क्वार्टाइल कैलक्यूलेटर

यदि आप बॉक्स-एंड-व्हिस्कर प्लॉट्स (box-and-whisker plots) के लिए 5-नंबर समरी (five-number summary) निकालना चाहते हैं, तो हमारा क्वार्टाइल कैलकुलेटर (Quartile Calculator) आपके लिए एक बेहतरीन टूल है। यह उन्नत सांख्यिकी कैलकुलेटर किसी भी दिए गए डेटा सेट के लिए प्रथम क्वार्टाइल (Q1), द्वितीय क्वार्टाइल (Q2) या मीडियन (Median), तृतीय क्वार्टाइल (Q3), न्यूनतम मूल्य (Minimum Value) और अधिकतम मूल्य (Maximum Value) की सटीक गणना करता है। इसके अलावा, यह रेंज (Range) और इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) भी आसानी से निकाल सकता है।

आपको बस अपना डेटा टाइप करना है या उसे कॉपी और पेस्ट करना है, और फिर "कैलकुलेट" बटन पर क्लिक करना है। कृपया सुनिश्चित करें कि प्रत्येक संख्या के बीच एक अल्पविराम (comma) या एक स्पेस अवश्य हो।

क्वार्टाइल्स (Quartiles)

क्वार्टाइल्स सांख्यिकी में डेटा के वितरण को समझने का एक प्रभावी तरीका है। यह वर्णन करने में मदद करते हैं कि किसी डेटा सेट में कोई विशिष्ट मान अन्य मानों की तुलना में कहाँ स्थित है।

क्वार्टाइल्स की मदद से, आप निम्नतम से उच्चतम क्रम में व्यवस्थित डेटा की एक सूची को चार बराबर भागों में विभाजित कर सकते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग में डेटा की संख्या समान होती है। किसी भी डेटा सेट के लिए, हम तीन मुख्य क्वार्टाइल्स (चतुर्थक) निकाल सकते हैं:

• प्रथम क्वार्टाइल (Q1 या निचला क्वार्टाइल)
• द्वितीय क्वार्टाइल (Q2 या मीडियन)
• तृतीय क्वार्टाइल (Q3 या ऊपरी क्वार्टाइल)

पहला क्वार्टाइल (Q1) वह मान है जो आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित डेटा के निचले 25% हिस्से को ऊपरी 75% हिस्से से अलग करता है। इसका मतलब है कि 25% मान पहले क्वार्टाइल से कम हैं और 75% मान इससे अधिक हैं। यह डेटा सेट के 25वें प्रतिशतक (25th percentile) के बराबर होता है।

दूसरा क्वार्टाइल (Q2) वह मान है जो डेटा को ठीक बीच से विभाजित करता है, यानी डेटा का निचला 50% हिस्सा शीर्ष 50% हिस्से से अलग हो जाता है। अतः, 50% मान दूसरे क्वार्टाइल से कम होते हैं और 50% मान इससे अधिक होते हैं। दूसरा क्वार्टाइल डेटा सेट के मीडियन (माध्यिका) और 50वें प्रतिशतक के समान होता है।

तीसरा क्वार्टाइल (Q3) वह मान है जो डेटा के निचले 75% हिस्से को शीर्ष 25% हिस्से से अलग करता है (जब डेटा निम्नतम से उच्चतम क्रम में हो)। इसका अर्थ है कि 75% मान तीसरे क्वार्टाइल से कम हैं और 25% मान इससे अधिक हैं। यह डेटा सेट के 75वें प्रतिशतक के समान है।

क्वार्टाइल्स की गणना

किसी डेटा सेट के क्वार्टाइल्स निकालने के लिए आप नीचे दिए गए चरणों का पालन कर सकते हैं:

• सबसे पहले आँकड़ों को आरोही क्रम (बढ़ते क्रम) में व्यवस्थित करें।
• पूरे डेटा सेट का मीडियन (Median) ज्ञात करें। यही आपका द्वितीय क्वार्टाइल (Q2) है।
• अब उन डेटा मानों का मीडियन ज्ञात करें जो दूसरे क्वार्टाइल (Q2) के नीचे हैं। यह प्रथम क्वार्टाइल (Q1) है।
• अंत में, उन डेटा मानों का मीडियन ज्ञात करें जो दूसरे क्वार्टाइल (Q2) के ऊपर हैं। यह तृतीय क्वार्टाइल (Q3) है।

उदाहरण 1

नीचे दिया गया डेटा सेट एक कॉलेज से नए ग्रेजुएट हुए अकाउंटेंट्स के शुरुआती वेतन को दर्शाता है। इस शुरुआती वेतन के लिए मीडियन (Q2), निम्न क्वार्टाइल (Q1), और ऊपरी क्वार्टाइल (Q3) ज्ञात करें। अपने परिणामों की व्याख्या भी करें।

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

समाधान

सबसे पहले, हम डेटा को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करेंगे।

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

फिर, हम दूसरे क्वार्टाइल (Q2) या मीडियन का स्थान ज्ञात करेंगे।

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{th}item=8^{th}item=58,000$$

अगला कदम, Q1 को खोजने के लिए Q2 के नीचे वाले डेटा मानों का मीडियन निकालना है।

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

पहला क्वार्टाइल (Q1) = $50,000

इसके बाद, Q3 को खोजने के लिए Q2 के ऊपर वाले डेटा मानों का मीडियन ज्ञात करें।

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

तृतीय क्वार्टाइल (Q3) = $71,000

आप इन परिणामों की व्याख्या इस प्रकार कर सकते हैं:

25% नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स $50,000 से कम कमाते हैं, और 25% अकाउंटेंट्स $71,000 से अधिक कमाते हैं। 50% नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स $58,000 से अधिक कमाते हैं, जबकि बाकी 50% इससे कम कमाते हैं।

उपरोक्त उदाहरण से आप देख सकते हैं कि जब डेटा बिंदुओं की संख्या विषम (odd) होती है, तो क्वार्टाइल उसी डेटा सेट का कोई मूल मान होता है। लेकिन यदि डेटा बिंदुओं की संख्या सम (even) है, तो क्वार्टाइल सीधे किसी मान से मेल नहीं खाएगा। आइए इस प्रक्रिया को समझने के लिए एक और उदाहरण देखते हैं।

उदाहरण 2

मान लें कि उदाहरण 1 के डेटा में आपसे एक वेतन जोड़ना छूट गया था। वह छूटा हुआ वेतन $95,000 है। अब इस संशोधित शुरुआती वेतन डेटा के लिए मीडियन (Q2), निम्न क्वार्टाइल (Q1), और ऊपरी क्वार्टाइल (Q3) ज्ञात करें।

समाधान

सबसे पहले, हम आँकड़ों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करेंगे।

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

अब, हम क्वार्टाइल्स की स्थिति ज्ञात करेंगे।

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{th}item=8.5^{th}item$$

$$Second\ quartile(Q2)=\frac{8^{th}item+9^{th}item}{2}=\frac{58,000+60,000}{2}=59,000$$

अब, मीडियन के आधार पर डेटा सेट को दो समूहों में विभाजित करें। Q1 को खोजने के लिए Q2 के नीचे वाले डेटा मानों का मीडियन खोजें।

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

पहला क्वार्टाइल (Q1) = ($50,000 + $52,000)/2 = $51,000

अगला कदम, Q3 को खोजने के लिए Q2 के ऊपर वाले डेटा मानों का मीडियन निकालना है।

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

तृतीय क्वार्टाइल (Q3) = ($71,000 + $72,000)/2 = $71,500

इंटरक्वार्टाइल रेंज (Interquartile Range)

ऊपरी क्वार्टाइल (Q3) और निम्न क्वार्टाइल (Q1) के बीच के अंतर को इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) के रूप में जाना जाता है।

• इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) = ऊपरी क्वार्टाइल - निम्न क्वार्टाइल
• इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) = तृतीय क्वार्टाइल - प्रथम क्वार्टाइल
• इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) = Q3 - Q1

इंटरक्वार्टाइल रेंज डेटा के निचले 25% और शीर्ष 25% हिस्से को हटा देती है। दूसरे शब्दों में, इंटरक्वार्टाइल रेंज केवल डेटा सेट के मध्य 50% के फैलाव (spread) को मापती है। चूंकि इंटरक्वार्टाइल रेंज निचले क्वार्टाइल के नीचे और ऊपरी क्वार्टाइल के ऊपर के सभी मानों को हटा देती है, इसलिए इसमें कोई चरम मान या "आउटलायर (outlier)" शामिल नहीं होता है। यह रेंज गणना की सबसे बड़ी खामी को दूर कर देता है।

उदाहरण 3

उदाहरण 1 के लिए इंटरक्वार्टाइल रेंज ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम पहले ही उस डेटा श्रेणी के लिए क्वार्टाइल्स निकाल चुके हैं:

• पहला क्वार्टाइल (Q1) = $50,000
• दूसरा क्वार्टाइल (Q2) = $58,000
• तृतीय क्वार्टाइल (Q3) = $71,000

अब इन मानों को इंटरक्वार्टाइल फॉर्मूले में रखते हैं:

इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) = तृतीय क्वार्टाइल (Q3) - प्रथम क्वार्टाइल (Q1) = $71,000 - $50,000 = $21,000

उदाहरण 4

उदाहरण 2 के लिए इंटरक्वार्टाइल रेंज ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम पहले ही इस डेटा श्रेणी के लिए क्वार्टाइल्स निकाल चुके हैं:

• पहला क्वार्टाइल (Q1) = $51,000
• दूसरा क्वार्टाइल (Q2) = $59,000
• तृतीय क्वार्टाइल (Q3) = $71,500

अब इन मानों को इंटरक्वार्टाइल रेंज फॉर्मूले में रखते हैं:

इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) = तृतीय क्वार्टाइल (Q3) - प्रथम क्वार्टाइल (Q1) = $71,500 - $51,000 = $20,500

न्यूनतम और अधिकतम मूल्य (Minimum and Maximum Values)

किसी डेटा सेट का न्यूनतम मूल्य (Minimum Value) वह मान है जो उस पूरे सेट में सबसे छोटा होता है। जब आप डेटा को निम्नतम से उच्चतम क्रम में व्यवस्थित करते हैं, तो यह आपके सेट का सबसे पहला मान होता है।

डेटा सेट में सबसे बड़े मान को अधिकतम मूल्य (Maximum Value) कहा जाता है। जब आप डेटा को निम्नतम से उच्चतम क्रम में व्यवस्थित करते हैं, तो यह आपके सेट का सबसे अंतिम मान होता है।

न्यूनतम और अधिकतम मान यह दर्शाते हैं कि संपूर्ण डेटा सेट का फैलाव कितना है। डेटा सेट के न्यूनतम और अधिकतम मानों का उपयोग रेंज (Range) निकालने के लिए किया जाता है, जो डेटा के फैलाव को मापने का सबसे बुनियादी तरीका है।

उदाहरण 5

उदाहरण 1 के नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स के शुरुआती वेतन डेटा सेट का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

समाधान

हमने आँकड़ों को पहले ही आरोही क्रम में व्यवस्थित कर लिया है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

उपरोक्त सूची में सबसे पहला वेतन डेटा ही न्यूनतम वेतन है। इसलिए,

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का न्यूनतम शुरुआती वेतन = $45,000

उपरोक्त सूची में सबसे अंतिम वेतन डेटा ही अधिकतम वेतन है। इसलिए,

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का अधिकतम शुरुआती वेतन = $75,000

उदाहरण 6

उदाहरण 2 के नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स के शुरुआती वेतन डेटा सेट का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

समाधान

हमने आँकड़ों को पहले ही आरोही क्रम में व्यवस्थित कर लिया है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

उपरोक्त सूची में सबसे पहला वेतन डेटा ही न्यूनतम वेतन है। इसलिए,

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का न्यूनतम शुरुआती वेतन = $45,000

उपरोक्त सूची में सबसे अंतिम वेतन डेटा ही अधिकतम वेतन है। इसलिए,

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का अधिकतम शुरुआती वेतन = $95,000

एक सेट की रेंज (Range of a Set)

रेंज यह मापने का सबसे सरल तरीका है कि डेटा का एक सेट कितना फैला हुआ है। इसे डेटा सेट के सबसे बड़े (अधिकतम) और सबसे छोटे (न्यूनतम) मानों के बीच का अंतर निकालकर ज्ञात किया जाता है।

एक सेट की रेंज = अधिकतम मूल्य - न्यूनतम मूल्य

एक सेट की रेंज = सबसे बड़ा मूल्य - सबसे छोटा मूल्य

रेंज कुल दूरी है या डेटा सेट के उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के बीच का फैलाव है। यह इस बात का स्पष्ट अंदाजा देता है कि डेटा एक-दूसरे से कितनी दूर तक फैला है।

हालाँकि, रेंज केवल डेटा सेट के दो सबसे चरम बिंदुओं से प्रभावित होती है। यदि डेटा में कोई अत्यधिक बड़ा या छोटा मान (outlier) है, तो रेंज आसानी से विकृत (skewed) हो सकती है।

चूंकि रेंज सेट के सभी डेटा बिंदुओं पर आधारित नहीं होती है, इसलिए इसे डेटा के फैलाव को मापने का सबसे विश्वसनीय तरीका नहीं माना जाता है।

उदाहरण 7

उदाहरण 1 के नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स के शुरुआती वेतन डेटा सेट की रेंज ज्ञात करें।

समाधान

पहले ही हमने डेटा सेट का न्यूनतम और अधिकतम मूल्य ज्ञात कर लिया है।

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का न्यूनतम शुरुआती वेतन = $45,000

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का अधिकतम शुरुआती वेतन = $75,000

अब हम इन मानों को रेंज के फॉर्मूले में रखेंगे।

एक सेट की रेंज = अधिकतम मूल्य - न्यूनतम मूल्य = $75,000 - $45,000 = $30,000

उदाहरण 8

उदाहरण 2 के नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स के शुरुआती वेतन डेटा सेट की रेंज ज्ञात करें।

समाधान

पहले ही हमने डेटा सेट का न्यूनतम और अधिकतम मूल्य ज्ञात कर लिया है।

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का न्यूनतम शुरुआती वेतन = $45,000

नए ग्रेजुएट अकाउंटेंट्स का अधिकतम शुरुआती वेतन = $95,000

अब हम इन मानों को रेंज के फॉर्मूले में रखेंगे।

एक सेट की रेंज = अधिकतम मूल्य - न्यूनतम मूल्य = $95,000 - $45,000 = $50,000

वास्तविक दुनिया में क्वार्टाइल गणना के उपयोग

क्वार्टाइल गणना विशेष रूप से तब सहायक होती है जब हम किसी डेटा सेट से अत्यधिक उच्च या निम्न मानों (extreme values) को हटाना चाहते हैं और केवल मुख्य डेटा के फैलाव को समझना चाहते हैं। नीचे दी गई सूची दर्शाती है कि विभिन्न क्षेत्रों में क्वार्टाइल्स का उपयोग कैसे किया जाता है:

• मानव संसाधन (HR): किसी कंपनी में कर्मचारियों के लिए वेतन सीमा निर्धारित करने से पहले, वेतन के क्वार्टाइल्स निकाले जाते हैं। यह उन वेतनों को विश्लेषण से बाहर करने में मदद करता है जो बहुत कम हैं (जैसे कि इंटर्न्स के लिए), या बहुत अधिक हैं (जैसे उच्च अनुभव वाले अधिकारियों के लिए)।

• वित्त (Finance): यह तय करने के लिए कि हर महीने औसतन कितना खर्च करना है, क्वार्टाइल्स का उपयोग यह देखने के लिए किया जाता है कि अतीत में खर्च किस प्रकार फैले हुए थे। यह विश्लेषण आपको अपने बजट से बहुत अधिक या बहुत कम जाने से रोकता है।

• उत्पादन (Production): यह सुनिश्चित करने में मदद करता है कि उत्पादन क्षमता का विश्लेषण करते समय बिजली कटौती (power outage), हड़ताल (strike), या कच्चे माल की कमी वाले दिनों के असामान्य डेटा से उत्पादन रिपोर्ट खराब न हो।

• मार्केटिंग (Marketing): जब मार्केटर्स अपने प्रतिस्पर्धियों की मूल्य निर्धारण रणनीतियों (price ranges) का विश्लेषण करते हैं, तो वे उन कीमतों के लिए क्वार्टाइल्स निकालते हैं। इस विश्लेषण के दौरान, वे बहुत कम गुणवत्ता वाले उत्पादों या अत्यधिक महंगे प्रसिद्ध ब्रांडों की कीमतों को आसानी से अनदेखा कर सकते हैं।