Calculatrice de quartiles

Notre calculatrice de quartiles est l'outil en ligne idéal pour déterminer les cinq valeurs clés nécessaires à la construction d'un diagramme en boîte (aussi appelé boîte à moustaches). Cette calculatrice statistique évalue avec précision le premier quartile (Q1), le deuxième quartile (Q2 ou médiane), le troisième quartile (Q3), ainsi que la valeur minimale et la valeur maximale de la série de données que vous fournissez. Par ailleurs, elle calcule automatiquement l'écart interquartile et l'étendue globale.

Saisissez ou copiez-collez simplement vos données brutes dans le champ prévu à cet effet, puis cliquez sur le bouton « Calculate ». Veillez à bien séparer chaque nombre par une virgule ou un espace.

Quartiles

Les quartiles font partie des indicateurs statistiques essentiels que l'on appelle les mesures de position. Ils permettent de décrire la position d'une valeur spécifique par rapport au reste de la distribution dans une série de données.

Ces indicateurs sont utilisés pour diviser une série statistique préalablement triée par ordre croissant en quatre groupes de tailles égales. Chacune de ces sections contient ainsi le même nombre d'éléments. Pour toute série de données, il est possible de calculer trois quartiles :

• Premier quartile (Q1 ou le quartile inférieur)
• Deuxième quartile (Q2 ou la médiane)
• Troisième quartile (Q3 ou le quartile supérieur)

Le premier quartile (Q1) est la valeur qui, dans une série ordonnée, sépare les 25 % des données les plus petites des 75 % des données les plus grandes. En d'autres termes, 25 % des observations sont inférieures ou égales au premier quartile et 75 % y sont supérieures. Il correspond au 25e centile de la série de données.

Le deuxième quartile (Q2) est la valeur qui sépare les 50 % des données les plus petites des 50 % des données les plus grandes. Ainsi, 50 % des éléments se situent sous le deuxième quartile et 50 % se situent au-dessus. Le deuxième quartile est donc strictement identique à la médiane, et correspond au 50e centile de la distribution.

Le troisième quartile (Q3) est la valeur qui sépare les 75 % des données les plus petites des 25 % des données les plus grandes. Ainsi, 75 % des éléments sont inférieurs au troisième quartile et 25 % des éléments y sont supérieurs. Il correspond au 75e centile de la série statistique.

Calcul des quartiles

Pour trouver les quartiles d'une distribution, vous pouvez suivre ces quelques étapes :

• Triez les données par ordre croissant.
• Trouvez la médiane globale de la série de données : c'est votre deuxième quartile (Q2).
• Déterminez la médiane de la première moitié des valeurs (celles situées en dessous de Q2) : c'est votre premier quartile (Q1).
• Déterminez la médiane de la seconde moitié des valeurs (celles situées au-dessus de Q2) : c'est votre troisième quartile (Q3).

Exemple 1

La série de données suivante représente le salaire initial de jeunes comptables fraîchement diplômés de l'université. Pour ces salaires initiaux, trouvez la médiane (Q2), le quartile inférieur (Q1) et le quartile supérieur (Q3). Expliquez ensuite vos résultats.

55.000 $, 60.000 $, 52.000 $, 45.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 48.000 $, 58.000 $, 72.000 $, 66.000 $, 45.000 $, 50.000 $, 54.000 $, 65.000 $, 71.000 $

Réponse

Nous allons d'abord classer les données par ordre croissant :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Ensuite, nous déterminons l'emplacement du deuxième quartile, c'est-à-divre la médiane :

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{me}élément=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{me}élément=8^{me}élément=58.000$$

Puis, cherchons la médiane des valeurs situées en dessous de Q2 pour isoler Q1 :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $

Premier quartile (Q1) = 50.000 $

Enfin, trouvons la médiane des valeurs situées au-dessus de Q2 pour isoler Q3 :

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Troisième quartile (Q3) = 71.000 $

Nous pouvons interpréter ces quartiles de la manière suivante :

25 % des comptables nouvellement diplômés gagnent moins de 50.000 $, tandis que 25 % d'entre eux perçoivent un salaire supérieur à 71.000 $. Par ailleurs, 50 % de ces professionnels gagnent plus de 58.000 $ et les 50 % restants gagnent moins que ce montant.

Dans l'exemple ci-dessus, vous remarquerez que pour un nombre impair de données, les quartiles correspondent exactement à certaines valeurs de la série d'origine. En revanche, lorsque le nombre de données est pair, les quartiles ne correspondent pas nécessairement à des valeurs existantes dans la série. Modifions l'exemple précédent pour mieux comprendre cette subtilité statistique.

Exemple 2

Supposons que vous ayez oublié d'inclure un salaire dans les données de l'exemple 1. Le salaire omis s'élève à 95.000 $. À partir de cette nouvelle série de salaires initiaux, trouvez à nouveau la médiane (Q2), le quartile inférieur (Q1) et le quartile supérieur (Q3).

Réponse

Nous commençons par trier l'ensemble des données par ordre croissant :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Ensuite, nous repérons l'emplacement des quartiles :

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{me}élément=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{me}élément=8,5^{me}élément$$

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\frac{8^{me}élément+9^{me}élément}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Divisons à présent la série de données en deux moitiés de part et d'autre de la médiane. Déterminons la médiane de la partie inférieure pour obtenir Q1 :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $

Premier quartile (Q1) = (50.000 $ + 52.000 $)/2 = 51.000 $

Déterminons ensuite la médiane de la partie supérieure pour obtenir Q3 :

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Troisième quartile (Q3) = (71.000 $ + 72.000 $)/2 = 71.500 $

Écart interquartile

L'écart interquartile (souvent abrégé en EI ou IQR en anglais) représente la différence entre le quartile supérieur (Q3) et le quartile inférieur (Q1).

• Écart interquartile (EI) = quartile supérieur - quartile inférieur
• Écart interquartile (EI) = troisième quartile - premier quartile
• Écart interquartile (EI) = Q3 - Q1

Cet indicateur statistique a pour particularité d'ignorer les 25 % des valeurs les plus basses ainsi que les 25 % des valeurs les plus élevées de la distribution. Par conséquent, l'écart interquartile se concentre exclusivement sur la dispersion des 50 % de valeurs centrales de votre série de données. Comme il exclut les extrémités de la distribution, l'écart interquartile n'est pas faussé par les valeurs extrêmes ou aberrantes. Il permet ainsi de contourner l'inconvénient majeur associé au simple calcul de l'étendue globale.

Exemple 3

Calculez l'écart interquartile de la série de données de l'exemple 1.

Réponse

Nous avons déjà déterminé les quartiles de cette distribution :

• Premier quartile (Q1) = 50.000 $
• Deuxième quartile (Q2) = 58.000 $
• Troisième quartile (Q3) = 71.000 $

Appliquons ces résultats à la formule de l'écart interquartile :

Écart interquartile (EI) = troisième quartile (Q3) - premier quartile (Q1) = 71.000 $ - 50.000 $ = 21.000 $

Exemple 4

Calculez l'écart interquartile de la série de données de l'exemple 2.

Réponse

Les quartiles de cette distribution sont les suivants :

• Premier quartile (Q1) = 51.000 $
• Deuxième quartile (Q2) = 59.000 $
• Troisième quartile (Q3) = 71.500 $

En appliquant la formule, on obtient :

Écart interquartile (EI) = troisième quartile (Q3) - premier quartile (Q1) = 71.500 $ - 51.000 $ = 20.500 $

Valeurs minimales et maximales

La valeur minimale correspond à la plus petite observation d'une série de données. Lorsque vous classez vos données par ordre croissant, il s'agit tout naturellement du premier nombre de votre liste.

À l'inverse, la valeur maximale représente la plus grande observation de la série. Dans une liste triée par ordre croissant, il s'agit du tout dernier nombre.

Ces deux valeurs, la minimale et la maximale, nous donnent une idée précise de l'amplitude totale de la série statistique. C'est d'ailleurs sur ces deux extrêmes que repose le calcul de l'étendue, qui est l'une des mesures de dispersion les plus basiques.

Exemple 5

Trouvez les valeurs minimale et maximale de la série de salaires initiaux de l'exemple 1.

Réponse

Voici la série préalablement classée par ordre croissant :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Le salaire minimum correspondant à la toute première valeur de cette liste, nous avons donc :

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire maximum correspondant à la dernière valeur, on en déduit que :

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 75.000 $

Exemple 6

Trouvez les valeurs minimale et maximale de la série de données de l'exemple 2.

Réponse

En reprenant la liste ordonnée ci-dessous :

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Le minimum étant la première valeur :

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le maximum étant la dernière valeur :

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 95.000 $

Étendue d'une série

En statistiques, l'étendue est la mesure de dispersion la plus élémentaire. Elle se détermine en calculant la différence absolue entre la plus grande valeur (le maximum) et la plus petite valeur (le minimum) d'une série de données.

Étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale

Étendue d'une série = la plus grande valeur - la plus petite valeur

L'étendue reflète la distance ou l'amplitude totale entre les deux extrêmes d'une distribution. Il s'agit d'un indicateur de dispersion relativement approximatif.

Puisque son calcul repose exclusivement sur les deux éléments extrêmes de la série, la présence de valeurs aberrantes ou atypiques peut fortement fausser et biaiser l'étendue.

Comme cette mesure ne tient pas compte de l'ensemble des données de la série, les statisticiens ne la considèrent généralement pas comme un indicateur de dispersion très fiable.

Exemple 7

Calculez l'étendue de la série des salaires initiaux de l'exemple 1.

Réponse

Nous avons déjà identifié le minimum et le maximum de cette série :

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 75.000 $

À présent, nous allons intégrer ces valeurs dans la formule de l'étendue :

L'étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale = 75.000 $ - 45.000 $ = 30.000 $

Exemple 8

Calculez l'étendue de la série des salaires initiaux de l'exemple 2.

Réponse

Les valeurs extrêmes repérées étaient :

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 95.000 $

En appliquant la formule, nous obtenons :

L'étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale = 95.000 $ - 45.000 $ = 50.000 $

Applications concrètes du calcul des quartiles

Le calcul des quartiles s'avère particulièrement pertinent lorsque l'on cherche à analyser une distribution tout en neutralisant l'impact des valeurs extrêmes. Voici plusieurs secteurs où l'analyse des quartiles guide la prise de décision :

Ressources humaines : les entreprises calculent souvent les quartiles de rémunération avant d'établir ou d'ajuster leurs grilles salariales. Cette méthode permet d'écarter à la fois les salaires très bas (comme les indemnités de stage) et les salaires exceptionnellement élevés (liés à l'ancienneté ou à des compétences rares), offrant ainsi une vision juste du marché.

Finances et budgétisation : en planification financière, le calcul des quartiles aide à modéliser les dépenses mensuelles en se basant sur la distribution historique des coûts. Cela permet d'anticiper les variations et d'éviter plus efficacement les dépassements ou les manques de budget.

Production et logistique : l'utilisation des quartiles permet d'obtenir des données fiables sur l'étendue réelle des capacités de production, sans que les résultats ne soient faussés par des événements exceptionnels tels que les pannes de courant, les grèves ou les ruptures de stock brutales.

Marketing et tarification : lorsque les experts en marketing procèdent à l'analyse concurrentielle, ils étudient les quartiles des prix pratiqués sur le marché. Cela leur permet d'isoler le cœur de l'offre concurrentielle, en omettant volontairement les produits d'entrée de gamme (low cost) et les produits de luxe dans leur modélisation.