Calculatrice de formule quadratique

Utilisation de la calculatrice d'équations du second degré

Notre calculatrice est un outil en ligne simple et intuitif conçu pour résoudre les équations du second degré (également appelées équations quadratiques). En mathématiques, une équation du second degré est une équation polynomiale qui peut s'écrire sous la forme standard suivante :

ax²+bx+c=0

où

a≠0

Pour utiliser ce solveur d'équations, il vous suffit de saisir les coefficients A, B et C dans les champs correspondants, puis de cliquer sur « Calculer ». Notez que la valeur de A ne peut pas être égale à zéro, tandis que B et C peuvent tout à fait valoir zéro. Qu'il s'agisse de racines réelles ou complexes, notre calculatrice s'appuie sur la formule quadratique pour déterminer l'ensemble des solutions de votre équation. De plus, l'outil simplifie automatiquement le radical obtenu afin de vous présenter les solutions sous leur forme la plus lisible et précise.

Résoudre une équation du second degré avec la formule quadratique

Il est possible de résoudre n'importe quelle équation polynomiale de degré 2 grâce à la formule quadratique. Pour l'appliquer, vous devez d'abord vous assurer que votre équation est réduite à sa forme standard : ax²+bx+c=0. Une fois cette condition remplie, les solutions se calculent de la manière suivante :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

L'expression située sous la racine carrée, b²-4ac, porte le nom de discriminant (souvent noté Δ). La valeur de ce discriminant détermine la nature des solutions. Si le discriminant est positif, b²-4ac>0, l'équation admettra deux racines réelles distinctes. Si le discriminant est négatif, b²-4ac<0, l'équation possèdera deux racines complexes, car la racine carrée d'un nombre négatif donne un nombre complexe. Enfin, si le discriminant est parfaitement égal à zéro, b²-4ac=0, l'équation n'aura qu'une seule racine réelle (aussi appelée racine double).

Notre calculatrice ne se contente pas d'afficher le résultat final ; elle vous montre également toutes les étapes de calcul détaillées pour trouver ces solutions. L'outil évalue le discriminant de l'équation et vous précise clairement s'il est positif, négatif ou nul.

Exemples pratiques

Exemple 1 : Équation avec deux racines réelles

Résolvons l'équation du second degré suivante :

2x²+3x-2=0

Dans cet exemple, les coefficients sont : a=2, b=3, c=-2.

En appliquant la formule quadratique à ces valeurs, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Le discriminant de cette équation est positif, b²-4ac=25>0, ce qui signifie que l'équation admet deux racines réelles.

Simplifions maintenant le radical obtenu :

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ et\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ et\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ et\ \ \ x=-2$$

Soit :

x=0,5

x=-2

Exemple 2 : Équation avec des racines complexes

Résolvons l'équation quadratique suivante :

x²+2x+5=0

Dans cet exemple, les coefficients sont : a=1, b=2, c=5.

En appliquant la formule quadratique à ces valeurs, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Le discriminant de cette équation est négatif, b²-4ac=-16<0. L'équation admet donc deux racines complexes.

Simplifions maintenant le radical obtenu :

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Soit :

x=-1+2i

x=-1-2i

Exemple 3 : Équation avec une racine double (unique)

Résolvons l'équation du second degré suivante :

3x²+6x+3=0

Dans cet exemple, les coefficients sont : a=3, b=6, c=3.

En appliquant la formule quadratique, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Le discriminant de cette équation est exactement égal à zéro, b²-4ac=0. Par conséquent, l'équation n'admet qu'une seule racine.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Soit :

x=-1

Démonstration de la formule de l'équation du second degré

Comme nous l'avons vu dans les exemples précédents, la formule quadratique permet de résoudre absolument toutes les équations du second degré, que le discriminant soit positif, négatif ou nul. Voyons maintenant comment cette formule est établie mathématiquement. Comprendre les principes de base de la démonstration d'une formule s'avère très utile, particulièrement si vous venez à oublier la formule elle-même.

Le processus de démonstration de la formule quadratique est logique et repose sur la méthode de la complétion du carré (mise sous forme canonique). Pour retrouver les solutions de l'équation standard ax²+bx+c=0, il suffit de suivre les étapes ci-dessous :

1. Partons de notre équation de base :

ax²+bx+c=0

Déplaçons la constante c vers le membre de droite de l'équation :

ax²+bx=-c

2. Débarrassons-nous du coefficient a qui multiplie le terme au carré x². Pour ce faire, divisons l'ensemble de l'équation par a :

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Ajoutons l'expression suivante :

$$(\frac{b}{2a})^2$$

aux deux côtés de l'équation :

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Le membre de gauche se présente désormais sous la forme d'une identité remarquable x²+2dx+d². Cette expression peut se factoriser sous la forme (x+d)².

Dans notre équation, d correspond à $\frac{b}{2a}$.

Ce qui nous donne :

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Remplaçons cette expression dans le membre de gauche de notre équation, tout en gardant le membre de droite tel quel pour le moment :

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Maintenant, l'inconnue x n'apparaît plus qu'une seule fois dans l'équation.

5. Prenons la racine carrée des deux côtés de l'égalité :

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Déplaçons le terme

$$\frac{b}{2a}$$

vers le côté droit de l'équation :

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplions le terme de droite situé sous la racine par

$$\frac{2a}{2a}$$

pour obtenir un dénominateur commun :

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplifions l'expression :

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Nous obtenons ainsi la célèbre formule quadratique :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Faits intéressants sur les équations du second degré

• La somme des deux racines d'une équation du second degré est toujours égale à

$$\frac{-b}{a}$$

Par conséquent, si le discriminant b²-4ac est nul, l'unique racine (la racine double) de l'équation peut être trouvée via la forme simplifiée :

$$\frac{-b}{2a}$$

• Le produit des deux racines de cette même équation est toujours égal à

$$\frac{c}{a}$$

• Le terme « quadratique » dérive du mot latin quadratus, qui signifie « carré ». L'équation porte ce nom car la plus grande puissance de la variable inconnue est 2 ; en d'autres termes, la variable est élevée « au carré ».

• La formule quadratique, sous la forme que nous lui connaissons, a été documentée dès l'an 628 de notre ère par le grand mathématicien indien Brahmagupta. À l'époque, il n'utilisait pas de symboles mathématiques mais décrivait la solution avec des mots. Toutefois, Brahmagupta n'a mentionné qu'une seule des deux solutions possibles, omettant le fameux signe « ± » (plus ou moins) devant la racine carrée.

• La représentation graphique d'une fonction du second degré y=ax²+bx+c dessine une courbe appelée parabole. Les solutions (les racines) de l'équation correspondent concrètement aux abscisses des points d'intersection entre cette parabole et l'axe des x. Si l'équation possède deux racines réelles, la parabole traverse l'axe des x en deux points distincts. Si elle ne possède qu'une racine, la parabole effleure l'axe des x uniquement en son sommet (son maximum ou son minimum). Enfin, si l'équation n'a aucune racine réelle, la parabole ne croise jamais l'axe des x.

• Si la valeur du coefficient a (lié au terme au carré) s'approche de zéro, la parabole correspondante devient de plus en plus aplatie, finissant par tendre vers une ligne droite. D'ailleurs, lorsque a=0, l'équation n'est plus du second degré mais devient linéaire ; sa représentation graphique est alors, en toute logique, une droite parfaite !

• Par ailleurs, le signe du coefficient a détermine l'orientation de la courbe. Si a>0, la parabole est orientée vers le haut (elle forme un « U »). Si a<0, la parabole s'ouvre vers le bas. Et comme mentionné précédemment, si a=0, la courbe s'aplatit pour devenir une ligne droite.

Les équations du second degré sont incontournables et largement utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. En physique, par exemple, elles sont essentielles pour calculer la trajectoire et décrire le mouvement des projectiles.