ماشین حساب ریشه دوم

این ماشین حساب می‌تواند برای پیدا کردن ریشه دوم عدد ورودی استفاده شود. اعداد ورودی می‌توانند مثبت یا منفی باشند، و ماشین حساب ریشه اصلی مربع عدد و ریشه مقابل را شناسایی می‌کند.

دستورالعمل‌های استفاده

برای استفاده از ماشین حساب ریشه دوم، عدد داده شده را وارد کنید و دکمه «محاسبه» را فشار دهید. ماشین حساب ریشه اصلی دوم عدد و ریشه دوم مقابل (منفی) را برمی‌گرداند. همچنین نشان می‌دهد که آیا عدد ورودی یک مربع کامل است یا خیر.

مربع‌ها و ریشه‌های دوم

مربع‌ها

مربع یک عدد داده شده، آن عدد ضرب‌در خودش است. به عنوان مثال، 3 × 3 = 9، به این معنی که مربع 3 برابر با 9 است، یا سه به توان دو برابر با 9 است. مربع یک عدد معمولاً به شکل زیر نوشته می‌شود: x². پس، اگر x = 3 باشد، معادله قبلی را می‌توان به صورت 3² = 9 نوشت. برخی از مثال‌های مربع‌های اعداد مختلف در زیر ارائه شده‌اند:

عدد	مربع
2	4
3	9
4	16
5	25
0.1	0.01
12	144

به اعداد منفی نگاه کنید و (-3)² را پیدا کنید. (-3)² = (-3) × (-3) = 9، از آنجا که ضرب دو علامت منفی، علامت مثبت را بازمی‌گرداند. بنابراین، (-3)² = 3² = 9.

مربع‌های کامل

یک مربع کامل، مربع یک عدد صحیح است؛ به عنوان مثال، 4، 9، 16، و 25 همگی مربع‌های کامل هستند. در زیر، مربع‌های کامل اولین اعداد صحیح آورده شده است. به خاطر سپردن آن‌ها مفید است.

عدد	مربع
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

بنابراین، اگر ریشه دوم یک عدد یک عدد صحیح باشد، آن عدد یک مربع کامل است. ماشین حساب در این صفحه نشان می‌دهد که آیا عدد ورودی یک مربع کامل است یا خیر.

ریشه‌های دوم

ریشه دوم یک عدد، مقداری است که، زمانی که در خود ضرب شود، عدد اصلی را می‌دهد. به عنوان مثال، ریشه‌های دوم 9، 3 و -3 هستند، زیرا 3 × 3 = 9، و (-3) × (-3) = 9، بنابراین، (-3)² = 3² = 9. به طور مشابه، ریشه‌های دوم 16، 4 و -4 هستند، و به همین ترتیب. هر عددی (به جز 0) دو ریشه دوم دارد – ریشه‌های دوم مثبت و منفی.

ریشه دوم مثبت یک عدد، ریشه اصلی نامیده می‌شود؛ زمانی که مشخص نیست کدام ریشه دوم باید محاسبه شود، معمولاً به ریشه اصلی اشاره می‌شود. به عنوان مثال، در سوال «ریشه دوم 36 چیست؟»، فقط از ما خواسته شده است که یک ریشه دوم پیدا کنیم، بنابراین فقط ریشه اصلی را در نظر می‌گیریم، و پاسخ «6» خواهد بود.

نماد ریشه دوم

نماد ریشه دوم، رادیکال نامیده می‌شود و به شکل زیر نمایش داده می‌شود: √. پس، برای نوشتن ریشه دوم 16 به صورت ریاضی، ما √16 را خواهیم نوشت.

بر اساس تعریف دقیق ریاضی، برای هر تابع f(x, y)، باید یک مقدار منحصر به فرد از y برای هر مقدار از x وجود داشته باشد. تصور کنید ما یک تابع داریم که در آن y برابر با ریشه دوم x است. سپس، برای هر مقدار از x، دو مقدار برای y وجود خواهد داشت - یک ریشه دوم مثبت و یک ریشه دوم منفی. این با تعریف ریاضی یک تابع مغایرت دارد! برای حل این مشکل، ریاضیدانان نماد رادیکال √ را تنها برای ریشه اصلی اختصاص داده‌اند.

این بدان معناست که در حالی که ریشه‌های دوم 16، 4 و -4 هستند، به لحاظ ریاضی، √16 = 4. این باید هنگام حل معادلات ریاضی در نظر گرفته شود. هر معادله‌ای از نوع y² = x دو راه حل دارد، که به صورت y = √x و y = -√x، یا y = ±√x نوشته می‌شود.

ریشه‌های دوم اعداد منفی

در بخش بالا، نشان دادیم که مربع هر عدد واقعی همیشه مثبت است. اگر عدد مثبت باشد، مربع آن نیز مثبت است. و اگر عددی منفی باشد، مربع آن همچنان مثبت است زیرا ضرب دو علامت منفی نتیجه مثبتی می‌دهد.

حال بیایید تصور کنیم که عددی وجود دارد که هنگام مربع شدن، نتیجه منفی می‌دهد. اعدادی که هنگام مربع شدن نتایج منفی می‌دهند، اعداد موهومی نامیده می‌شوند. عدد موهومی پایه i است، که به صورت زیر تعریف می‌شود:

i² = -1

یا

i = √(-1)

بیایید سعی کنیم ریشه‌های دوم (-4) را پیدا کنیم:

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) =2 × i = 2i

ریشه دوم اصلی (-4)، 2i است. و اگر ما ریشه دوم مخالف 4 (-√4 = -2) را نیز در معادله بالا در نظر بگیریم، راه حل مخالف را نیز خواهیم داشت: -2i.

چگونه ریشه دوم یک عدد را پیدا کنیم

محاسبه ریشه‌های دوم اعداد مربع کامل نسبتاً آسان است. اما محاسبه ریشه‌های دوم اعشار یا اعداد صحیح که مربع کامل نیستند، می‌تواند پیچیده باشد. چندین روش برای محاسبه ریشه‌های دوم، از جمله یک روش محاسبه که اجازه می‌دهد تا ریشه دوم دقیق هر عددی را پیدا کنید، در این صفحه توضیح داده شده است.

کاربرد در زندگی واقعی

جان قصد دارد یک آپارتمان استودیویی اجاره کند. او یک آگهی برای استودیویی با مساحت 20.25 متر مربع پیدا کرده است. چگونه می‌تواند طول دیوارهای استودیو را تخمین بزند تا اندازه مکان را بهتر تصور کند؟

راه حل

در املاک و مستغلات، اندازه‌های آپارتمان‌ها، خانه‌ها و مساحت زمین‌ها معمولاً به متر مربع داده می‌شود. در عین حال، برخی از آگهی‌ها طول متناظر را نیز شامل می‌شوند، اما بسیاری از آن‌ها این کار را نمی‌کنند. ممکن است تصور کردن اندازه فضا با در نظر گرفتن متر مربع مساحت، دشوار باشد. اما، اگر ما کل مساحت را به عنوان یک مربع با طول یک ضلع معین فرض کنیم، ایده بهتری از بزرگی مکان خواهیم داشت. برای انجام این کار، باید ریشه دوم کل مساحت را استخراج کنیم:

√20.25 = 4.5

توجه داشته باشید که ما در مورد اندازه فیزیکی یک آپارتمان صحبت می‌کنیم. بنابراین، تنها به ریشه دوم اصلی نیاز داریم.

جالب است بدانیم که استخراج ریشه‌های دوم با ابعاد کار می‌کند! این مثال مساحت کل را به متر مربع (m²) اندازه‌گیری کرد. وقتی ما در حال پیدا کردن طول یک دیوار هستیم، فنی تر از آن، ریشه دوم 20.25 m² را می‌گیریم:

√(20.25 m²) = √20.25 √(m²) = 4.5 m

پاسخ

یک استودیو با مساحت 20.25 متر مربع می‌تواند به عنوان یک اتاق مربعی تصور شود، با هر دیواری به طول 4.5 متر.