Calculadora de desviación estándar y margen de error

Nuestra calculadora de desviación estándar online determina de forma rápida y precisa la dispersión de un conjunto de datos. Además de este cálculo estadístico principal, la herramienta proporciona información descriptiva adicional, como la media y la varianza. También le permite hallar el intervalo de confianza para diferentes niveles de probabilidad y genera una tabla de distribución de frecuencias detallada.

Para utilizar esta calculadora estadística, simplemente introduzca los valores numéricos separados por comas. Seleccione si los datos representan una "Población" o una "Muestra" y haga clic en "Calcular". Si desea evaluar un conjunto de datos diferente, utilice el botón "Borrar" para reiniciar la herramienta.

Desviación Estándar

La desviación estándar es una medida estadística fundamental que indica el grado de dispersión o variabilidad de un conjunto de datos. En términos sencillos, representa la distancia promedio de los puntos de datos respecto a la media del grupo. Cuanto menor sea la desviación estándar, más agrupados estarán los valores en torno a la media. Por el contrario, una desviación estándar alta indica que los datos están más dispersos. Matemáticamente, la desviación estándar es la raíz cuadrada de otra medida de dispersión conocida como varianza.

El cálculo exacto depende de la naturaleza del conjunto de datos. Si los datos analizados abarcan todos los elementos de interés (el 100 % del grupo), se utiliza la desviación estándar de la población. Sin embargo, si el conjunto es solo una parte representativa extraída de un grupo mayor, se emplea la desviación estándar de la muestra.

La desviación estándar de la población

La desviación estándar poblacional se calcula cuando el conjunto de datos representa a toda la población de interés; es decir, se tienen en cuenta absolutamente todas las observaciones posibles. Se denota con la letra griega minúscula sigma (σ).

La desviación estándar de la población se calcula utilizando la siguiente fórmula:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Donde:

• Σ es la letra griega mayúscula Sigma, que se utiliza en matemáticas para indicar la sumatoria;
• xᵢ representa cada punto de datos individual (cada observación del conjunto), desde el primero hasta el N-ésimo (último) valor;
• μ representa la media poblacional;
• N es el tamaño total de la población.

Ejemplo de cálculo de la desviación estándar de una población general

Veamos un ejemplo práctico de cómo calcular la desviación estándar de una población completa.

Las acciones suelen considerarse activos de riesgo debido a su alta volatilidad en comparación con otros instrumentos financieros. Un gestor de inversiones desea analizar la volatilidad de ciertas acciones durante el último mes. Su política es no recomendar a sus clientes ninguna acción cuya desviación estándar sea mayor o igual a su media, ya que la clasificaría como "demasiado riesgosa".

A continuación, se enumeran todos los precios de cierre diarios (en USD) de una acción en particular durante el mes anterior. Calcule la desviación estándar y determine si el gestor considerará que la acción es de alto riesgo:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Tenga en cuenta que al gestor solo le interesan los precios de esta acción correspondientes al mes pasado, y la lista anterior incluye todos los precios de cierre de dicho periodo. En consecuencia, disponemos de los datos de toda la población. Por lo tanto, calcularemos el resultado utilizando la fórmula de la desviación estándar poblacional.

Para hallar la desviación estándar, el primer paso es calcular la media. Recuerde que la media (μ) se obtiene dividiendo la suma total de los valores entre la cantidad de observaciones.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

A continuación, reste la media a cada número y eleve la diferencia al cuadrado. Luego, sume todos los resultados obtenidos y divida esa suma entre el número total de datos. El valor resultante es la varianza (σ²).

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Finalmente, calcule la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Como puede observar, la desviación estándar de los precios de esta acción durante el mes anterior (0,21) es menor que su media (1,097). Por lo tanto, el gestor no clasificará esta acción como "demasiado riesgosa".

Desviación estándar de una muestra

La desviación estándar muestral se aplica cuando los datos analizados representan solo una porción (muestra) de la población total. En este caso, el conjunto de datos es un subgrupo extraído de todas las observaciones posibles. Se denota con la letra minúscula s y se calcula mediante la siguiente fórmula:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Donde:

• Σ denota la sumatoria;
• xᵢ representa cada uno de los puntos de datos individuales;
• x̄ representa la media de la muestra;
• n es el tamaño de la muestra.

Demostraremos cómo calcular la desviación estándar muestral tomando como referencia el ejemplo anterior. Sin embargo, en este escenario, el gestor de inversiones no tiene acceso a los precios de cierre de todos los días de negociación del mes pasado. Solo dispone de los precios correspondientes a 5 días aleatorios. Por consiguiente, deberá estimar la volatilidad utilizando únicamente estos datos muestrales.

Supongamos que los precios de cierre de esos 5 días son:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Dado que el gestor quiere evaluar el rendimiento mensual pero solo cuenta con un subconjunto de 5 días, estamos trabajando con una muestra. Por lo tanto, emplearemos la fórmula de la desviación estándar de una muestra.

Primero, calcule la media muestral (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Ahora, calcule la varianza de la muestra (s²).

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Por último, determine la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar muestral.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx0,28$$

Margen de Error

Una de las aplicaciones más importantes de la desviación estándar es el cálculo de un rango de valores "aceptable" o esperado. Esto desempeña un papel vital en el control de calidad estadístico y en el análisis predictivo empresarial. Cuando los datos subyacentes siguen una distribución normal, este rango se relaciona con el intervalo de confianza (que explicaremos en la siguiente sección). Estos intervalos se expresan asociados a diferentes niveles de confianza (porcentajes).

El margen de error es el componente que determina la amplitud del intervalo de confianza. En otras palabras, indica los valores máximos y mínimos esperados en torno a la media estimada de la cantidad que estamos analizando.

El margen de error se calcula utilizando la fórmula:

$$Margen\ de\ error\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Aplicamos esta ecuación cuando conocemos la desviación estándar poblacional (σ). Además, el tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande (por lo general, n > 30).

Cuando desconocemos la desviación estándar de la población y la muestra es pequeña (generalmente n ≤ 30), utilizamos la siguiente fórmula:

$$Margen\ de\ error\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

En esta ecuación, empleamos la desviación estándar de la muestra (s) para suplir la falta de información sobre la población general (σ).

Los términos \$z_{\alpha/2}\$ y \$t_{n-1, \alpha/2}\$ representan los valores críticos, calculados a partir de las distribuciones estadísticas z y t, respectivamente. Son valores constantes asociados al nivel de confianza elegido.

Los niveles de confianza más utilizados en estadística son 90 %, 95 % y 99 %. Sus valores críticos correspondientes \$z_{\alpha/2}\$ son 1,645 (para el 90 %), 1,96 (para el 95 %) y 2,575 (para el 99 %).

Los términos \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ o \$\frac{s}{\sqrt n}\$ se conocen como error estándar.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ se utiliza cuando conocemos la desviación estándar poblacional (σ) y trabajamos con una muestra grande (n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ se aplica cuando no disponemos de la desviación estándar poblacional y nuestra muestra es pequeña (n ≤ 30). En este caso, utilizamos el estadístico de la muestra (s) como la mejor estimación disponible.

Intervalo de Confianza

Como mencionamos anteriormente, el intervalo de confianza es un rango de valores dentro del cual, con un nivel de probabilidad específico, se espera encontrar el verdadero valor poblacional.

Por ejemplo, podríamos afirmar con un nivel de confianza del 90 % que la estatura promedio de una niña de 13 años se sitúa entre 59 y 66 pulgadas. Esto significa que si seleccionamos repetidamente grupos aleatorios de niñas de 13 años, el 90 % de las veces su altura promedio caerá dentro de este intervalo.

El intervalo de confianza se calcula con la siguiente fórmula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ es la media de la muestra,
• \$z_{\alpha/2}\$ es el valor crítico,
• σ es la desviación estándar de la población,
• n es el número de eventos u observaciones.

Se debe usar una fórmula alternativa si no conocemos la desviación estándar poblacional (σ) y nos vemos obligados a utilizar la de la muestra (s):

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ es la media muestral,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ es el valor crítico,
• s es la desviación estándar de la muestra,
• n es el número de eventos.

Como puede deducir del apartado anterior, los fragmentos \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ y \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ corresponden a los márgenes de error que se suman y restan a la media.

Ejemplo de cálculo del intervalo de confianza

Supongamos que los precios diarios de las acciones que estamos analizando siguen una distribución normal y disponemos de la siguiente muestra de precios de cierre:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Nuestro objetivo es calcular en qué rango fluctuará el precio promedio de la acción con un nivel de confianza del 95 %.

Dado que se trata de una muestra pequeña y desconocemos la varianza de la población total, recurriremos a la desviación estándar de la muestra y aplicaremos la siguiente fórmula:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Donde:

• x̄ es la media muestral: 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ es el valor crítico. Para \$t_{9, 0.025}\$ el valor es 2,26 (el valor crítico para un tamaño de muestra y nivel de confianza determinados se busca en una tabla de distribución t de Student).
• s es la desviación estándar de la muestra: 0,23
• n es el número de observaciones: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ representa el error estándar: \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Obtenemos los límites inferior y superior:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Esto significa que podemos afirmar con un 95 % de certeza que el precio medio real de la acción se encuentra dentro del intervalo de confianza (0,94, 1,26).