Calculadora de permutaciones

Nuestra calculadora de permutaciones determina la cantidad de formas posibles de organizar n objetos distintos, tomando una muestra de r elementos a la vez. Esta herramienta resulta fundamental para averiguar el número de disposiciones u ordenamientos posibles en grupos donde el orden sí importa. En matemáticas, el número total de elementos disponibles se denota como n, mientras que el tamaño de la muestra o subgrupo se representa con r.

Por ejemplo, si deseamos ordenar las letras XYZ en subgrupos de dos, obtendríamos las siguientes combinaciones ordenadas: XY, XZ, YZ, YX, ZX y ZY. Es decir, 6 formas diferentes.

¿Cómo usar nuestra herramienta? Simplemente introduzca el valor de n (el total de objetos a organizar) y el valor de r (la cantidad de elementos por grupo). Luego, haga clic en "Calcular" para obtener su resultado al instante. Si desea realizar una nueva operación matemática, pulse "Borrar" para reiniciar la calculadora e ingresar nuevas cifras.

Permutaciones

En matemáticas, una permutación es la disposición de los miembros de un conjunto en una secuencia u orden específico. La principal característica al calcular permutaciones es que el orden de los elementos es estrictamente importante. Por ejemplo, las secuencias AB y BA representan dos permutaciones totalmente diferentes. El número de permutaciones de n objetos tomados en muestras de r elementos se denota matemáticamente como nPr.

La forma de calcular el número de permutaciones depende de los elementos a organizar y de si se permiten repeticiones en el conjunto. Salvo que se indique explícitamente lo contrario, en este contexto siempre asumimos que se trata de permutaciones sin repetición.

En este artículo, exploraremos diversos ejemplos de permutaciones sin repetición para comprender mejor su aplicación.

Las permutaciones se rigen por el principio fundamental del conteo. Este principio establece que, si un proceso consta de k eventos secuenciales, donde el primer evento puede ocurrir de n₁ formas, el segundo de n₂ formas, y así sucesivamente hasta llegar a nₖ, el número total de formas en que el proceso completo puede desarrollarse está dado por el producto de todas las posibilidades individuales: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Imaginemos que queremos averiguar la cantidad de ordenamientos posibles con las letras ABC sin repetir ninguna letra. Cualquiera de las tres opciones puede ocupar la primera posición (3 alternativas). Una vez fijada la primera, nos quedan dos letras disponibles para la segunda posición (2 alternativas). Finalmente, tras asegurar las dos primeras letras, solo restará una opción para la tercera posición (1 alternativa).

Por lo tanto, aplicando el principio fundamental del conteo, obtenemos 3 × 2 × 1 = 6 maneras distintas de organizar las letras ABC. Estas permutaciones son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA.

El Factorial

Anteriormente, observamos que las permutaciones de 3 objetos distintos se calculan resolviendo 3 × 2 × 1 = 6. De forma general, la cantidad total de permutaciones de n objetos se calcula multiplicando en cuenta regresiva: n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

A esta operación —la multiplicación secuencial de todos los números enteros positivos desde n descendiendo hasta 1— se le conoce en matemáticas como factorial, y se representa con un signo de exclamación (!).

En consecuencia, la fórmula se expresa como n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, y se lee como "n factorial".

Nota importante: Por convención matemática universal, el factorial de cero y uno equivale a la unidad: 0! = 1 y 1! = 1.

El ejemplo de permutaciones

Una pista de atletismo estándar en los Juegos Olímpicos consta de 9 carriles. Sin embargo, en la prueba de los 100 metros lisos, el carril 1 no suele utilizarse. Así, los 8 corredores que participan en la final deben distribuirse en los carriles del 2 al 9. ¿De cuántas formas posibles se pueden ubicar a estos 8 atletas en los carriles disponibles?

Aplicando el principio fundamental del conteo:

• Cualquiera de los 8 corredores puede ocupar el carril 2.
• Cualquiera de los 7 corredores restantes puede tomar el carril 3.
• Cualquiera de los 6 corredores restantes puede ubicarse en el carril 4.
• Cualquiera de los 5 corredores restantes puede recibir el carril 5.
• Cualquiera de los 4 corredores restantes puede posicionarse en el carril 6.
• Cualquiera de los 3 corredores restantes puede ir al carril 7.
• Cualquiera de los 2 corredores restantes es asignado al carril 8.
• El último corredor disponible ocupa, obligatoriamente, el carril 9.

Por lo tanto, el total de permutaciones posibles para organizar a los 8 atletas en los 8 carriles se calcula mediante el factorial: 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 maneras distintas.

Si desea comprobarlo en nuestra calculadora de permutaciones, ingrese 8 en el cuadro n (objetos) y 8 en el cuadro r (muestra). Al pulsar "Calcular", visualizará el resultado de 40.320.

Permutación de subconjuntos

En los ejemplos previos, calculamos permutaciones tomando en cuenta el total de los elementos del conjunto simultáneamente. No obstante, en la probabilidad y estadística, es muy común enfrentarnos a escenarios donde debemos organizar objetos extrayendo grupos más reducidos o muestras.

En tales casos, el total de elementos disponibles se denota como n, y el tamaño de la muestra seleccionada se representa con r. La fórmula general de permutaciones a utilizar es la siguiente:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Esta ecuación es imprescindible para calcular permutaciones sin repetición cuando necesitamos extraer y organizar, bajo un orden riguroso, una muestra r a partir de un universo total n.

Por el contrario, si necesitamos disponer todos los elementos del conjunto (es decir, cuando la muestra extraída es igual al total disponible, n = r) en un orden determinado y sin repeticiones, la fórmula se simplifica a:

$$ₙPᵣ=n!$$

Ejemplo

Volviendo al caso de los 8 corredores en la final de los 100 metros lisos: imaginemos ahora que nos centramos únicamente en la distribución de las medallas. El atleta que llegue en primer lugar obtendrá la medalla de oro, el segundo se llevará la de plata y el tercero la de bronce. De los 8 competidores, ¿de cuántas maneras diferentes se puede configurar este podio?

Siguiendo el principio del conteo, cualquiera de los 8 corredores podría llevarse el oro (primera posición). Una vez ocupada esta plaza, nos quedan 7 corredores disputándose la plata (segunda posición). Finalmente, definidos el oro y la plata, restarán 6 atletas con posibilidades de ganar el bronce (tercera posición).

Así, el número de permutaciones posibles para el podio completo es: 8 × 7 × 6 = 336.

Podemos corroborarlo aplicando la fórmula formal de permutaciones:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Sustituyendo nuestros valores, obtenemos:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Para automatizar este proceso, vaya a nuestra calculadora de permutaciones, ingrese 8 en el campo n (objetos) y 3 en el campo r (muestra). Haga clic en "Calcular" y obtendrá las 336 formas posibles al instante.

Permutaciones y combinaciones: La diferencia

Otra técnica esencial en el ámbito de la combinatoria son las combinaciones. Una combinación representa las diferentes maneras en que podemos seleccionar un grupo reducido de elementos (muestra r) a partir de un conjunto más grande (n). El número de combinaciones posibles se representa con la notación ₙCᵣ.

Al explicar la definición de permutación, recalcamos enfáticamente que la posición o el orden es determinante. Precisamente ahí radica la diferencia entre permutaciones y combinaciones: al calcular combinaciones, el orden de los elementos no importa.

Retomando el ejemplo anterior de las letras XYZ agrupadas de a dos, vimos que las permutaciones generaban seis resultados distintos (XY, XZ, YZ, YX, ZX y ZY) debido a que la alteración del orden producía un nuevo resultado.

Sin embargo, las combinaciones de las letras XYZ en parejas nos entregan únicamente tres resultados: XY, XZ y YZ. Esto ocurre porque, bajo las reglas de la combinación matemática, la pareja XY se considera exactamente igual a YX. Lo mismo sucede con los pares XZ/ZX y YZ/ZY. Al no importar el orden de extracción, las opciones se reducen.

La fórmula matemática para calcular el número de combinaciones de r elementos extraídos de un conjunto n es la siguiente:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Ejemplo de cálculo de combinaciones

En el escenario deportivo que analizamos antes, calculamos el número de formas de repartir un oro, plata y bronce (posiciones distintas) entre 8 corredores. Supongamos ahora que la competencia no otorga posiciones jerárquicas, sino que simplemente selecciona a 3 ganadores aleatorios para entregarles un diploma de clasificación idéntico. En este caso, llegar primero, segundo o tercero da exactamente igual; lo relevante es ser parte del selecto grupo de los 3 clasificados.

Dado que el orden de llegada carece de importancia, debemos utilizar la fórmula de combinaciones:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Las formas posibles en que se pueden seleccionar a 3 clasificados de un grupo de 8 atletas se calcula así:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Ejemplos de cálculo de permutaciones

1. Un productor de televisión debe elegir a 3 de sus 5 expertos invitados para que intervengan en su programa de debate. El flujo del programa exige un orden específico para las apariciones, y obviamente un mismo experto no puede intervenir como si fuera dos personas distintas (sin repetición). Dado que el orden de intervención influye en el formato, utilizamos la fórmula de permutaciones:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Podemos concluir que el productor tiene 60 formas distintas de organizar el panel de expertos de su programa.

2. Un exigente crítico gastronómico ha visitado 10 restaurantes de sushi en su ciudad con la misión de publicar un ranking detallando su "Top 3". Cada restaurante seleccionado debe presentarse en una posición específica (el mejor absoluto, el segundo y el tercero). Lógicamente, un restaurante no puede ocupar dos puestos en la misma lista. Al ser fundamental la jerarquía (orden) y no existir duplicados, los requisitos apuntan a la fórmula de las permutaciones:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

Esto nos revela que hay 720 posibles desenlaces para estructurar su ranking de los mejores restaurantes de sushi.

3. Al afirmar que "el orden es importante en las permutaciones", no nos referimos únicamente a un valor numérico ascendente o descendente (como posiciones del 1 al 10). El "orden" también puede referirse a la naturaleza de los lugares físicos o roles únicos donde asignaremos nuestros elementos.

Imaginemos a un supervisor de una empresa de mantenimiento. Hoy debe organizar trabajos de pintura en cuatro lugares diferentes: la oficina de una embajada, el almacén de una fábrica, un local comercial de ropa y una habitación en un domicilio particular. La plantilla de la empresa cuenta con seis pintores disponibles. Cada empleado puede asumir un único encargo durante su jornada, por lo que dos pintores tendrán el día libre.

En este contexto, los cuatro lugares de trabajo son roles únicos que actúan como posiciones analógicas (1, 2, 3 y 4).

Al organizar la cuadrilla, el supervisor evalúa lo siguiente:

• Dispone de 6 pintores posibles para enviar a la oficina.
• Le quedarán 5 pintores elegibles para asignar al almacén.
• Tendrá 4 pintores restantes aptos para ir al local de ropa.
• Contará con 3 pintores finales para destinar a la casa particular.

Intuitivamente, mediante el principio del conteo, la cantidad de asignaciones asciende a 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Puesto que el destino específico de cada trabajador varía radicalmente la planificación operativa (el orden es clave) y un pintor no tiene el don de la ubicuidad para estar en dos sitios a la vez (sin repetición), corroboramos nuestra deducción utilizando la fórmula de permutación:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

En definitiva, existen 360 planes de distribución de trabajo distintos que el supervisor puede establecer bajo estas condiciones particulares.