ماشین حساب تناسب

ماشین‌حساب نسبت

ماشین‌حساب نسبت به شما امکان می‌دهد نسبت‌ها را ساده کنید، مقادیر مجهول در تناسب‌ها را بیابید و بررسی کنید که آیا دو نسبت داده‌شده با یکدیگر برابر (معادل) هستند یا خیر. این ماشین‌حساب اعداد صحیح، اعداد اعشاری و اعدادی که با نماد علمی (E-notation) نوشته شده‌اند را به عنوان ورودی می‌پذیرد. مثالی از یک عدد در نماد علمی 2e5 است که از نظر ریاضی برابر با 2 × 10^5 می‌باشد. محدودیت کاراکتر برای ورودی‌ها ۱۵ است؛ به این معنی که مقدار هر فیلد (A, B, C, D) نمی‌تواند بیشتر از ۱۵ کاراکتر باشد.

راهنمای استفاده:

۱. برای استفاده از این ابزار به عنوان مبدل نسبت یا به عبارت دیگر برای ساده کردن یک نسبت، صورت و مخرج یک طرفِ تناسب را وارد کنید. مقادیر A و B یا C و D را پر کنید. سپس دکمه محاسبه (Calculate) را فشار دهید. ماشین‌حساب، نسبت واردشده را به کوچک‌ترین کسر ممکن (ساده‌ترین حالت) تقلیل داده و جواب را برمی‌گرداند.

اگر مقادیر معلوم به صورت اعداد صحیح یا نماد علمی وارد شده باشند، ماشین‌حساب مراحل حل مسئله را نیز به صورت گام‌به‌گام نشان خواهد داد.

اگر کسر واردشده از قبل در ساده‌ترین حالت خود باشد، ماشین‌حساب با ضرب صورت و مخرج در عدد ۲، یک کسر (نسبت) معادل برای آن پیدا کرده و نمایش می‌دهد.

۲. برای یافتن مقدار مجهول در یک تناسب، سه مقدار معلوم را وارد کرده و فیلد مربوط به مقدار مجهول را خالی بگذارید. شما می‌توانید هر کدام از فیلدهای A، B، C یا D را به عنوان مجهول در نظر بگیرید. پس از وارد کردن سه مقدار مشخص، دکمه محاسبه (Calculate) را فشار دهید. ماشین‌حساب تناسب را حل کرده و هر چهار مقدار را نمایش می‌دهد. اگر اعداد واردشده صحیح باشند، راهنما و مراحل حل نیز ارائه می‌شود.

تعاریف و فرمول‌های مهم

در ریاضیات، نسبت (Ratio) به عنوان یک جفت مرتب از اعداد a و b تعریف می‌شود. ما از نسبت‌ها برای مقایسه دو کمیت از طریق تقسیم یکی بر دیگری استفاده می‌کنیم.

نسبت a به b را می‌توان به صورت \$\frac{a}{b}\$، a/b یا a:b نوشت. از آنجا که b در مخرج کسر قرار می‌گیرد، همواره فرض بر این است که b ≠ 0. نسبت‌ها در زندگی روزمره برای مقایسه انواع مقادیر کاربرد گسترده‌ای دارند.

به عنوان مثال، اگر در یک کلاس ۲ دختر و ۶ پسر حضور داشته باشند، نسبت دختران به پسران ۲:۶ یا در حالت ساده‌شده ۱:۳ خواهد بود؛ این یعنی به ازای هر یک دختر، سه پسر در کلاس وجود دارد.

تناسب (Proportion) معادله‌ای است که نشان می‌دهد دو نسبت با هم برابرند. در مثال قبل، تناسب را می‌توان به اشکال زیر نوشت:

$$2:6::1:3$$

یا

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

یا

$$2:6=1:3$$

در تناسب a:b=c:d، جملات دوم و سوم یعنی b و c را «وسطین» (Means) می‌نامند. جملات اول و آخر یعنی a و d نیز «طرفین» (Extremes) نامیده می‌شوند. تناسب‌ها دارای یک ویژگی ریاضی بسیار مهم هستند که به آن «خاصیت طرفین و وسطین» یا فرمول تناسب گفته می‌شود.

فرمول تناسب (Proportion Formula)

در هر تناسب a:b=c:d، حاصل‌ضرب وسطین (b × c) با حاصل‌ضرب طرفین (a × d) برابر است. به بیان ریاضی:

اگر

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

آنگاه

$$a × d = b × c$$

این فرمول به ما امکان می‌دهد مقدار مجهول در یک تناسب را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر بخواهیم معادله را برای یافتن a حل کنیم، فرمول تناسب را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

بیایید به مثال‌های محاسباتی برای هر سه سناریویی که در بالا توضیح داده شد نگاهی بیندازیم.

مثال ۱:

جِین یک طراح فضای سبز است که نقشه‌هایی برای فضاهای باز مشتریان طراحی می‌کند. مساحت یک فضای باز ۲۱۶ متر مربع است و او طرحی آماده کرده که در آن یک استخر شنا ۶۴ متر مربع فضا را اشغال می‌کند. درست قبل از ارائه طرح، مشتری درخواست می‌کند که حداقل یک‌سوم فضا به استخر اختصاص یابد. آیا جین باید طرح جدیدی بکشد یا می‌تواند همین طرح را ارسال کند؟

برای تصمیم‌گیری در این مورد، او باید ابتدا نسبت مساحت استخر به کل فضای باز را محاسبه کرده و سپس آن مقدار را با ۱/۳ مقایسه کند.

می‌دانیم که استخر ۶۴ متر مربع از کل مساحت ۲۱۶ متر مربعی را اشغال کرده است. بنابراین، نسبت مورد نظر ۶۴/۲۱۶ است. این کسر در ساده‌ترین حالت خود نیست؛ بنابراین می‌توانیم آن را ساده کنیم. برای این کار صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م یا GCF) تقسیم می‌کنیم.

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک صورت (۶۴) و مخرج (۲۱۶) عدد ۸ است. با تقسیم هر دو بخش بر ۸، خواهیم داشت:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

از این رو،

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

استخر ۸/۲۷ از کل فضای باز را اشغال کرده است. اما مشتری می‌خواهد حداقل ۱/۳ (یا همان ۹/۲۷) از کل مساحت به استخر اختصاص یابد. از آنجا که ۸/۲۷ < ۹/۲۷ است، متأسفانه جِین باید یک طرح جدید آماده کند.

ساده کردن نسبت

برای یافتن سریع پاسخ این مسئله با ماشین‌حساب، کافی است اعداد ۶۴ و ۲۱۶ را به ترتیب در فیلدهای A و B (یا C و D) وارد کرده و دکمه محاسبه را فشار دهید.

جواب:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

پیدا کردن مقدار مجهول

مقدار مجهول در تناسب زیر را پیدا کنید:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

برای یافتن مقدار مجهول، از فرمول تناسب (خاصیت طرفین و وسطین) استفاده می‌کنیم. این قانون بیان می‌کند که حاصل‌ضرب وسطین همیشه با حاصل‌ضرب طرفین برابر است. تناسب داده‌شده را می‌توانیم به شکل زیر بنویسیم:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

در این تناسب، اعداد ۹۹ و ۴ «وسطین» و عدد ۳ و متغیر مجهول x «طرفین» هستند. بنابراین:

$$3 × x = 4 × 99$$

و

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

جواب:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

مثال ۲:

هلن قصد دارد سفارش ترجمه چند مقاله از انگلیسی به ژاپنی را به یک مترجم بسپارد. وب‌سایت مترجم، نرخ پایه ۲۰ دلار را برای ترجمه ۶۰۰ کلمه نشان می‌دهد. مقالات هلن در مجموع حدود ۲۰,۰۰۰ کلمه هستند. اگر مترجم تخفیفی ندهد، هلن چگونه باید هزینه کل سفارش را محاسبه کند؟

واحدهای هم‌جنس را در فیلدهای A و C، و واحدهای دیگر را در فیلدهای B و D وارد کنید.

در این مثال، از A و C برای «تعداد کلمات» و از B و D برای «مبلغ (دلار)» استفاده می‌کنیم. فیلدهای A و B مربوط به حالت اول (نرخ پایه مترجم) و فیلدهای C و D مربوط به حالت دوم (سفارش هلن) هستند.

• در فیلد A، تعداد کلمات بر اساس نرخ پایه مترجم یعنی ۶۰۰ را وارد کنید.
• در فیلد B، قیمت ۶۰۰ کلمه یعنی ۲۰ را وارد کنید.
• در فیلد C، تعداد کلمات سفارش خود یعنی ۲۰۰۰۰ را وارد کنید.
• در فیلد D، نتیجه محاسبه یعنی ۶۶۶.۶۶۶۶۶۶۷ را مشاهده خواهید کرد.

سپس می‌توانید این عدد را به ۶۶۷ دلار گرد کنید. البته هلن می‌تواند برای این حجم بالا از کار درخواست تخفیف کند، اما همین مبلغ ۶۶۷ دلار نقطه شروع خوبی برای مذاکره خواهد بود.

مثال ۳:

جک برای تعطیلات به اندونزی رفته است و می‌خواهد دلارهای خود را به ارز محلی (روپیه اندونزی) تبدیل کند. او برای کرایه یک اسکوتر یاماها ایکس‌مکس (Yamaha XMAX) که هزینه اجاره ماهانه آن ۳,۵۰۰,۰۰۰ روپیه است، به پول نقد نیاز دارد.

او می‌داند که امروز نرخ تبدیل ارز در نزدیک‌ترین صرافی به هتلش، ۱۴,۷۵۰ روپیه به ازای هر یک دلار آمریکاست. او برای دریافت ۳,۵۰۰,۰۰۰ روپیه، چند دلار باید بپردازد؟

در اینجا نیز واحدهای هم‌جنس را در فیلدهای A و C، و واحدهای دیگر را در فیلدهای B و D وارد می‌کنیم. در این مثال، از A و C برای «روپیه اندونزی» و از B و D برای «دلار آمریکا» استفاده می‌کنیم.

• در فیلد A، معادل روپیه‌ایِ ۱ دلار، یعنی ۱۴۷۵۰ را وارد کنید.
• در فیلد B، مبلغ معادل آن به دلار یعنی ۱ را وارد کنید.
• در فیلد C، تعداد روپیه‌هایی که می‌خواهید دریافت کنید، یعنی ۳۵۰۰۰۰۰ را وارد کنید.
• در فیلد D، مبلغ مورد نیاز به دلار یعنی ۲۳۷.۲۸۸۱۳۵۵۹۳۲۲ را به دست خواهید آورد.

همان‌طور که می‌بینید، اگر صرافی هیچ کمیسیونی دریافت نکند، جک برای پرداخت هزینه یک ماه اجاره اسکوتر باید حداقل ۲۳۷ دلار چنج کند. او احتمالاً برای راحتی کار مبلغ رُندتری مثل ۲۵۰ یا ۳۰۰ دلار را تبدیل خواهد کرد.

استفاده از ماشین‌حساب برای بررسی برابری دو نسبت

برای مقایسه دو نسبت ۴/۱۶ و ۳/۱۲ توسط ماشین‌حساب، عدد ۴ را در فیلد A و عدد ۱۶ را در فیلد B وارد کنید تا یک طرف تناسب تکمیل شود. سپس عدد ۳ را در فیلد C و عدد ۱۲ را در فیلد D وارد کنید تا طرف دیگر تناسب نیز کامل شود. در نهایت دکمه محاسبه را فشار دهید.

جواب:

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$ (درست است)

خواص تناسب

مهم‌ترین و پرکاربردترین ویژگی تناسب‌ها، همان خاصیت طرفین-وسطین (Means-Extremes) است. با این حال، تناسب‌ها خواص جالب و کاربردی دیگری نیز دارند که در ادامه بررسی می‌کنیم.

جابه‌جایی طرفین و وسطین:

اگر

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

آنگاه با جابه‌جایی وسطین، رابطه زیر برقرار است:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

و با جابه‌جایی طرفین، رابطه زیر صحیح خواهد بود:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

ترکیب و تفضیل در صورت (Componendo and Dividendo):

اگر

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

آنگاه می‌توان تناسب را به شکل زیر بسط داد (ترکیب در صورت):

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

و همچنین به شکل زیر کاهش داد (تفضیل در صورت):

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

ساخت تناسب از طریق جمع و تفریق نسبت‌ها:

اگر

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

آنگاه روابط زیر برقرار خواهند بود:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

و

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

نسبت طلایی (Golden Ratio)

در ریاضیات، اگر نسبت مقدار بزرگ‌تر به مقدار کوچک‌تر، دقیقاً با نسبتِ «مجموع این دو مقدار» به «مقدار بزرگ‌تر» برابر باشد، می‌گوییم این دو عدد دارای «نسبت طلایی» هستند. به زبان ریاضی: برای a > b > 0، نسبت طلایی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

مغز انسان نسبت طلایی را به عنوان یک تناسب بی‌نقص و ایده‌آل از اجزا نسبت به کل درک می‌کند. به همین دلیل، نسبت طلایی به وفور در طبیعت، معماری، علم و هنر دیده می‌شود و از اهمیت زیبایی‌شناختی بسیار بالایی برخوردار است.