الصيغة التربيعية حاسبة

دليل استخدام حاسبة المعادلة التربيعية

تُعد حاسبة المعادلة التربيعية أداة رياضية رقمية سهلة وفعالة مصممة لحل معادلات الدرجة الثانية بخطوات سريعة ودقيقة. في علم الجبر، تُعرف المعادلة التربيعية بأنها أي معادلة يمكن صياغتها بالشكل القياسي التالي:

ax²+bx+c=0

حيث:

a≠0

لاستخدام حاسبة معادلة الدرجة الثانية، ما عليك سوى إدخال قيم المعاملات a و b و c في الحقول المخصصة لها، ثم النقر على زر "احسب". يُشترط ألا تساوي قيمة المعامل a صفراً، بينما يُعد الصفر إدخالاً مقبولاً للقيمتين b و c. ستعتمد الآلة الحاسبة على القانون العام للمعادلة التربيعية لإيجاد جميع الحلول الممكنة للمعادلة المُدخلة، سواء كانت الجذور حقيقية أو مركبة (عقدية). وعلاوة على ذلك، ستقوم الحاسبة بتبسيط الجذر الناتج لتقديم الحلول النهائية في أبسط صورة رياضية ممكنة.

حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام القانون العام (الصيغة التربيعية)

يمكنك إيجاد حل لأي معادلة من الدرجة الثانية بسهولة بالاعتماد على القانون العام (الصيغة التربيعية). للبدء في الحل، يجب عليك أولاً ترتيب المعادلة المعطاة لتتطابق مع الصيغة القياسية التالية: ax²+bx+c=0. بعد ذلك، يمكن استنتاج الحلول عبر التعويض في القانون التالي:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

يُطلق على الجزء الموجود تحت الجذر التربيعي في المعادلة b²-4ac اسم "المميز" (Discriminant)، وهو يحدد طبيعة جذور المعادلة:

• إذا كان المميز موجباً، b²-4ac>0، فسيكون للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.

• إذا كان المميز سالباً، b²-4ac<0، فسيكون للمعادلة جذران مركبان؛ نظراً لأن الجذر التربيعي للعدد السالب ينتج عنه عدد مركب (تخيلي).

• إذا كان المميز يساوي صفراً، b²-4ac=0، فسيكون للمعادلة جذر حقيقي واحد مكرر.

لا تكتفي حاسبة المعادلة التربيعية بعرض الحلول النهائية فحسب، بل توضح أيضاً خطوات وطريقة الحل بالتفصيل. كما تقوم بحساب قيمة المميز لتوضيح ما إذا كان موجباً، أو سالباً، أو مساوياً للصفر.

أمثلة عملية على حل المعادلات التربيعية

مثال 1 (معادلة بجذور حقيقية)

دعونا نقوم بحل المعادلة التربيعية التالية:

2x²+3x-2=0

في هذا المثال، قيم المعاملات هي: a=2,b=3,c=-2.

باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية والتعويض بهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

المميز في هذه المعادلة موجب، b²-4ac=25>0، وبالتالي، سيكون للمعادلة جذران حقيقيان.

الآن، لنقم بتبسيط الجذر الناتج:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ و\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ و\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ و\ \ \ x=-2$$

وأخيراً، الحلول هي:

x=0.5

x=-2

مثال 2 (معادلة بجذور مركبة)

دعونا نقوم بحل المعادلة التربيعية التالية:

x²+2x+5=0

في هذا المثال، قيم المعاملات هي: a=1,b=2,c=5.

باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية والتعويض بهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

المميز في هذه المعادلة سالب، b²-4ac=-16<0، وبالتالي، سيكون للمعادلة جذران مركبان.

الآن، لنقم بتبسيط الجذر الناتج:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

وأخيراً، الحلول هي:

x=-1+2i

x=-1-2i

مثال 3 (معادلة بجذر واحد)

دعونا نقوم بحل المعادلة التربيعية التالية:

3x²+6x+3=0

في هذا المثال، قيم المعاملات هي: a=3,b=6,c=3.

باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية والتعويض بهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

المميز في هذه المعادلة يساوي صفراً، $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0، وبالتالي، سيكون للمعادلة جذر حقيقي واحد.

$$x=\frac{-6}{6}$$

وأخيراً، الحل هو:

x=-1

طريقة اشتقاق قانون المعادلة التربيعية

كما هو موضح أعلاه، يمكنك استخدام الصيغة العامة (القانون العام) لحل أي معادلة من الدرجة الثانية بكل سهولة، بغض النظر عما إذا كان المميز موجباً، أم سالباً، أم مساوياً للصفر. دعونا نستعرض الآن كيفية استنتاج واشتقاق هذا القانون. تُعد معرفة المبادئ الأساسية لاشتقاق المعادلة التربيعية مفيدة للغاية، خاصةً في حالة نسيان الصيغة النهائية للقانون.

تعتمد خوارزمية اشتقاق القانون العام للمعادلة التربيعية على طريقة رياضية تُعرف بـ "إكمال المربع" (Completing the Square). لاشتقاق حلول المعادلة التربيعية في صورتها القياسية ax²+bx+c=0، ما عليك سوى اتباع الخطوات المتسلسلة التالية:

1. لدينا المعادلة القياسية:

ax²+bx+c=0

انقل الثابت C إلى الجانب الأيمن من المعادلة:

ax²+bx=-c

2. تخلص من المعامل A المجاور للحد التربيعي x². للقيام بذلك، قسّم طرفي المعادلة على A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. أضف المقدار التالي:

$$(\frac{b}{2a})^2$$

إلى طرفي المعادلة:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. أصبح الجانب الأيسر من المعادلة الآن يمثل مربعاً كاملاً على صيغة x²+2dx+d²، والذي يمكن إعادة كتابته بالشكل المبسط (x+d)².

في معادلتنا، يتم التعبير عن المتغير d كـ:

$$\frac{b}{2a}$$

لذا:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

عوّض بهذا المقدار في الجانب الأيسر من المعادلة، واترك الجانب الأيمن دون تغيير مؤقتاً:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

الآن، أصبح المتغير x يظهر مرة واحدة فقط في المعادلة.

5. استخرج الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. انقل المقدار:

$$\frac{b}{2a}$$

إلى الجانب الأيمن من المعادلة:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. اضرب الجانب الأيمن من المعادلة في المقدار الكسري $\frac{2a}{2a}$:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. الخطوة ما قبل الأخيرة هي تبسيط المعادلة:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. نتيجة لذلك، نصل إلى الصيغة النهائية للقانون العام للمعادلة التربيعية:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

حقائق رياضية مثيرة حول معادلات الدرجة الثانية

• مجموع جذري المعادلة التربيعية يُعطى بالصيغة:

$$\frac{-b}{a}$$

وبالتالي، إذا كان مميز المعادلة التربيعية b²-4ac يساوي صفراً، فيمكن إيجاد الجذر الوحيد للمعادلة عبر الصيغة التالية:

$$\frac{-b}{2a}$$

• حاصل ضرب جذري المعادلة التربيعية يُعطى بالصيغة:

$$\frac{c}{a}$$

• مصطلح "التربيعية" (Quadratic) مشتق من الكلمة اللاتينية "Quadratus"، والتي تعني "مربع". سُميت معادلة الدرجة الثانية بهذا الاسم لأن أعلى أُس (قوة) للمتغير فيها هو 2، مما يعني أن المتغير الأساسي يكون دائماً "مُربّعاً".

• تم وضع الأساس للمعادلة التربيعية في شكلها الحالي منذ عام 628 بعد الميلاد على يد عالم الرياضيات الهندي (براهماغوبتا - Brahmagupta). لم يستخدم براهماغوبتا الرموز الرياضية المعاصرة، بل ناقش الحل باستخدام الكلمات. ومع ذلك، وصف براهماغوبتا حلاً واحداً فقط من الحلين المحتملين، وتجاهل وضع علامة (±) الضرورية قبل الجذر التربيعي.

• التمثيل البياني للدالة التربيعية y=ax²+bx+c يُعرف بـ "القطع المكافئ" (Parabola). تمثل الحلول (أو الجذور) للمعادلة التربيعية إحداثيات نقاط تقاطع هذا المنحنى مع المحور الأفقي (x). إذا كان للمعادلة جذران حقيقيان، فإن المنحنى يتقاطع مع المحور x في نقطتين. أما إذا كان لها جذر واحد فقط، فإن قمة منحنى القطع المكافئ ستلامس المحور x فقط عند نقطة النهاية العظمى أو الصغرى. وفي حال لم يكن للمعادلة جذور حقيقية، فإن المنحنى لن يتقاطع مع المحور x على الإطلاق.

• عندما تقترب قيمة المعامل المضروب في الحد التربيعي a من الصفر، يصبح منحنى القطع المكافئ أكثر تسطحاً، ويقترب تدريجياً من كونه خطاً مستقيماً. عندما تصبح a=0، تتحول المعادلة إلى معادلة خطية (من الدرجة الأولى)، ومن البديهي أن تمثيلها البياني سيكون مجرد خط مستقيم تماماً!

• وبالمثل، عندما يكون a>0، فإن فتحة القطع المكافئ ستكون متجهة نحو الأعلى، بينما إذا كان a<0، فإن فتحة القطع المكافئ ستكون متجهة نحو الأسفل. وفي الحالة التي يكون فيها a=0، يُصبح القطع مسطحاً، أي أنه يمثل خطاً مستقيماً.

تُستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في شتى المجالات العلمية والهندسية. ففي علم الفيزياء، على سبيل المثال، تُعد المعادلات التربيعية أداة أساسية لوصف وحساب مسار حركة المقذوفات وتحليلها بدقة.