直角三角形電卓

直角三角形計算機

直角三角形計算機は、直角三角形の計算に特化した便利なオンライン計算ツールです。この計算機は、直角三角形の任意の2つの値を入力するだけで、残りの未知の値を瞬時に計算します。計算の対象となる値には、辺の長さ（a、b、c）、鋭角（α と β）、周囲長（P）、面積（A）、斜辺に対する高さ（h）が含まれます。

計算機を使用するには、上記の値のうちいずれか2つを入力し、「計算」ボタンをクリックしてください。入力したすべての値をリセットしたい場合は、「クリア」を押します。

角度の値は、度（°）とラジアン（rad）の両方で入力可能です。π（パイ）を用いてラジアンで入力する場合は、「pi」と表記してください。たとえば、指定する角度が π/3 の場合は「pi/3」と入力します。

計算結果には、すべての未知の値だけでなく、詳細な計算手順も表示されます。さらに、入力値に基づいた正確な三角形の図形（スケールビュー）や、内接円の半径、外接円の半径の値も確認することができます。

三角形計算機の入力値の制限

1. 入力できる値は2つのみです。
2. 鋭角 α および β の値は、90° または (π/2) rad 未満である必要があります。
3. 斜辺に対する高さ (h) は、直角を挟む2辺 (a または b) の長さを超えてはなりません。
4. 三角形の各辺（a、b、c）の長さは、他の2辺の和より小さくなければなりません（三角形の成立条件）。
5. 指定された斜辺の長さに対して、直角三角形の周囲長には最大値が存在します。計算機は、この最大値を超える周囲長の入力を受け付けません。斜辺の長さが一定の場合、最大周囲長となるのは直角二等辺三角形 (a=b) のときです。この場合、\$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ となり、最大周囲長は \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$ となります。

直角三角形: 定義と役立つ情報

直角三角形とは、1つの角が90°（または \$\frac{π}{2}\ rad\$）である三角形のことです。直角の対辺（向かい合う辺）を「斜辺（hypotenuse）」と呼びます。直角を挟む他の2辺は「隣辺・対辺（catheti / legs）」と呼ばれます。

辺 b は直角三角形の「底辺」、辺 a は「高さ」と呼ばれることもあります。

直角を挟む2辺は、常に斜辺よりも短くなります。三角形の内角の和は常に180°であり、直角三角形の1つの角は90°であるため、残りの2つの鋭角の和も必ず90°（α+β=90°）になります。また、直角三角形の3辺の長さは、ピタゴラスの定理（三平方の定理）によって互いに関連付けられています。

ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理（三平方の定理）は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す法則です。斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しいという定理で、次のように表されます。

$$c^2=a^2+b^2$$

したがって、直角を挟む2辺の長さがわかっている場合、斜辺の長さは次のように計算できます。

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

また、斜辺と1つの辺の長さがわかっている場合、もう1つの辺の長さは以下のように求められます。

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

ピタゴラスの定理は、直角三角形における最も基本かつ重要な定理であり、ユークリッド幾何学においても極めて重要な定理の1つです。

その他の重要な公式

ピタゴラスの定理に加えて、直角三角形の未知の値を計算するためには、以下の公式がよく用いられます。

直角三角形の周囲長（外周）は、すべての辺の長さの合計であり、次のように求められます。

$$P = a + b + c$$

直角三角形の面積は、次のように計算されます。

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

直角三角形の角度を求めるには、三角関数（正弦・余弦・正接）の計算が必要です。角度の正弦（サイン・sin）、余弦（コサイン・cos）、正接（タンジェント・tan）を求めるには、着目する鋭角に対する「隣辺（隣り合う辺）」と「対辺（向かい合う辺）」を特定する必要があります。直角三角形の鋭角は、斜辺ともう1つの辺（隣辺）によって形成されます。そして残りの辺が、その角度に対する対辺となります。例えば下の図では、角αに対して、辺aが対辺、辺bが隣辺となります。

直角三角形における鋭角の正弦（sin）は、対辺の長さを斜辺の長さで割ることで求められます。

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

鋭角の余弦（cos）は、隣辺の長さを斜辺の長さで割ることで求められます。

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

鋭角の正接（tan）は、対辺の長さと隣辺の長さの比として求められます。

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

斜辺に対する高さ (h) は、次のように計算されます。

$$h=\frac{ab}{c}$$

当計算機では、以下の公式を用いて内接円の半径と外接円の半径も算出します。

$$内接円の半径=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$外接円の半径=\frac{c}{2}$$

計算例

直角を挟む2辺の長さが a = 3、b = 4 とわかっている直角三角形を例に、他のすべての未知の値を計算してみましょう。

まず、ピタゴラスの定理を使って斜辺 c の長さを求めます。

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

次に、三角形の角度の値を求めます。前述の公式より、

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

したがって、

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

同様に、

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

したがって、

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

斜辺に対する高さ h を求めます。

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

三角形の面積は次のようになります。

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

与えられた三角形の周囲長は次の通りです。

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

内接円の半径は次のように計算できます。

$$内接円の半径=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

そして最後に、外接円の半径を求めます。

$$外接円の半径=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

特殊な直角三角形

直角三角形の中には、辺の長さが特殊な比率になる2つの特別なタイプが存在します。それが「45°-45°-90° の三角形」と「30°-60°-90° の三角形」です。

直角二等辺三角形 (45°-45°-90°)

2つの鋭角がともに 45° である直角三角形は、角の大きさが等しいため、直角を挟む2辺の長さも等しくなります。これを直角二等辺三角形と呼びます。この三角形の辺の長さの比は、次のようになります。

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30°-60°-90° の直角三角形

この三角形は、鋭角が 30° と 60° である直角三角形です。辺の長さの比は、次のようになります。

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

ここで、「a」は 30° の角に対する対辺、「b」は 60° の角に対する対辺、「c」は斜辺を表します。