Çeyreklik Hesaplayıcı

Çeyreklik hesaplayıcı (Quartile Calculator), Kutu Grafikleri (Box Plot) için beş rakamlı özeti bulmanız gerektiğinde işinizi son derece kolaylaştıran pratik bir araçtır. Bu gelişmiş istatistik hesaplayıcı; girdiğiniz veri setinin birinci çeyrekliğini (Q1), ikinci çeyrekliğini (Q2 veya medyan), üçüncü çeyrekliğini (Q3), minimum ve maksimum değerlerini saniyeler içinde hesaplar. Ayrıca çeyrekler arası farkı (IQR) ve veri aralığını (range) da otomatik olarak sunar.

Verilerinizi kutuya yazmanız veya kopyalayıp yapıştırmanız, ardından "Hesapla" butonuna tıklamanız yeterlidir. Doğru sonuçlar için her sayıyı virgül veya boşluk bırakarak ayırdığınızdan emin olun.

Çeyreklikler

İstatistiksel analizlerde çeyreklikler, önemli konum ölçülerinden biridir. Bir veri setindeki belirli değerlerin, diğer değerlere kıyasla nerede konumlandığını anlamamıza yardımcı olurlar.

Çeyreklikler, küçükten büyüğe doğru sıralanmış (artan sıradaki) bir veri dizisini dört eşit parçaya bölmek için kullanılır. Bu bölümlerin her biri eşit sayıda veri elemanı içerir. Bir veri seti için üç temel çeyreklik değeri hesaplanabilir:

• Birinci çeyreklik (Q1 veya alt çeyreklik)
• İkinci çeyreklik (Q2 veya medyan/ortanca)
• Üçüncü çeyreklik (Q3 veya üst çeyreklik)

Birinci çeyreklik (Q1), artan sırayla dizilmiş bir veri setinde alt %25'lik dilim ile üst %75'lik dilimi birbirinden ayıran değerdir. Yani, veri elemanlarının %25'i birinci çeyrekliğin altında, %75'i ise üstünde yer alır. Bu değer, veri setinin 25. yüzdelik dilimine eşittir.

İkinci çeyreklik (Q2), veriler sıralandığında alt %50 ile üst %50'yi ikiye ayıran tam orta değerdir. Verilerin yarısı bu değerin altında, diğer yarısı üstünde bulunur. İkinci çeyreklik, aynı zamanda veri setinin medyanı (ortancası) ve 50. yüzdelik dilimidir.

Üçüncü çeyreklik (Q3), verilerde alt %75'lik dilim ile üst %25'lik dilimi ayıran değerdir. Üçüncü çeyrekliğin altında verilerin %75'i, üstünde ise %25'i yer alır. Bu değer, veri setinin 75. yüzdelik dilimine eşdeğerdir.

Çeyreklikleri hesaplamak için şu adımları izleyebilirsiniz:

• Veri setini küçükten büyüğe (artan sırayla) düzenleyin.
• Verilerin medyanını (ortanca değerini) bulun. Bu size ikinci çeyrekliği (Q2) verecektir.
• İkinci çeyrekliğin solunda (altında) kalan alt veri grubunun medyanını bulun. Bu, birinci çeyrekliktir (Q1).
• İkinci çeyrekliğin sağında (üstünde) kalan üst veri grubunun medyanını bulun. Bu da üçüncü çeyrekliktir (Q3).

Örnek 1

Aşağıdaki veri seti, bir üniversiteden yeni mezun olan muhasebecilerin başlangıç maaşlarını göstermektedir. Bu başlangıç maaşları için medyanı (Q2), alt çeyrekliği (Q1) ve üst çeyrekliği (Q3) bulunuz ve sonuçları yorumlayınız.

$55.000, $60.000, $52.000, $45.000, $74.000, $75.000, $48.000, $58.000, $72.000, $66.000, $45.000, $50.000, $54.000, $65.000, $71.000

Çözüm

Öncelikle verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Daha sonra ikinci çeyrekliğin (medyan) konumunu bulalım:

$$İkinci\ Çeyreklik(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{inci}\ öğe=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{inci}\ öğe=8^{inci}\ öğe=58.000$$

Şimdi, Q2'nin altındaki veri değerlerinin ortancasını bularak Q1'i hesaplayalım:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000

Birinci Çeyreklik (Q1) = 50.000$

Ardından, Q2'nin üstünde kalan veri değerlerinin ortancasını bularak Q3'ü hesaplayalım:

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Üçüncü Çeyreklik (Q3) = 71.000$

Elde ettiğimiz bu çeyreklik değerlerini şu şekilde yorumlayabiliriz:

Yeni mezun muhasebecilerin %25'i 50.000$'dan daha az kazanırken, en üstteki %25'lik kesim 71.000$'dan daha fazla kazanmaktadır. Muhasebecilerin %50'si 58.000$'dan fazla kazanırken, geriye kalan %50'si bu miktarın altında maaş almaktadır.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, veri sayısının tek olması durumunda çeyreklikler orijinal veri setindeki tam değerlere karşılık gelir. Ancak veri sayısı çift olduğunda durum değişir ve çeyreklikler doğrudan başlangıçtaki değerlere karşılık gelmeyebilir. Çift sayılı bir veri setinde çeyrekliklerin nasıl hesaplandığını görmek için örneğimizi değiştirelim.

Örnek 2

Örnek 1'deki veri setine bir maaş verisini daha eklemeyi unuttuğunuzu varsayalım. Bu eksik maaş verisi 95.000$ olsun. Başlangıç maaşları için güncellenmiş medyanı (Q2), alt çeyrekliği (Q1) ve üst çeyrekliği (Q3) bulunuz.

Çözüm

Yine öncelikle verileri artan sırayla düzenleyelim:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Daha sonra çeyrekliklerin konumunu bulalım:

$$İkinci\ Çeyreklik(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{inci}\ öğe=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{inci}\ öğe=8.5^{inci}\ öğe$$

$$İkinci\ Çeyreklik(Q2)=\frac{8^{inci}\ öğe+9^{inci}\ öğe}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Şimdi veri setini medyan noktasından ikiye bölelim. Q2'nin altında kalan veri değerlerinin ortancasını bularak Q1'i hesaplayalım:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000

Birinci Çeyreklik (Q1) = (50.000$ + 52.000$) / 2 = 51.000$

Son olarak, Q2'nin üstünde kalan veri değerlerinin ortancasını bularak Q3'ü hesaplayalım:

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Üçüncü Çeyreklik (Q3) = (71.000$ + 72.000$) / 2 = 71.500$

Çeyrekler Arası Fark (IQR)

Üst çeyreklik (Q3) ile alt çeyreklik (Q1) arasındaki farka, istatistikte çeyrekler arası fark (Interquartile Range - IQR) adı verilir.

• Çeyrekler Arası Fark (IQR) = Üst Çeyreklik - Alt Çeyreklik
• Çeyrekler Arası Fark (IQR) = Üçüncü Çeyreklik - Birinci Çeyreklik
• Çeyrekler Arası Fark (IQR) = Q3 - Q1

Çeyrekler arası fark hesaplanırken veri dizisinin en düşük %25'lik ve en yüksek %25'lik uç kısımları dışarıda bırakılır. Diğer bir deyişle IQR, veri dizisinin tam ortasında yer alan %50'lik merkez kısmın yayılımına (dağılımına) odaklanır. Çeyrekler arası fark, alt ve üst kısımdaki uç öğeleri sürece dahil etmediği için veri setindeki aşırı aykırı değerlerden (outliers) etkilenmez. Bu özellik, standart aralık (range) hesaplamasının en büyük dezavantajını ortadan kaldırır.

Örnek 3

Örnek 1'deki veri seti için çeyrekler arası farkı bulunuz.

Çözüm

Veri dizisi için çeyreklikleri zaten bulmuştuk:

• Birinci Çeyreklik (Q1) = 50.000$
• İkinci Çeyreklik (Q2) = 58.000$
• Üçüncü Çeyreklik (Q3) = 71.000$

Bu değerleri çeyrekler arası fark formülünde yerine koyalım:

Çeyrekler Arası Fark (IQR) = Üçüncü Çeyreklik (Q3) - Birinci Çeyreklik (Q1) = 71.000$ - 50.000$ = 21.000$

Örnek 4

Örnek 2'deki veri seti için çeyrekler arası farkı bulunuz.

Çözüm

Veri dizisi için çeyreklikleri daha önce hesaplamıştık:

• Birinci Çeyreklik (Q1) = 51.000$
• İkinci Çeyreklik (Q2) = 59.000$
• Üçüncü Çeyreklik (Q3) = 71.500$

Bu değerleri çeyrekler arası fark formülüne uygulayalım:

Çeyrekler Arası Fark (IQR) = Üçüncü Çeyreklik (Q3) - Birinci Çeyreklik (Q1) = 71.500$ - 51.000$ = 20.500$

Minimum ve Maksimum Değerler

Bir veri setindeki minimum değer, o serideki en küçük sayıdır. Veri setini küçükten büyüğe doğru sıraladığınızda karşınıza çıkan ilk değerdir.

Maksimum değer ise veri setindeki en büyük sayıdır. Verileri artan sıraya göre düzenlediğinizde dizinin en sonundaki değerdir.

Minimum ve maksimum değerler, veri setinin toplam yayılımını ve sınırlarını anlamanıza yardımcı olur. İstatistikte en temel yayılım ölçüsü olan veri aralığı (range), doğrudan bu iki değere dayanır.

Örnek 5

Örnek 1'deki yeni mezun muhasebecilerin başlangıç maaşları veri setinin minimum ve maksimum değerlerini bulunuz.

Çözüm

Veri setini artan sırayla aşağıdaki gibi sıralamıştık:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Minimum maaş, yukarıdaki sıralı dizinin ilk elemanıdır. Dolayısıyla:

Yeni mezun muhasebecilerin minimum başlangıç maaşı = 45.000$

Maksimum maaş, dizideki son elemandır. Dolayısıyla:

Yeni mezun muhasebecilerin maksimum başlangıç maaşı = 75.000$

Örnek 6

Örnek 2'deki yeni mezun muhasebecilerin başlangıç maaşları veri setinin minimum ve maksimum değerlerini bulunuz.

Çözüm

Veri setini artan sırayla aşağıdaki gibi sıralamıştık:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Minimum maaş, dizinin ilk elemanıdır. Buna göre:

Yeni mezun muhasebecilerin minimum başlangıç maaşı = 45.000$

Maksimum maaş ise dizideki son elemandır. Buna göre:

Yeni mezun muhasebecilerin maksimum başlangıç maaşı = 95.000$

Bir Veri Setinin Aralığı (Range)

İstatistikte aralık (range), bir veri setindeki yayılımın en basit ve temel ölçüsüdür. Veri setindeki en büyük değer (maksimum) ile en küçük değer (minimum) arasındaki fark alınarak hesaplanır.

Bir Veri Setinin Aralığı = Maksimum Değer - Minimum Değer

Bir Veri Setinin Aralığı = En Büyük Değer - En Küçük Değer

Aralık, bir veri setinin uç değerleri arasındaki toplam mesafeyi ve genişliği gösterir. Ancak oldukça yüzeysel bir yayılım ölçüsüdür.

Aralık hesaplaması yalnızca iki uç değere bağlı olduğundan, veri setinde aşırı büyük veya küçük bir aykırı değer (outlier) varsa sonuç kolayca çarpıtılabilir ve yanıltıcı olabilir.

Bu nedenle aralık, veri setindeki tüm değerleri hesaba katmadığı için tek başına güvenilir bir yayılım ölçüsü olarak kabul edilmez.

Örnek 7

Örnek 1'deki yeni mezun muhasebecilerin maaş veri setinin aralığını bulunuz.

Çözüm

Daha önceki adımlarda veri setinin minimum ve maksimum değerlerini bulmuştuk:

Minimum başlangıç maaşı = 45.000$

Maksimum başlangıç maaşı = 75.000$

Şimdi bu değerleri aralık formülünde yerine koyalım:

Bir Veri Setinin Aralığı = Maksimum Değer - Minimum Değer = 75.000$ - 45.000$ = 30.000$

Örnek 8

Örnek 2'deki yeni mezun muhasebecilerin maaş veri setinin aralığını bulunuz.

Çözüm

Aynı şekilde, minimum ve maksimum değerleri daha önce tespit etmiştik:

Minimum başlangıç maaşı = 45.000$

Maksimum başlangıç maaşı = 95.000$

Şimdi bu değerleri formüle uygulayalım:

Bir Veri Setinin Aralığı = Maksimum Değer - Minimum Değer = 95.000$ - 45.000$ = 50.000$

Gerçek Dünyada Çeyreklik Hesaplamalarının Uygulamaları

Çeyreklik hesaplamaları; bir veri setinin istatistiksel dağılımını analiz etmek ve yanıltıcı uç değerleri (aykırı değerleri) dışarıda bırakmak istediğimizde son derece faydalıdır. Aşağıda, çeşitli sektörlerde çeyrekliklerin karar alma süreçlerinde nasıl kullanıldığına dair örnekler bulabilirsiniz:

İnsan Kaynakları - Bir şirketteki mevcut pozisyonlar için maaş skalası belirlenirken öncelikle piyasadaki maaşların çeyreklikleri hesaplanır. Bu sayede, ücretsiz/düşük ücretli stajyer maaşları gibi aşırı düşük rakamlar ile özel deneyimlerden kaynaklanan aşırı yüksek maaşlar hesaplama dışında bırakılarak çok daha gerçekçi bir standart belirlenir.

Finans - Aylık ve yıllık harcamalar planlanırken, geçmiş harcama eğilimlerinin dağılımını anlamak için çeyreklik analizleri yapılır. Bu yöntem, bütçeyi gereksiz yere şişirmekten veya yetersiz bütçe ayırmaktan kaçınmaya yardımcı olur. Ayrıca üretim kapasitesi planlamasında; elektrik kesintileri, grevler veya malzeme eksikliği yaşanan olağandışı günlerin verileri dışarıda bırakılarak sağlıklı bir üretim kapasite aralığı tespit edilebilir.

Pazarlama ve Satış - Pazarlama uzmanları, rakip firmaların fiyatlandırma stratejilerini analiz ederken fiyat çeyrekliklerinden yararlanır. Böylece pazar analizi sırasında, çok düşük kaliteli muadil ürünlerin veya aşırı pahalı lüks markaların fiyatları filtrelenerek, ürünler için en uygun rekabetçi fiyatlandırma aralığı stratejik olarak belirlenebilir.