ماشین حساب کوارتیل

ماشین حساب چارک (کوارتیل) ابزاری بسیار کاربردی است، به‌ویژه زمانی که قصد دارید «خلاصه پنج‌عددی» (Five-number summary) را برای رسم نمودارهای جعبه‌ای و سبیلی (Box and Whisker Plots) به دست آورید. این ماشین حساب آماری پیشرفته، چارک اول (Q1)، چارک دوم (Q2) یا میانه، چارک سوم (Q3)، کمترین مقدار (حداقل) و بیشترین مقدار (حداکثر) هر مجموعه داده‌ای را با دقت بالا محاسبه می‌کند. علاوه بر این، ابزار ما دامنه بین‌چارکی (IQR) و دامنه کل داده‌ها را نیز در اختیار شما قرار می‌دهد.

برای استفاده از این ابزار آنلاین، تنها کافی است داده‌های خود را تایپ کرده یا کپی و پیست کنید و روی دکمه «محاسبه» کلیک نمایید. لطفاً دقت کنید که هر عدد را با یک کاما (ویرگول) یا فاصله (Space) از یکدیگر جدا کنید.

چارک‌ها (Quartiles)

چارک‌ها یکی از مهم‌ترین معیارهای موقعیت در آمار هستند. آن‌ها به ما کمک می‌کنند تا موقعیت نسبی برخی از مقادیر را در مقایسه با کل داده‌های یک مجموعه توصیف کنیم.

چارک‌ها برای تقسیم یک مجموعه داده‌ی مرتب‌شده (به ترتیب صعودی) به چهار بخش کاملاً مساوی استفاده می‌شوند. هر یک از این بخش‌ها، شامل تعداد برابری از داده‌ها است. ما می‌توانیم سه چارک اصلی را برای هر مجموعه داده محاسبه کنیم:

• چارک اول (Q1 یا چارک پایین)
• چارک دوم (Q2 یا میانه)
• چارک سوم (Q3 یا چارک بالا)

چارک اول (Q1) مقداری است که ۲۵٪ پایین‌ترین داده‌ها را از ۷۵٪ بالاترین داده‌های مرتب‌شده جدا می‌کند. بنابراین، ۲۵٪ از مقادیر کمتر از چارک اول و ۷۵٪ از مقادیر بیشتر از آن هستند. این مقدار دقیقاً معادل صدک ۲۵ام (25th Percentile) مجموعه داده است.

چارک دوم (Q2) یا همان میانه، مقداری است که ۵۰٪ پایین‌ترین داده‌ها را از ۵۰٪ بالاترین داده‌های مرتب‌شده جدا می‌کند. در واقع، ۵۰٪ از مقادیر کمتر از چارک دوم و ۵۰٪ از مقادیر بیشتر از آن هستند.

نحوه محاسبه چارک‌ها

برای یافتن چارک‌ها به صورت دستی، می‌توانید مراحل ساده زیر را دنبال کنید:

• ابتدا داده‌ها را به ترتیب صعودی (از کوچک به بزرگ) مرتب کنید.
• میانه کل داده‌ها را پیدا کنید؛ این مقدار همان چارک دوم است.
• میانه داده‌های قرار گرفته در نیمه پایینی (زیر چارک دوم) را محاسبه کنید؛ این مقدار چارک اول است.
• میانه داده‌های قرار گرفته در نیمه بالایی (بالای چارک دوم) را محاسبه کنید؛ این مقدار چارک سوم است.

مثال 1

داده‌های زیر، حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌فارغ‌التحصیل‌شده در یک دانشگاه را نشان می‌دهد. میانه (Q2)، چارک پایین (Q1) و چارک بالا (Q3) را برای این حقوق‌ها پیدا کنید. نتایج خود را تفسیر کنید.

55,000 دلار، 60,000 دلار، 52,000 دلار، 45,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار، 48,000 دلار، 58,000 دلار، 72,000 دلار، 66,000 دلار، 45,000 دلار، 50,000 دلار، 54,000 دلار، 65,000 دلار، 71,000 دلار

راه‌حل

اول، داده‌ها را به ترتیب افزایشی مرتب می‌کنیم.

45,000 دلار، 45,000 دلار، 48,000 دلار، 50,000 دلار، 52,000 دلار، 54,000 دلار، 55,000 دلار، 58,000 دلار، 60,000 دلار، 65,000 دلار، 66,000 دلار، 71,000 دلار، 72,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار

سپس، مکان چارک دوم یا میانه را پیدا خواهیم کرد.

$$چارک\ دوم\ (Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{امین}مقدار=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{امین}مقدار=8^{امین}مقدار=58,000 دلار$$

بعد، برای پیدا کردن Q1، میانه مقادیر داده‌های پایین‌تر از Q2 را محاسبه کنید.

45,000 دلار، 45,000 دلار، 48,000 دلار، 50,000 دلار، 52,000 دلار، 54,000 دلار، 55,000 دلار

چارک اول (Q1) = 50,000 دلار

سپس، برای پیدا کردن Q3، میانه مقادیر داده‌های بالاتر از Q2 را محاسبه کنید.

60,000 دلار، 65,000 دلار، 66,000 دلار، 71,000 دلار، 72,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار

چارک سوم (Q3) = 71,000 دلار

شما می‌توانید چارک‌های فوق را به شکل زیر تفسیر کنید:

۲۵٪ از حسابداران تازه‌فارغ‌التحصیل کمتر از 50,000 دلار درآمد دارند و ۲۵٪ از آن‌ها بیشتر از 71,000 دلار حقوق می‌گیرند. ۵۰٪ از این حسابداران بیش از 58,000 دلار درآمد دارند، در حالی که ۵۰٪ دیگر کمتر از این مقدار درآمد کسب می‌کنند.

همان‌طور که از مثال فوق می‌بینید، زمانی که تعداد داده‌ها فرد باشد، چارک‌ها دقیقاً برابر با یکی از مقادیر اصلی داده‌ها خواهند بود. با این حال، اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، چارک‌ها لزوماً با مقادیر اولیه مطابقت نخواهند داشت. بیایید برای درک بهتر این موضوع، مثال قبل را کمی تغییر دهیم.

مثال 2

فرض کنید که یکی از داده‌های حقوق در مثال 1 را فراموش کرده‌اید وارد کنید. حقوق فراموش‌شده 95,000 دلار است. اکنون میانه اصلاح‌شده (Q2)، چارک پایین (Q1) و چارک بالا (Q3) را برای این مجموعه حقوق‌ها محاسبه کنید.

سپس، مکان چارک‌ها را پیدا خواهیم کرد.

$$چارک\ دوم(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{امین}مقدار=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{امین}مقدار=8.5^{امین}مقدار$$

$$چارک\ دوم(Q2)=\frac{8^{امین}مقدار+9^{امین}مقدار}{2}=\frac{58,000+60,000}{2}=59,000$$

اکنون، مجموعه داده‌ها را از قسمت میانه به دو گروه تقسیم کنید. برای یافتن Q1، میانه مقادیر نیمه پایینی (زیر Q2) را بیابید.

45,000 دلار، 45,000 دلار، 48,000 دلار، 50,000 دلار، 52,000 دلار، 54,000 دلار، 55,000 دلار، 58,000 دلار

چارک اول (Q1) = (50,000 دلار + 52,000 دلار) / 2 = 51,000 دلار

سپس، برای یافتن Q3، میانه مقادیر نیمه بالایی (بالای Q2) را بیابید.

60,000 دلار، 65,000 دلار، 66,000 دلار، 71,000 دلار، 72,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار، 95,000 دلار

چارک سوم (Q3) = (71,000 دلار + 72,000 دلار) / 2 = 71,500 دلار

دامنه بین‌چارکی (Interquartile Range)

تفاوت میان چارک بالا (Q3) و چارک پایین (Q1) تحت عنوان دامنه بین‌چارکی یا IQR شناخته می‌شود.

• دامنه بین‌چارکی (IQR) = چارک بالا - چارک پایین
• دامنه بین‌چارکی (IQR) = چارک سوم - چارک اول
• دامنه بین‌چارکی (IQR) = Q3 - Q1

دامنه بین‌چارکی، ۲۵ درصد پایین‌ترین مقادیر و ۲۵ درصد بالاترین مقادیر مجموعه داده‌ها را نادیده می‌گیرد. به عبارت دیگر، این معیار مستقیماً بر پراکندگی ۵۰ درصد میانی داده‌ها تمرکز دارد. از آنجا که دامنه بین‌چارکی مقادیر بسیار کوچک و بسیار بزرگ را حذف می‌کند، تحت تأثیر مقادیر شدید یا نقاط پرت (Outliers) قرار نمی‌گیرد. این ویژگی مهم، بزرگترین نقطه ضعف محاسبه «دامنه کل» را برطرف می‌کند.

مثال 3

دامنه بین‌چارکی را برای داده‌های مثال 1 محاسبه کنید.

راه‌حل

ما قبلاً چارک‌ها را برای این مجموعه داده محاسبه کرده‌ایم:

• چارک اول (Q1) = 50,000$
• چارک دوم (Q2) = 58,000$
• چارک سوم (Q3) = 71,000$

بیایید این مقادیر را در فرمول دامنه بین‌چارکی قرار دهیم:

دامنه بین‌چارکی (IQR) = چارک سوم (Q3) - چارک اول (Q1) = 71,000$ - 50,000$ = 21,000$

مثال 4

دامنه بین‌چارکی را برای داده‌های مثال 2 محاسبه کنید.

راه‌حل

ما قبلاً چارک‌ها را برای این مجموعه داده محاسبه کرده‌ایم:

• چارک اول (Q1) = 51,000$
• چارک دوم (Q2) = 59,000$
• چارک سوم (Q3) = 71,500$

بیایید این مقادیر را در فرمول دامنه بین‌چارکی قرار دهیم:

دامنه بین‌چارکی (IQR) = چارک سوم (Q3) - چارک اول (Q1) = 71,500$ - 51,000$ = 20,500$

مقادیر حداقل و حداکثر (Min and Max)

مقدار حداقل (Minimum) به معنای کمترین مقدار موجود در یک مجموعه داده است. وقتی داده‌ها را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنید، اولین عدد همان مقدار حداقل شماست.

مقدار حداکثر (Maximum) به معنای بیشترین مقدار موجود در یک مجموعه داده است. وقتی داده‌ها را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنید، آخرین عدد همان مقدار حداکثر شماست.

یافتن حداقل و حداکثر به درک کلی ما از گستردگی و پراکندگی مجموعه داده کمک می‌کند. «دامنه» که یک معیار اولیه برای اندازه‌گیری پراکندگی است، مستقیماً بر اساس مقادیر حداقل و حداکثر محاسبه می‌شود.

مثال 5

مقادیر حداقل و حداکثر مجموعه داده‌های حقوق در مثال 1 را بیابید.

راه‌حل

ما پیش‌تر مجموعه داده‌ها را به ترتیب صعودی به شکل زیر مرتب کرده بودیم:

45,000 دلار، 45,000 دلار، 48,000 دلار، 50,000 دلار، 52,000 دلار، 54,000 دلار، 55,000 دلار، 58,000 دلار، 60,000 دلار، 65,000 دلار، 66,000 دلار، 71,000 دلار، 72,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار

حداقل حقوق، اولین داده در آرایه بالا است. بنابراین:

حداقل حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 45,000 دلار

حداکثر حقوق، آخرین داده در آرایه بالا است. بنابراین:

حداکثر حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 75,000 دلار

مثال 6

مقادیر حداقل و حداکثر مجموعه داده‌های حقوق در مثال 2 را بیابید.

راه‌حل

ما پیش‌تر مجموعه داده‌ها را به ترتیب صعودی به شکل زیر مرتب کرده بودیم:

45,000 دلار، 45,000 دلار، 48,000 دلار، 50,000 دلار، 52,000 دلار، 54,000 دلار، 55,000 دلار، 58,000 دلار، 60,000 دلار، 65,000 دلار، 66,000 دلار، 71,000 دلار، 72,000 دلار، 74,000 دلار، 75,000 دلار، 95,000 دلار

حداقل حقوق، اولین داده در آرایه بالا است. بنابراین:

حداقل حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 45,000 دلار

حداکثر حقوق، آخرین داده در آرایه بالا است. بنابراین:

حداکثر حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 95,000 دلار

دامنه یک مجموعه (Range)

دامنه (Range) در آمار ساده‌ترین معیار اندازه‌گیری پراکندگی یک مجموعه داده است. این مقدار از تفاضل بین بزرگ‌ترین (حداکثر) و کوچک‌ترین (حداقل) مقدار داده‌ها به دست می‌آید.

دامنه یک مجموعه = مقدار حداکثر - مقدار حداقل

دامنه یک مجموعه = بزرگ‌ترین مقدار - کوچک‌ترین مقدار

دامنه نشان‌دهنده فاصله کلی یا گستره نهایی بین مقادیر افراطی (ابتدا و انتها) مجموعه داده است. این شاخص، یک معیار خام و اولیه از پراکندگی محسوب می‌شود.

از آنجا که دامنه فقط به دو داده‌ی انتهایی وابسته است، اگر این مقادیر افراطی شامل نقاط پرت (Outliers) باشند، دامنه به شدت مختل و گمراه‌کننده خواهد شد. به همین دلیل که محاسبه آن بر اساس تمام داده‌های مجموعه نیست، دامنه معمولاً به عنوان یک معیار ایده‌آل و دقیق برای پراکندگی در نظر گرفته نمی‌شود.

مثال 7

دامنه مجموعه داده‌های حقوق در مثال 1 را بیابید.

راه‌حل

پیشتر ما مقادیر حداقل و حداکثر این مجموعه داده را یافته‌ایم:

حداقل حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 45,000 دلار

حداکثر حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 75,000 دلار

اکنون این مقادیر را در فرمول دامنه قرار می‌دهیم:

دامنه یک مجموعه = مقدار حداکثر - مقدار حداقل = 75,000 دلار - 45,000 دلار = 30,000 دلار

مثال 8

دامنه مجموعه داده‌های حقوق در مثال 2 را بیابید.

راه‌حل

پیشتر ما مقادیر حداقل و حداکثر این مجموعه داده را یافته‌ایم:

حداقل حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 45,000 دلار

حداکثر حقوق شروع به کار حسابداران تازه‌کار = 95,000 دلار

اکنون این مقادیر را در فرمول دامنه قرار می‌دهیم:

دامنه یک مجموعه = مقدار حداکثر - مقدار حداقل = 95,000 دلار - 45,000 دلار = 50,000 دلار

کاربردهای محاسبه چارک در دنیای واقعی

محاسبات چارکی زمانی به شدت مفید واقع می‌شوند که بخواهیم مقادیر افراطی و پرت را از مجموعه داده‌ها حذف کرده و توزیع واقعی آن‌ها را بررسی کنیم. لیست زیر نشان‌دهنده حوزه‌های مختلفی است که از چارک‌ها برای تصمیم‌گیری‌های استراتژیک استفاده می‌کنند:

منابع انسانی - پیش از تعیین محدوده حقوق کارمندان در یک شرکت، چارک‌های حقوق پرداختی در بازار مشخص می‌شوند. این کار به سازمان‌ها کمک می‌کند تا حقوق‌های بسیار پایین (مانند حقوق کارآموزی) و حقوق‌های نجومی (که نتیجه سال‌ها تجربه یا استعدادهای فوق‌العاده است) را از محاسبات پایه حذف کنند.

مالی و بودجه‌بندی - هنگام برنامه‌ریزی برای هزینه‌های ماهانه، محاسبه چارک‌ها ایده‌ای دقیق از نحوه توزیع هزینه‌ها در گذشته به دست می‌دهد. این امر به جلوگیری از تخصیص بودجه بیش از حد یا کمتر از حد نیاز کمک شایانی می‌کند.

تولید و عملیات - محاسبه چارک‌ها در فرآیندهای تولید، داده‌هایی واقعی از دامنه توانایی‌های تولید فراهم می‌کند؛ داده‌هایی که توسط اتفاقات استثنایی مانند قطعی برق، اعتصاب‌ها، یا روزهای فاقد موجودی مواد اولیه تحریف نشده‌اند.

بازاریابی - زمانی که استراتژیست‌های بازاریابی قصد دارند محدوده قیمت محصولات رقبا را تجزیه و تحلیل کنند، برای درک بهتر جریان بازار و نادیده گرفتن قیمت‌های نامتعارف، چارک‌های قیمتی رقبا را شناسایی و بررسی می‌کنند.