เครื่องคำนวณควอร์ไทล์

เครื่องคำนวณควอร์ไทล์ (Quartile Calculator) เป็นเครื่องมือทางสถิติที่มีประโยชน์อย่างมากเมื่อคุณต้องการหา ค่าสรุป 5 ประการ (Five-number summary) สำหรับใช้สร้างแผนภาพกล่องและหนวด (Box-and-whisker plot) เครื่องคำนวณสถิตินี้จะช่วยคุณคำนวณหา ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1), ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2 หรือค่ามัธยฐาน), ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3), ค่าต่ำสุด (Minimum) และค่าสูงสุด (Maximum) ของชุดข้อมูลที่กำหนดได้อย่างแม่นยำ นอกจากนี้ยังช่วยคำนวณช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile Range: IQR) และพิสัย (Range) ให้อีกด้วย

คุณเพียงแค่พิมพ์ หรือคัดลอกและวางข้อมูลของคุณลงไป จากนั้นคลิกปุ่ม “คำนวณ” (ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้คั่นตัวเลขแต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรือเว้นวรรค)

ควอร์ไทล์

ควอร์ไทล์ (Quartiles) เป็นหนึ่งในการวัดตำแหน่งที่ตั้งของข้อมูล (Measures of Position) ซึ่งช่วยอธิบายตำแหน่งของค่าใดค่าหนึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับค่าอื่นๆ ในชุดข้อมูลทั้งหมด

ควอร์ไทล์ใช้สำหรับแบ่งชุดข้อมูลที่เรียงลำดับจากน้อยไปหามากออกเป็น สี่ส่วนเท่าๆ กัน โดยแต่ละส่วนจะมีจำนวนข้อมูลเท่ากันเสมอ เราสามารถคำนวณค่าควอร์ไทล์ 3 ค่าสำหรับชุดข้อมูลหนึ่งๆ ได้ดังนี้:

• ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1 หรือควอร์ไทล์ล่าง)
• ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2 หรือค่ามัธยฐาน)
• ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3 หรือควอร์ไทล์บน)

ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) คือค่าที่แบ่งชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็น 25% ล่างและ 75% บน กล่าวคือ มีข้อมูล 25% ที่มีค่าน้อยกว่า Q1 และ 75% ที่มีค่ามากกว่า Q1 ซึ่งเทียบเท่ากับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 (25th Percentile) ของชุดข้อมูล

ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) คือค่าที่แบ่งชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็น 50% ล่างและ 50% บน ดังนั้นจะมีข้อมูล 50% ที่มีค่าน้อยกว่า Q2 และ 50% ที่มีค่ามากกว่า Q2 ควอร์ไทล์ที่ 2 นี้มีค่าเท่ากับ "ค่ามัธยฐาน" (Median) และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ของชุดข้อมูลพอดี

ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) คือค่าที่แบ่งชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็น 75% ล่างและ 25% บน กล่าวคือ มีข้อมูล 75% ที่มีค่าน้อยกว่า Q3 และ 25% ที่มีค่ามากกว่า Q3 ซึ่งเทียบเท่ากับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 (75th Percentile) ของชุดข้อมูล

การคำนวณควอร์ไทล์

คุณสามารถทำตามขั้นตอนง่ายๆ ด้านล่างนี้เพื่อหาค่าควอร์ไทล์:

• จัดเรียงข้อมูลตามลำดับจากน้อยไปหามาก
• หาค่ามัธยฐานของข้อมูลทั้งหมด ค่าที่ได้นี้คือ ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2)
• หาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่อยู่ ต่ำกว่า ควอร์ไทล์ที่ 2 ค่าที่ได้นี้คือ ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1)
• หาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่อยู่ สูงกว่า ควอร์ไทล์ที่ 2 ค่าที่ได้นี้คือ ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3)

ตัวอย่างที่ 1

ชุดข้อมูลต่อไปนี้แสดงถึงเงินเดือนเริ่มต้นของนักบัญชีจบใหม่ จงหาค่ามัธยฐาน (Q2), ควอร์ไทล์ล่าง (Q1) และควอร์ไทล์บน (Q3) ของเงินเดือนเริ่มต้น พร้อมตีความผลลัพธ์ที่ได้

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

วิธีทำ

ขั้นแรก เราจะต้องจัดเรียงข้อมูลตามลำดับจากน้อยไปหามาก:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

จากนั้น เราจะหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ 2 หรือค่ามัธยฐาน:

$$\text{ควอไทล์ที่สอง (Q2)} = \text{รายการที่ }\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th} = \text{รายการที่ }\left(\frac{15+1}{2}\right)^{th} = \text{รายการที่ }8^{th} = 58,000$$

ต่อมา ให้หาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่า Q2 เพื่อหาค่า Q1:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = $50,000

จากนั้น หาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่อยู่สูงกว่า Q2 เพื่อหาค่า Q3:

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) = $71,000

เราสามารถตีความค่าควอร์ไทล์ข้างต้นได้ดังนี้:

25% ของนักบัญชีจบใหม่มีรายได้น้อยกว่า $50,000 และมี 25% ที่มีรายได้มากกว่า $71,000 นอกจากนี้ 50% ของนักบัญชีจบใหม่มีรายได้มากกว่า $58,000 ในขณะที่อีก 50% มีรายได้น้อยกว่าค่าดังกล่าว

คุณจะเห็นว่าจากตัวอย่างแรก ซึ่งเป็นชุดข้อมูลที่มีจำนวนคี่ ค่าควอร์ไทล์จะตรงกับตัวเลขที่มีอยู่จริงในชุดข้อมูล อย่างไรก็ตาม สำหรับชุดข้อมูลที่มีจำนวนคู่ ค่าควอร์ไทล์อาจไม่ตรงกับตัวเลขใดๆ ในชุดข้อมูลเดิมเลย ลองมาดูตัวอย่างถัดไปเพื่อทำความเข้าใจเรื่องนี้กัน

ตัวอย่างที่ 2

สมมติว่าคุณพลาดการบันทึกข้อมูลเงินเดือนไปหนึ่งรายการในตัวอย่างที่ 1 โดยเงินเดือนที่คุณพลาดไปคือ $95,000 จงหาค่ามัธยฐาน (Q2), ควอร์ไทล์ล่าง (Q1) และควอร์ไทล์บน (Q3) ที่ถูกต้องของเงินเดือนเริ่มต้นชุดใหม่นี้

วิธีทำ

ขั้นแรก จัดเรียงข้อมูลตามลำดับจากน้อยไปหามาก:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

จากนั้น หาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ 2:

$$\text{ควอไทล์ที่สอง (Q2)} = \text{รายการที่ }\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th} = \text{รายการที่ }\left(\frac{16+1}{2}\right)^{th} = \text{รายการที่ }8.5^{th}$$

$$\text{ควอไทล์ที่สอง (Q2)} = \frac{\text{รายการที่ }8 + \text{รายการที่ }9}{2} = \frac{58,000 + 60,000}{2} = 59,000$$

ตอนนี้ให้แบ่งชุดข้อมูลออกเป็นสองกลุ่มเท่าๆ กัน (ครึ่งล่างและครึ่งบน) แล้วหาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่ต่ำกว่า Q2 เพื่อหา Q1:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = ($50,000 + $52,000)/2 = $51,000

จากนั้น หาค่ามัธยฐานของกลุ่มข้อมูลที่สูงกว่า Q2 เพื่อหา Q3:

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) = ($71,000 + $72,000)/2 = $71,500

ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile Range)

ความแตกต่างระหว่างควอร์ไทล์บน (Q3) และควอร์ไทล์ล่าง (Q1) เรียกว่า ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile Range หรือ IQR)

• ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) = ควอร์ไทล์บน - ควอร์ไทล์ล่าง
• ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) = ควอร์ไทล์ที่สาม - ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง
• ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) = Q3 - Q1

ช่วงระหว่างควอร์ไทล์จะทำการตัดข้อมูล 25% ที่ต่ำที่สุดและ 25% ที่สูงที่สุดของชุดข้อมูลออกไป กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ IQR จะมุ่งเน้นไปที่การกระจายตัวของ ข้อมูล 50% ตรงกลาง เท่านั้น เนื่องจากการวัดค่าแบบ IQR ได้ตัดข้อมูลส่วนหัวและส่วนท้ายออกไป จึงทำให้ค่าที่ได้ไม่ได้รับผลกระทบจาก ค่าสุดโต่ง (Outliers) ของชุดข้อมูล ซึ่งถือเป็นการแก้ไขข้อบกพร่องสำคัญของการหาค่าการกระจายตัวแบบการใช้พิสัย (Range) ปกติ

ตัวอย่างที่ 3

จงหาช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) สำหรับตัวอย่างที่ 1

วิธีทำ

เราได้คำนวณค่าควอร์ไทล์สำหรับชุดข้อมูลนี้ไว้แล้ว:

• ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = $50,000
• ควอร์ไทล์ที่สอง (Q2) = $58,000
• ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) = $71,000

นำข้อมูลดังกล่าวมาแทนค่าในสูตรช่วงระหว่างควอร์ไทล์:

ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) = ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) - ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = $71,000 - $50,000 = $21,000

ตัวอย่างที่ 4

จงหาช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) สำหรับตัวอย่างที่ 2

วิธีทำ

เราได้คำนวณค่าควอร์ไทล์สำหรับชุดข้อมูลนี้ไว้แล้ว:

• ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = $51,000
• ควอร์ไทล์ที่สอง (Q2) = $59,000
• ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) = $71,500

นำข้อมูลดังกล่าวมาแทนค่าในสูตรช่วงระหว่างควอร์ไทล์:

ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) = ควอร์ไทล์ที่สาม (Q3) - ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง (Q1) = $71,500 - $51,000 = $20,500

ค่าต่ำสุดและสูงสุด

ค่าต่ำสุด (Minimum) หมายถึงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดในชุดข้อมูล เมื่อคุณจัดเรียงชุดข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่านี้จะอยู่เป็นอันดับแรกสุด

ค่าสูงสุด (Maximum) หมายถึงข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดในชุดข้อมูล เมื่อคุณจัดเรียงชุดข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่านี้จะอยู่เป็นอันดับสุดท้าย

ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดจะช่วยให้เราเข้าใจภาพรวมของการกระจายตัวของข้อมูลได้ดียิ่งขึ้น นอกจากนี้ พิสัย (Range) ซึ่งเป็นการวัดการกระจายตัวขั้นพื้นฐาน ก็ต้องอาศัยค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดในการคำนวณด้วย

ตัวอย่างที่ 5

จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของชุดข้อมูลเงินเดือนเริ่มต้นของนักบัญชีจบใหม่ จากตัวอย่างที่ 1

วิธีทำ

เราได้จัดเรียงชุดข้อมูลตามลำดับจากน้อยไปหามากไว้แล้วดังนี้:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

เงินเดือนขั้นต่ำคือข้อมูลแรกสุดในชุดข้อมูล ดังนั้น:

เงินเดือนเริ่มต้นต่ำสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $45,000

เงินเดือนสูงสุดคือข้อมูลสุดท้ายในชุดข้อมูล ดังนั้น:

เงินเดือนเริ่มต้นสูงสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $75,000

ตัวอย่างที่ 6

จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของชุดข้อมูลเงินเดือนเริ่มต้นของนักบัญชีจบใหม่ จากตัวอย่างที่ 2

วิธีทำ

เราได้จัดเรียงชุดข้อมูลตามลำดับจากน้อยไปหามากไว้แล้วดังนี้:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

เงินเดือนขั้นต่ำคือข้อมูลแรกสุดในชุดข้อมูล ดังนั้น:

เงินเดือนเริ่มต้นต่ำสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $45,000

เงินเดือนสูงสุดคือข้อมูลสุดท้ายในชุดข้อมูล ดังนั้น:

เงินเดือนเริ่มต้นสูงสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $95,000

พิสัยของชุดข้อมูล (Range)

พิสัย (Range) ทางสถิติ คือการวัดการกระจายตัวของชุดข้อมูลที่พื้นฐานที่สุด คำนวณได้จากผลต่างระหว่างค่าที่มากที่สุด (สูงสุด) และค่าที่น้อยที่สุด (ต่ำสุด) ของชุดข้อมูล

พิสัยของชุดข้อมูล = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด

พิสัยของชุดข้อมูล = ค่ามากที่สุด - ค่าน้อยที่สุด

พิสัยคือระยะห่างทั้งหมด หรือความกว้างของการกระจายตัวระหว่างค่าขอบเขตทั้งสองด้านของชุดข้อมูล ถือเป็นการวัดการกระจายตัวแบบคร่าวๆ

เนื่องจากพิสัยถูกคำนวณจากข้อมูลสุดขั้วเพียงสองตัวเท่านั้น หากชุดข้อมูลนั้นมี ค่าสุดโต่ง (Outliers) ค่าพิสัยที่ได้ก็จะถูกบิดเบือนและเอนเอียงได้ง่ายมาก

ด้วยเหตุผลที่ว่าพิสัยไม่ได้นำข้อมูลทั้งหมดในชุดข้อมูลมาพิจารณา พิสัยจึงไม่ถือว่าเป็นการวัดการกระจายตัวที่ดีนักในทางสถิติเชิงลึก

ตัวอย่างที่ 7

จงหาพิสัยของชุดข้อมูลเงินเดือนเริ่มต้นของนักบัญชีจบใหม่ จากตัวอย่างที่ 1

วิธีทำ

ก่อนหน้านี้เราได้หาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของชุดข้อมูลนี้มาแล้ว:

เงินเดือนเริ่มต้นต่ำสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $45,000

เงินเดือนเริ่มต้นสูงสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $75,000

นำค่าข้างต้นมาแทนในสูตรหาพิสัย:

พิสัยของชุดข้อมูล = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด = $75,000 - $45,000 = $30,000

ตัวอย่างที่ 8

จงหาพิสัยของชุดข้อมูลเงินเดือนเริ่มต้นของนักบัญชีจบใหม่ จากตัวอย่างที่ 2

วิธีทำ

ก่อนหน้านี้เราได้หาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของชุดข้อมูลนี้มาแล้ว:

เงินเดือนเริ่มต้นต่ำสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $45,000

เงินเดือนเริ่มต้นสูงสุดของนักบัญชีจบใหม่ = $95,000

นำค่าข้างต้นมาแทนในสูตรหาพิสัย:

พิสัยของชุดข้อมูล = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด = $95,000 - $45,000 = $50,000

การประยุกต์ใช้การคำนวณควอร์ไทล์ในโลกแห่งความเป็นจริง

การหาค่าควอร์ไทล์มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเราต้องการตัดค่าสุดโต่ง (Outliers) ออกจากชุดข้อมูล เพื่อตรวจสอบการกระจายตัวที่แท้จริง ด้านล่างนี้คือตัวอย่างสายงานต่างๆ ที่นำควอร์ไทล์ไปประยุกต์ใช้ในการตัดสินใจ:

ทรัพยากรบุคคล (HR): ควอร์ไทล์ของเงินเดือนในตลาดมักถูกนำมาคำนวณก่อนที่บริษัทจะกำหนดโครงสร้างกระบอกเงินเดือนของพนักงาน วิธีนี้ช่วยตัดข้อมูลเงินเดือนที่ต่ำมากๆ (เช่น เงินเดือนนักศึกษาฝึกงาน) หรือเงินเดือนที่สูงแบบก้าวกระโดด (ซึ่งมาจากประสบการณ์หรือความสามารถพิเศษเฉพาะบุคคล) ออกไป ทำให้ได้ฐานเงินเดือนที่เป็นมาตรฐาน

การเงิน (Finance): เมื่อวางแผนค่าใช้จ่ายรายเดือน การคำนวณควอร์ไทล์จากประวัติค่าใช้จ่ายในอดีต จะช่วยให้เห็นภาพรวมการกระจายตัวของพฤติกรรมการใช้จ่าย ซึ่งช่วยป้องกันปัญหาการตั้งงบประมาณที่สูงเกินไปหรือต่ำเกินความเป็นจริง

การปฏิบัติการและการผลิต (Operations): การใช้ควอร์ไทล์ช่วยประเมินขีดความสามารถในการผลิตได้อย่างแม่นยำ โดยไม่ถูกบิดเบือนจากปัจจัยแทรกซ้อน เช่น ไฟดับ, เครื่องจักรหยุดทำงาน, หรือปัญหาขาดแคลนวัตถุดิบ

การตลาด (Marketing): เมื่อนักการตลาดต้องการวิเคราะห์ช่วงราคาสินค้าของคู่แข่ง พวกเขาจะใช้ควอร์ไทล์เพื่อหาเกณฑ์ราคามาตรฐาน วิธีนี้ช่วยให้พวกเขาสามารถตัดกลุ่มสินค้าราคาถูกที่ด้อยคุณภาพ หรือสินค้าแบรนด์เนมราคาสูงลิ่ว ออกจากการวิเคราะห์ ทำให้ได้ข้อมูลเชิงลึกด้านราคาที่แข่งขันได้จริง