प्रोबब्लिटी कैलकुलेटर

दो इवेंट्स की संभावना का कैलक्यूलेटर

जब आप दो स्वतंत्र इवेंट्स की संभावना को जानते हैं, तो आप एक साथ होने की संभावना को निर्धारित करने के लिए दो इवेंट्स की संभावना कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। कैलकुलेटर में, आपको दो स्वतंत्र इवेंट्स की संभावनाओं को ए और बी के रूप में दर्ज करना होगा। कैलकुलेटर तब दो स्वतंत्र इवेंट्स के साथ-साथ वेन आरेखों के संघ, चौराहे और अन्य संबंधित संभावनाओं को प्रदर्शित करेगा।

दो इवेंट्स के लिए प्रोबब्लिटी सॉल्वर

यदि आप दो ईवेंट कैलकुलेटर के लिए प्रायिकता सॉल्वर के किन्हीं दो इनपुट मानों को जानते हैं, तो आप दो स्वतंत्र ईवेंट की विभिन्न इवेंट्स की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं। यह महत्वपूर्ण है जब आपके पास दो इवेंट्स की एक या दोनों संभावनाएं नहीं हैं। परिणाम गणना चरणों के साथ उत्तर दिखाएंगे।

स्वतंत्र इवेंट्स की एक श्रृंखला की संभावना

आप स्वतंत्र ईवेंट कैलकुलेटर की एक श्रृंखला की प्रायिकता का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि प्रत्येक प्रयोग में एक के बाद एक होने वाली दो स्वतंत्र घटनाएं कब हों। इस कैलकुलेटर में, आपको घटना के घटित होने की संख्या निर्धारित करनी होगी।

सामान्य वितरण की संभावना

सामान्य वितरण संभाव्यता कैलकुलेटर सामान्य वक्र की संभावना का निर्धारण करते समय सहायक होता है। आपको मिन μ, स्टैण्डर्ड डेविएशन σ, और सीमाएं सम्मिलित करनी होंगी। सामान्य संभाव्यता कैलकुलेटर निर्धारित सीमाओं की संभावना और आत्मविश्वास के स्तर की एक श्रृंखला के लिए आत्मविश्वास अंतराल उत्पन्न करेगा।

संभाव्यता का परिचय

संभावना है कि एक घटना घटित होगी। जब कोई घटना निर्विवाद रूप से होने वाली होती है, तो इसकी संभाव्यता 1 होती है। जब कोई घटना नहीं होने वाली होती है, तो इसकी संभाव्यता 0 होती है। परिणामस्वरूप, किसी घटना की संभाव्यता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है। संभाव्यता कैलकुलेटर के लिए संभावनाओं की गणना करता है विभिन्न घटनाएं अविश्वसनीय रूप से सरल।

घटना संचालन के नियम

एक घटना एक प्रयोग के परिणामों का कोई समूह है। यह एक प्रकार की घटना है जो प्रतिदर्श समष्टि के किसी भी उपसमुच्चय में घटित हो सकती है। पूरक, प्रतिच्छेदन और संघ घटना संचालन के नियम हैं। आइए नीचे दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इनमें से प्रत्येक नियम को देखें।

उदाहरण

आपके कॉलेज में व्यवसाय के लिए एक सहित कई फैकल्टी हैं। इस कॉलेज में अंतरराष्ट्रीय छात्र भी नामांकित हैं। अपनी परियोजना के हिस्से के रूप में, आपको अपने कॉलेज के छात्रों के साथ इंटरव्यू आयोजित करने होंगे। आप गेट में प्रवेश करने वाले पहले छात्र के साथ शुरुआत करने का निर्णय लेते हैं। निम्नलिखित संभावनाएं आपको ज्ञात हैं। मान लो की

A = पहला छात्र बिजनेस फैकल्टी से है।

B = पहला छात्र एक अंतरराष्ट्रीय छात्र है।

P (A) = 0.6

P (B) = 0.3

एक घटना का पूरक

एक घटना का पूरक एक नमूना स्थान में सभी परिणामों का समूह है जो उस घटना में शामिल नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, घटना ए के पूरक का मतलब है कि पहला छात्र व्यावसायिक फैकल्टी के अलावा कहीं और से है। इसे \$A\prime\$ या Aᶜ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

आइए एक वेन डायग्राम में घटना A के पूरक को दिखाएं।

उपरोक्त वेन डायग्राम में, रंगीन क्षेत्र घटना A के पूरक का प्रतिनिधित्व करता है।

आयत का कुल क्षेत्रफल नमूना स्थान की समग्र संभावना का प्रतिनिधित्व करता है। यह ठीक एक है। वृत्त A के बाहर का स्थान घटना A के पूरक की संभावना को दर्शाता है। वेन डायग्राम हमें निम्नलिखित संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

इसलिए,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

आइए निम्नलिखित संभावनाएं खोजें।

इंटरव्यू के लिए आप जिस पहले छात्र का चयन कर रहे हैं, उसकी संभावना व्यावसायिक फैकल्टी से नहीं है:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

इंटरव्यू के लिए आपके द्वारा चुने गए पहले छात्र की संभावना एक अंतरराष्ट्रीय छात्र नहीं है:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

इवेंट्स का प्रतिच्छेदन

दो इवेंट्स A और B का प्रतिच्छेदन दोनों इवेंट्स A और B में सभी सामान्य तत्वों की सूची है। "और" शब्द का प्रयोग अक्सर दो सेटों के प्रतिच्छेदन को इंगित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण 1 में ईवेंट A और ईवेंट B के प्रतिच्छेदन का अर्थ है एक अंतर्राष्ट्रीय छात्र का चयन करना, और छात्र व्यावसायिक फैकल्टी से है। इसे इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है:

$$A\cap B$$

आइए एक वेन डायग्राम में इवेंट्स A और B के प्रतिच्छेदन को दिखाएं।

उपरोक्त वेन डायग्राम में, रंगीन क्षेत्र A और B इवेंट्स के प्रतिच्छेदन का प्रतिनिधित्व करता है।

मान लें कि इंटरव्यू के लिए स्थानीय छात्र के चयन की घटना C है। अब, हम वेन डायग्राम में ईवेंट A और C दिखाएंगे।

एक अंतरराष्ट्रीय छात्र और एक स्थानीय छात्र का चयन एक साथ नहीं किया जा सकता है। मान लीजिए कि आपके द्वारा चुना गया पहला छात्र एक अंतरराष्ट्रीय छात्र है। उस स्थिति में, यह पहले छात्र के स्थानीय छात्र होने की घटना को बाहर करता है। इसलिए, ईवेंट A और C परस्पर अनन्य ईवेंट हैं।

परस्पर अनन्य इवेंट्स में उनके बीच कोई सामान्य तत्व नहीं होते हैं। इसलिए, दो परस्पर अपवर्जी इवेंट्स का प्रतिच्छेदन रिक्त होता है।

$$A\cap C=φ$$

इवेंट्स के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। ईवेंट A और B को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

स्वतंत्र इवेंट्स

स्वतंत्र इवेंट्स ऐसी इवेंट्स हैं जो एक दूसरे को प्रभावित नहीं करती हैं। हमारे उदाहरण में, व्यावसायिक फैकल्टी से किसी छात्र का चयन करने से अंतर्राष्ट्रीय छात्र के चयन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है या नहीं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि घटना A और घटना B दो स्वतंत्र इवेंट्स हैं।

जब इवेंट्स स्वतंत्र होती हैं, तो उनमें से किसी एक के घटित होने की संभाव्यता दूसरे की घटना पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए,

$$P(B/A)=B \ and \ P(A/B)=A$$

आप इन सूत्रों का उपयोग उस सूत्र को संशोधित करने के लिए कर सकते हैं जिसे हमने पहले दो प्रतिच्छेदन इवेंट्स की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए सीखा था।

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

इसलिए, आप उन दो इवेंट्स की संभावना को गुणा करके दो निर्दलीय लोगों के प्रतिच्छेदन का पता लगा सकते हैं।

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

यह देखते हुए कि इवेंट्स A और B स्वतंत्र हैं, आइए इस संभाव्यता का निर्धारण करें कि इंटरव्यू के लिए आपके द्वारा चुना गया पहला छात्र व्यावसायिक फैकल्टी से होगा और एक अंतर्राष्ट्रीय छात्र होगा।

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

इवेंट्स का मिलान

दो इवेंट्स का मिलन एक और घटना उत्पन्न करता है जिसमें या तो या दोनों इवेंट्स के सभी तत्व शामिल होते हैं। शब्द "या" आमतौर पर दो इवेंट्स के मिलन का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण 1 में, इवेंट्स के संघ A और B का अर्थ है एक अंतरराष्ट्रीय छात्र या व्यावसायिक फैकल्टी से एक छात्र का चयन करना। इसे इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

$$A\cup B$$

आइए एक वेन डायग्राम में इवेंट्स का संघ A और B दिखाते हैं।

उपरोक्त वेन डायग्राम रंगीन क्षेत्र A और B इवेंट्स के मिलन का प्रतिनिधित्व करता है।

इवेंट A या इवेंट B की संभावना की गणना करने के लिए, हमें दोनों इवेंट्स की संभावनाओं को जोड़ना होगा और प्रतिच्छेदन की संभावना को घटाना होगा।

इवेंट्स A और B के मिलन की संभाव्यता को निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

हम उपरोक्त सूत्र को संशोधित कर सकते हैं और दो स्वतंत्र इवेंट्स के मिलन की संभावना को खोजने के लिए एक नया सूत्र बना सकते हैं, जब दो इवेंट्स के प्रतिच्छेदन की संभावना अज्ञात है और दो घटनाएं स्वतंत्र हैं।

यदि इवेंट्स स्वतंत्र हैं,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

इसलिए,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

आइए गणना करें कि इवेंट्स A और B के संयोजन की संभावना क्या होगी, अर्थात, हम किस संभावना के साथ एक ऐसे छात्र को चुनेंगे जो एक व्यवसाय प्रमुख, एक अंतर्राष्ट्रीय छात्र, या दोनों एक ही समय में हो?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

दो इवेंट कैलकुलेटर की संभावना या दो इवेंट कैलकुलेटर के लिए प्रोबेबिलिटी सॉल्वर के लिए धन्यवाद, आप उपरोक्त सभी गणनाओं को जल्दी से पूरा कर सकते हैं। आप दो ईवेंट कैलकुलेटर के लिए संभाव्यता सॉल्वर का उपयोग कर सकते हैं, भले ही आप अपने संभाव्यता गणना चरणों की जांच करना चाहें क्योंकि यह गणना के चरणों को भी प्रदर्शित करता है।

सामान्य वितरण

सामान्य वितरण सममित है और इसमें घंटी के आकार का है। एक सामान्य वितरण में एक समान मिन, माध्यिका और बहुलक के साथ-साथ मिन से ऊपर 50% डेटा और मिन से 50% नीचे होता है। सामान्य वितरण वक्र दोनों दिशाओं में मिन से दूर जाता है लेकिन X-अक्ष को कभी नहीं छूता है। वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 है।

यदि यादृच्छिक चर X का पैरामीटर μ और σ2 के साथ एक सामान्य वितरण है, तो हम X ~ N(μ, σ²) लिखते हैं।

सामान्य वितरण की संभावना

एक सामान्य वितरण का संभाव्यता घनत्व फलन नीचे दर्शाया गया है:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

इस समारोह में:

• μ वितरण का मिन है;
• σ² वितरण का वेरियंस है;
• π 3.14 है;
• e 2.7182 है।

मिन और स्टैण्डर्ड डेविएशन के प्रत्येक संयोजन के लिए एक संभाव्यता तालिका प्रदान करना असंभव है क्योंकि विभिन्न सामान्य वक्रों की अनंत संख्या होती है। परिणामस्वरूप मानक सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है। 0 के मिन के साथ सामान्य वितरण और 1 के स्टैण्डर्ड डेविएशन को मानक सामान्य वितरण कहा जाता है।

एक सामान्य वितरण की संभावना की गणना करने के लिए, हमें पहले वास्तविक वितरण को z- स्कोर का उपयोग करके एक मानक सामान्य वितरण में बदलना होगा और फिर संभाव्यता की गणना के लिए z- तालिका का उपयोग करना होगा। सामान्य संभाव्यता कैलकुलेटर विभिन्न आत्मविश्वास स्तरों के लिए संभावनाओं की पेशकश करके एक मानक सामान्य संभाव्यता कैलकुलेटर के रूप में कार्य करता है।

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

मानक सामान्य वितरण वक्र का उपयोग वास्तविक दुनिया की विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। निरंतर चर की संभावना निर्धारित करने के लिए, सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है। एक सतत चर एक चर है जो किसी भी संख्या को मान सकता है, यहां तक कि एक दशमलव भी। निरंतर चर के कुछ उदाहरण ऊंचाई, वजन और तापमान हैं।

आइए नीचे दिए गए उदाहरण का उपयोग करके सामान्य बंटन की संभाव्यता ज्ञात करना सीखें।

उदाहरण

आपके बैच के स्टेटिस्टिक्स पाठ्यक्रम के परिणाम सामान्य रूप से 65 के मिन और 10 के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ वितरित किए जाते हैं। यदि कोई छात्र यादृच्छिक रूप से चुना जाता है तो निम्नलिखित परिदृश्यों की संभावना निर्धारित करें:

• छात्र का स्कोर 70 के बराबर या उससे ऊपर है,
• छात्र का स्कोर 70 से कम है,
• छात्र का स्कोर 50 से 70 के बीच है।

समाधान

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

एक सामान्य वक्र की संभाव्यता की गणना में कई चरण शामिल हैं और इसके लिए z-तालिकाओं का उपयोग करना आवश्यक है। दूसरी ओर, सामान्य वितरण संभाव्यता कैलकुलेटर आपको कैलकुलेटर में केवल चार नंबर दर्ज करके संभाव्यता की गणना करने में मदद करता है। सामान्य वितरण कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, आपको केवल मिन, स्टैण्डर्ड डेविएशन और बाएँ और दाएँ सीमाएँ दर्ज करनी होंगी।