เครื่องคำนวณสมการยกกำลังสอง

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณสมการกำลังสอง

เครื่องคำนวณนี้จะช่วยให้การแก้สมการกำลังสอง (Quadratic Equations) เป็นเรื่องง่าย สะดวก และแม่นยำยิ่งขึ้น ในทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต สมการใดก็ตามที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้ จะถูกเรียกว่า "สมการกำลังสอง"

ax²+bx+c=0

โดยที่

a≠0

สำหรับวิธีใช้งานเครื่องคำนวณสมการกำลังสอง เพียงแค่คุณกรอกค่าสัมประสิทธิ์ A, B และ C ลงไป แล้วกดปุ่ม “คำนวณ” (โปรดทราบว่าค่า A ต้องไม่เป็นศูนย์ แต่ค่า B และ C สามารถเป็นศูนย์ได้) จากนั้นโปรแกรมจะใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาคำตอบของสมการให้คุณโดยอัตโนมัติ ไม่ว่าสมการนั้นจะมีรากเป็นจำนวนจริง (Real roots) หรือมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน (Complex roots) ก็ตาม พร้อมทั้งจัดรูปผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดเพื่อความสะดวกในการนำไปใช้งาน

การหาคำตอบด้วยสูตรกำลังสอง

ก่อนที่จะเริ่มใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาคำตอบ สิ่งสำคัญคือคุณต้องจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ax²+bx+c=0 เสียก่อน เมื่อจัดรูปเรียบร้อยแล้ว เราจะสามารถหาคำตอบ (รากของสมการ) ได้จากสูตรดังต่อไปนี้

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง หรือ b²-4ac นั้น เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (Discriminant) ซึ่งเป็นตัวบ่งบอกลักษณะคำตอบของสมการ

• หากดิสคริมิแนนต์มีค่าเป็นบวก b²-4ac>0 สมการจะมีรากที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบที่แตกต่างกัน
• หากดิสคริมิแนนต์มีค่าเป็นลบ b²-4ac<0 สมการจะมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 คำตอบ เนื่องจากผลลัพธ์ของการถอดรากที่สองของจำนวนลบจะอยู่ในรูปของจำนวนจินตภาพ
• หากดิสคริมิแนนต์มีค่าเท่ากับศูนย์ b²-4ac=0 สมการจะมีรากที่เป็นจำนวนจริงเพียง 1 คำตอบ (รากซ้ำ)

เครื่องคำนวณแก้สมการกำลังสองของเราไม่เพียงแต่แสดงผลลัพธ์สุดท้ายของสมการที่คุณกรอกเข้ามาเท่านั้น แต่ยังแสดงวิธีทำอย่างละเอียดในทุกขั้นตอน พร้อมทั้งคำนวณค่าดิสคริมิแนนต์ให้คุณเห็นชัดเจนว่ามีค่าเป็นบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 (กรณีมีรากเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ)

สมมติว่าเราต้องการแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

2x²+3x-2=0

จากสมการ จะได้ว่า:

a=2,b=3,c=-2

เมื่อนำค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ไปแทนในสูตรกำลังสอง จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

จะเห็นได้ว่าค่าดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้มีค่าเป็นบวก:

b²-4ac=25>0

ดังนั้น สมการนี้จึงมีรากเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ

ขั้นตอนต่อไปคือการจัดรูปและคำนวณหาผลลัพธ์สุดท้าย:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ และ\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ และ\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ และ\ \ \ x=-2$$

คำตอบสุดท้ายคือ:

x=0.5

x=-2

ตัวอย่างที่ 2 (กรณีมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน)

พิจารณาสมการกำลังสองต่อไปนี้:

x²+2x+5=0

จากสมการ จะได้ว่า:

a=1,b=2,c=5

เมื่อนำไปแทนค่าในสูตรกำลังสอง จะได้:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

จะเห็นได้ว่าค่าดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้มีค่าเป็นลบ:

b²-4ac=-16<0

ดังนั้น สมการนี้จึงมีคำตอบเป็นรากเชิงซ้อน 2 คำตอบ

ขั้นตอนต่อไปคือการจัดรูปรากที่ติดลบให้อยู่ในรูปของจำนวนจินตภาพ:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

คำตอบสุดท้ายคือ:

x=-1+2i

x=-1-2i

ตัวอย่างที่ 3 (กรณีมีรากเพียงคำตอบเดียว)

พิจารณาสมการกำลังสองต่อไปนี้:

3x²+6x+3=0

จากสมการ จะได้ว่า:

a=3,b=6,c=3

เมื่อนำไปแทนค่าในสูตรกำลังสอง จะได้:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

เนื่องจากค่าดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้มีค่าเท่ากับศูนย์พอดี b²-4ac=0 สมการนี้จึงมีรากซ้ำ หรือมีเพียงคำตอบเดียวนั่นเอง

$$x=\frac{-6}{6}$$

คำตอบสุดท้ายคือ:

x=-1

บทพิสูจน์และที่มาของสูตรกำลังสอง

ดังที่ได้แสดงให้เห็นในตัวอย่างข้างต้น สูตรกำลังสองสามารถนำไปใช้แก้สมการกำลังสองได้ทุกรูปแบบ ไม่ว่าค่าดิสคริมิแนนต์จะเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็ตาม แต่คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าสูตรนี้มีที่มาอย่างไร? การทำความเข้าใจหลักการพื้นฐานและบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ถือเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อย่างยิ่ง โดยเฉพาะในเวลาที่คุณอาจเผลอลืมสูตรนี้ไป

ขั้นตอนในการพิสูจน์ที่มาของสูตรกำลังสองนั้นไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด โดยอาศัยหลักการพื้นฐานของการแก้สมการด้วยวิธี "การจัดกำลังสองสมบูรณ์" (Completing the square) จากรูปมาตรฐานของสมการกำลังสอง ax²+bx+c=0 เราสามารถพิสูจน์สูตรได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. เริ่มจากสมการมาตรฐาน:

ax²+bx+c=0

ย้ายค่าคงที่ C ไปยังฝั่งขวาของสมการ:

ax²+bx=-c

2. ทำให้สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ x² เป็น 1 โดยการนำ a ไปหารทั้งสองข้างของสมการ:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. บวก

$$(\frac{b}{2a})^2$$

เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ เพื่อเตรียมจัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. ตอนนี้ นิพจน์ทางด้านซ้ายมือจะอยู่ในรูปแบบของกำลังสองสมบูรณ์:

x²+2dx+d²

ซึ่งสามารถยุบรูปเป็น:

(x+d)²

โดยที่ตัวแปร d ในสมการของเราก็คือค่าของ:

$$\frac{b}{2a}$$

ดังนั้น จะได้ว่า:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

นำรูปแบบที่ยุบแล้วนี้ไปแทนค่าทางด้านซ้ายของสมการ (ส่วนด้านขวายังคงไว้เหมือนเดิม):

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

เมื่อถึงขั้นตอนนี้ ตัวแปร x จะเหลือเพียงตำแหน่งเดียวในสมการแล้ว

5. ถอดรากที่สอง (Square root) ทั้งสองข้างของสมการ:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. ย้ายพจน์ $\frac{b}{2a}$ ไปยังฝั่งขวาของสมการ:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. จัดรูปตัวส่วนให้เท่ากัน โดยคูณด้านขวาของสมการด้วย:

$$\frac{2a}{2a}$$

เพื่อรวบเศษส่วนเข้าด้วยกัน:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. จัดรูปสมการให้ดูง่ายขึ้น:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. สลับตำแหน่งเล็กน้อย ก็จะได้บทสรุปของ สูตรกำลังสอง อย่างสมบูรณ์:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

เกร็ดความรู้ที่น่าสนใจเกี่ยวกับสมการกำลังสอง

• ผลบวกของคำตอบ (ราก) ทั้งสองของสมการกำลังสองจะมีค่าเท่ากับ:

$$\frac{-b}{a}$$

ดังนั้น หากดิสคริมิแนนต์ (b²-4ac) เท่ากับศูนย์ สมการจะมีรากซ้ำเพียงคำตอบเดียว ซึ่งสามารถหาได้ง่าย ๆ จาก:

$$\frac{-b}{2a}$$

• ผลคูณของคำตอบ (ราก) ทั้งสองของสมการกำลังสองจะมีค่าเท่ากับ:

$$\frac{c}{a}$$

• คำว่า "Quadratic" มีรากศัพท์มาจากคำว่า "Quadratus" ในภาษาละติน ซึ่งแปลว่า "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" หรือ "การยกกำลังสอง" สาเหตุที่เราเรียกสมการประเภทนี้ว่าสมการกำลังสอง ก็เป็นเพราะดีกรี (เลขชี้กำลัง) สูงสุดของตัวแปรในสมการคือ 2 นั่นเอง

• สูตรกำลังสองในรูปแบบที่ถูกบันทึกไว้เป็นลายลักษณ์อักษรและใกล้เคียงกับที่เราใช้ในปัจจุบัน ถูกค้นพบตั้งแต่ปี ค.ศ. 628 โดย "พรหมคุปตะ" (Brahmagupta) นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย ในสมัยนั้นเขาอธิบายสูตรนี้ด้วยข้อความทั้งหมดโดยไม่มีการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เลย นอกจากนี้ เขายังกล่าวถึงผลลัพธ์เพียงแค่คำตอบเดียว โดยไม่ได้คำนึงถึงเครื่องหมาย ± หน้าเครื่องหมายรากที่สองซึ่งทำให้เกิดคำตอบที่สองแต่อย่างใด

• เมื่อนำฟังก์ชันกำลังสอง y=ax²+bx+c ไปวาดกราฟ จะได้กราฟรูปทรง พาราโบลา (Parabola) ซึ่งคำตอบ (หรือราก) ของสมการนั้น แท้จริงแล้วก็คือพิกัดที่เส้นกราฟตัดผ่านแกน x (จุดตัดแกน x) นั่นเอง: หากสมการมี 2 คำตอบ (รากเป็นจำนวนจริง) กราฟจะตัดแกน x สองครั้ง, หากสมการมีคำตอบเดียว จุดยอดของกราฟพาราโบลาจะสัมผัสกับแกน x พอดี และหากสมการไม่มีรากเป็นจำนวนจริง (รากเชิงซ้อน) กราฟพาราโบลาจะลอยอยู่และไม่ตัดกับแกน x เลย

• ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ A ที่อยู่หน้าพจน์กำลังสองมีค่าเข้าใกล้ศูนย์มากเท่าไร ความโค้งของพาราโบลาก็จะยิ่งกว้างและแบนราบมากขึ้นเท่านั้น และเมื่อ a=0 สมการดังกล่าวจะสูญเสียความเป็นสมการกำลังสองและกลายเป็น "สมการเชิงเส้น" ซึ่งกราฟจะเปลี่ยนรูปเป็นเส้นตรงโดยสมบูรณ์!

• ลักษณะการหงาย-คว่ำของกราฟพาราโบลาถูกกำหนดโดยค่า A: ถ้า a>0 กราฟจะเป็นพาราโบลาหงาย, ถ้า a<0 กราฟจะเป็นพาราโบลาคว่ำ และดังที่กล่าวไป หาก a=0 กราฟจะแบนราบกลายเป็นเส้นตรง

ความรู้เรื่องสมการกำลังสองไม่ได้ถูกจำกัดอยู่แค่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังถูกนำไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในหลากหลายสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดที่สุดคือในวิชาฟิสิกส์ ที่ใช้สมการกำลังสองเพื่อคำนวณและอธิบายวิถีโค้งของ "การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ (Projectile Motion)" ได้อย่างแม่นยำ