giá\ trị\ của\ phần\ tử\ thứ\ \left(\frac{7+1}{2}\right)=Giá\ trị\ của\ phần\ tử\ thứ\ 4$$

Giá trị của phần tử thứ 4 trong tập dữ liệu đã sắp xếp là 2,00 m. Vì thế:

Trung vị = 2,00 m

Giả sử đội bóng rổ có thêm một cầu thủ mới cao 1,90 m. Lúc này, trung vị chiều cao của các cầu thủ trong đội sẽ thay đổi ra sao?

Chiều cao của các cầu thủ hiện tại như sau:

1,75 m, 1,96 m, 1,95 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m, 1,90 m

Đầu tiên, chúng ta vẫn cần sắp xếp lại tập dữ liệu theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.

1,75 m, 1,90 m, 1,95 m, 1,96 m, 2,00 m, 2,05 m, 2,05 m, 2,10 m

Bây giờ chúng ta sẽ tìm điểm chính giữa.

$$Trung\ vị=Giá\ trị\ của\ phần\ tử\ thứ\ \left(\frac{8+1}{2}\right)=Giá\ trị\ của\ phần\ tử\ thứ\ {4,5}$$

Vì số lượng cầu thủ lúc này là số chẵn, bạn phải tính trung bình cộng của hai giá trị ở giữa. Trong ví dụ này, trung vị là trung bình của phần tử thứ 4 và thứ 5.

Vì thế:

$$Trung\ vị=\frac{1,96\ m+2,00\ m}{2}=1,98\ m$$

Trung vị đóng vai trò là một thước đo xu hướng trung tâm cực kỳ hữu ích, đặc biệt khi tập dữ liệu của bạn xuất hiện các giá trị cực lớn hoặc cực nhỏ. Những giá trị bất thường này hoàn toàn không làm sai lệch kết quả, bởi vì phương pháp này chỉ tập trung vào các điểm dữ liệu nằm ở vị trí trung tâm.

Có thể nói, trung vị là một công cụ đo lường mang tính ổn định cao trước các giá trị ngoại lệ (outlier). Dù cung cấp một điểm tham chiếu trung tâm tuyệt vời và loại bỏ được nhiễu, cần lưu ý rằng trung vị không tính toán dựa trên mọi giá trị chi tiết trong tập dữ liệu giống như cách mà giá trị trung bình thực hiện.

Định nghĩa Mốt (Mode)

Mode (Mốt) là giá trị xuất hiện phổ biến nhất trong một tập dữ liệu. Nói một cách đơn giản, mode là phần tử có tần suất lặp lại cao nhất.

Hãy cùng tìm mode trong ví dụ về chiều cao cầu thủ trước đó.

Tất cả các số đo chiều cao đều chỉ xuất hiện một lần, ngoại trừ mức 2,05 m. Có hai cầu thủ cùng đạt chiều cao này. Do đó, 2,05 m chính là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu.

Mode = 2,05 m

Trong ví dụ trên, vì chỉ có duy nhất một giá trị mode, tập dữ liệu này được gọi là tập dữ liệu đơn mốt (unimodal). Một tập dữ liệu hoàn toàn có thể sở hữu nhiều hơn một mode. Nếu có 2 mode, nó được gọi là nhị mốt (bimodal). Trường hợp có từ 3 mode trở lên, ta gọi đó là tập dữ liệu đa mốt (multimodal). Đặc biệt lưu ý, nếu tất cả các giá trị trong tập dữ liệu đều chỉ xuất hiện đúng một lần, tập dữ liệu đó sẽ không có mode.

Chúng ta có thể dễ dàng xác định mode bằng cách quan sát mà không cần đến các phép tính phức tạp. Tuy nhiên, điểm hạn chế của mode là nó không thể hiện chính xác đặc tính của toàn bộ các giá trị trong tập dữ liệu một cách toàn diện như giá trị trung bình.

Định nghĩa phạm vi

Phạm vi (hay Khoảng biến thiên - Range) là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu. Đây là thước đo đo lường độ phân tán đơn giản nhất mà bạn có thể tính toán để xem dữ liệu của mình trải rộng đến mức nào.

Phạm vi = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

Hãy cùng tính toán phạm vi thông qua ví dụ ở trên.

Trước tiên, bạn cần xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tập dữ liệu. Nếu dữ liệu chưa được sắp xếp, chúng ta có thể sử dụng Máy tính Phạm vi để trích xuất các giá trị cực đại và cực tiểu này một cách tự động và nhanh chóng.

Sau đó, bạn chỉ cần thực hiện phép trừ giữa hai giá trị này.

Giá trị lớn nhất = 2,10 m

Giá trị nhỏ nhất = 1,75 m

Vì thế:

Phạm vi = 2,10 m - 1,75 m = 0,35 m

Chỉ số phạm vi rất dễ bị ảnh hưởng và thiếu tính đại diện nếu xuất hiện các giá trị ngoại lệ, bởi vì nó chỉ tính toán dựa trên hai giá trị cực trị (lớn nhất và nhỏ nhất) mà bỏ qua hoàn toàn các điểm dữ liệu khác ở giữa.