직각삼각형계산기

직각삼각형계산기

직각삼각형계산기는오직직각삼각형에만초점을맞춘온라인삼각형해결기입니다. 계산기는직각삼각형의임의의두값을입력으로받아누락된삼각형측정값을계산합니다. 포함되는값들은–삼각형의변의길이(a, b 및 c), 직각을제외한각도값(α와β), 둘레(P), 면적(A), 높이에서빗변까지의높이(h)입니다.

계산기를사용하려면위에나열된값중어떤두값을입력하고 "계산"을누르세요.

각도값은도와라디안모두로입력할수있습니다. π를사용하여라디안으로값을입력하려면다음표기법을사용하세요: "pi." 예를들어, 주어진각도값이π/3이라면 "pi/3"을입력하세요.

계산기는누락된모든값을및계산단계를보여줄것입니다. 계산기는또한관련삼각형의축소된뷰와내접원반지름과외접원반지름의값을보여줄것입니다.

삼각형계산기의입력값에대한제한사항

1. 두개의값만입력할수있습니다.
2. α와 β의각도값은 90°또는 (π/2)rad 미만이어야합니다.
3. 높이에서빗변까지의높이(h)의길이는어떤높이(a 또는 b)의길이를초과해서는안됩니다.
4. 삼각형의각변의길이(a, b, 또는 c)는다른두변의합보다작아야합니다.
5. 주어진빗변길이에대해삼각형은최대둘레를가집니다. 계산기는이값을초과하는둘레를받아들이지않을것입니다. 주어진빗변길이에대한직각삼각형의최대둘레는이등변삼각형(a=b)의경우에해당합니다. 이경우 \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$이고, 최대둘레 \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$입니다.

직각삼각형: 정의와유용한정보

직각삼각형은한각이 90°또는 \$\frac{π}{2}\ rad\$인삼각형입니다. 직각의반대편에있는변을빗변이라고합니다. 다른두변은삼각형의높이혹은밑변, 또는대각선이라고불립니다.

높이 b는때때로직각삼각형의밑변으로불리고, 높이 a는직각삼각형의높이로불립니다.

삼각형의대각선은항상빗변보다짧습니다. 삼각형의한각이 90°이고, 모든삼각형의각도합이 180°이기때문에, 직각삼각형의다른두각의합도 90°입니다: α+β=90°. 삼각형의변의길이는피타고라스정리에서설명한것처럼서로관련이있습니다.

피타고라스정리

피타고라스정리는직각삼각형의모든변의길이와관련이있습니다. 이정리는빗변의제곱이두높이의제곱합과같다고말합니다:

$$c^2=a^2+b²$$

따라서, 두높이의길이만알고있다면, 빗변의길이는다음과같이계산할수있습니다:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

만약한높이의길이와빗변의길이를알고있다면, 다른높이의길이는다음과같이계산할수있습니다:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

피타고라스정리는직각삼각형에관한가장중요한정리이며, 유클리드기하학에서가장중요한정리중하나입니다.

기타필수공식들

피타고라스정리외에도, 다음관계를사용하여직각삼각형의누락된값들을계산할수있습니다:

삼각형의둘레는모든변의길이합으로계산되며다음과같이찾을수있습니다:

$$P = a + b + c$$

직각삼각형의면적은다음과같이계산됩니다:

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

직각삼각형의각도를찾으려면, 각도의사인, 코사인, 탄젠트를계산해야합니다. 각도의사인, 코사인, 또는탄젠트를찾으려면각도의인접한변과반대편변을식별해야합니다. 빗변과다른한변이직각삼각형의두예각을형성합니다. 이다른변은해당각도의인접한변입니다. 남은변은따라서이각도의반대편변입니다. 예를들어, 아래그림에서 a는각도α의반대편변이고 b는인접한변입니다.

직각삼각형의예각에대한사인은빗변의길이로나눈반대변의길이로계산됩니다:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

직각삼각형의예각에대한코사인은빗변의길이로나눈인접변의길이로계산됩니다:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

직각삼각형의예각에대한탄젠트는인접변의길이로나눈반대변의길이의비율로찾을수있습니다:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

높이에서빗변까지의높이는다음과같이계산됩니다:

$$h=\frac{ab}{c}$$

계산기는또한주어진삼각형의반지름과둘레를다음공식을사용하여찾습니다:

$$내접원반지름=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$외접원반지름=\frac{c}{2}$$

계산예시

두높이의길이가알려진삼각형이있다고가정해보겠습니다: a = 3, b = 4. 삼각형의모든누락된값을찾읍시다.

먼저피타고라스정리를사용하여빗변 c의길이를찾읍시다:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

이제삼각형의각도값을찾읍시다. 위에서언급했듯이,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

따라서,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

마찬가지로

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

따라서

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

높이에서빗변까지의높이h를찾읍시다:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

삼각형의면적에대해서는:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

주어진삼각형의둘레에대해서는:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

내접원반지름은다음과같이계산할수있습니다:

$$내접원반지름=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

마지막으로, 외접원반지름:

$$외접원반지름=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

특별한직각삼각형들

특별한형태의직각삼각형으로 45-45-90 삼각형과 30-60-90 삼각형이있습니다. 이삼각형들의변의길이는특별한비율로관련되어있습니다.

이등변직각삼

각형

예각의각도가 45°인이등변직각삼각형은두개의동일한각도를가지고있습니다. 따라서, 이삼각형의두높이의길이도동일하며, 이삼각형은이등변이자직각입니다. 변의길이는다음과같이관련됩니다:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30-60-90 삼각형

이삼각형의예각은 30°와 60°입니다. 변의길이는다음과같은비율로관련됩니다:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

여기서 'a'는 30°각도의반대변, 'b'는 60°각도의반대변, 'c'는빗변입니다.