Z-स्कोर कैलकुलेटर

Z-स्कोर कैलकुलेटर (Z-Score Calculator) का उपयोग Z-स्कोर से संबंधित किसी भी प्रकार की सांख्यिकीय गणना के लिए किया जा सकता है। आप पहले कैलकुलेटर में रॉ स्कोर (X), जनसंख्या माध्य (Population Mean - μ), और मानक विचलन (Standard Deviation - σ) दर्ज कर सकते हैं। इससे आप उस रॉ स्कोर के लिए स्टेप्स और संबंधित संभावनाओं (probabilities) के साथ Z-स्कोर की सटीक गणना कर सकते हैं।

Z-स्कोर और प्रोबेबिलिटी कन्वर्टर आपको Z-टेबल (Z-Table) को मैन्युअली देखे बिना ही Z-स्कोर और संभावनाओं के बीच आसानी से कन्वर्ट करने में मदद करता है। इसके परिणामों में उस सिंगल Z-स्कोर से जुड़ी सभी संभावित प्रोबेबिलिटी गणनाएं शामिल होती हैं। 2 Z-स्कोर के बीच की संभावना खोजने के लिए आप हमारे अंतिम कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

Z-स्कोर क्या है?

Z-स्कोर (Z-Score) एक सांख्यिकीय माप (statistical measurement) है जो यह दर्शाता है कि कोई डेटा पॉइंट, संपूर्ण डेटासेट के माध्य (mean) से कितने मानक विचलन (standard deviations) दूर है। Z-स्कोर का उपयोग किसी सिंगल डेटा पॉइंट की तुलना पूरे डेटासेट से करने के लिए किया जाता है। यह डेटा को मानकीकृत (standardize) करने में मदद करता है ताकि उसकी तुलना और विश्लेषण करना आसान हो सके।

Z-स्कोर हमें यह निर्धारित करने में मदद करता है कि संपूर्ण डेटासेट की तुलना में कोई विशिष्ट डेटा पॉइंट कितना "सामान्य" (typical) या "असामान्य" (atypical) है।

• आउटलायर्स (Outliers) का पता लगाना: Z-स्कोर हमें यह पहचानने में मदद करता है कि कौन से डेटा पॉइंट बाकी डेटा से बहुत अलग हैं। यह वित्त (finance) और चिकित्सा अनुसंधान जैसे क्षेत्रों में बेहद मददगार है, जहां आउटलायर्स महत्वपूर्ण पैटर्न या विसंगतियों को उजागर कर सकते हैं।
• विभिन्न सेटों के डेटा की तुलना करना: Z-स्कोर की मदद से हम अलग-अलग डेटा सेटों की तुलना कर सकते हैं, भले ही उनकी इकाइयां (units) या श्रेणियां अलग-अलग हों। मशीन लर्निंग जैसे क्षेत्रों में यह बहुत उपयोगी है, जहाँ मॉडल बनाने के लिए विभिन्न स्रोतों से डेटा की तुलना करनी पड़ती है।
• डेटा को नॉर्मलाइज़ (Normalize) करना: डेटा को Z-स्कोर में बदलकर, हम उसे मानकीकृत कर सकते हैं, जिससे विश्लेषण और तुलना करना बहुत आसान हो जाता है। डेटा विज़ुअलाइज़ेशन में इसकी अहम भूमिका है, जहाँ डेटा को ऐसे तरीके से प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है जिसे समझना आसान हो।

Z-स्कोर फॉर्मूला

जनसंख्या के लिए Z स्कोर

Z = (रॉ स्कोर - जनसंख्या माध्य) / जनसंख्या मानक विचलन

Z = (X - μ) / σ

सैंपल के लिए Z स्कोर

Z = (रॉ स्कोर - सैंपल माध्य) / सैंपल मानक विचलन

Z = (X - x̄) / s

प्राप्त Z-स्कोर के परिणामों की व्याख्या

पॉजिटिव Z-स्कोर (Positive Z-score): पॉजिटिव Z-स्कोर का अर्थ है कि आपका डेटा पॉइंट डेटासेट के औसत (mean) मान से ऊपर है। दूसरे शब्दों में, आपका देखा गया डेटा पॉइंट डेटासेट के सामान्य मान से अधिक है।

नेगेटिव Z-स्कोर (Negative Z-score): नेगेटिव Z-स्कोर का अर्थ है कि आपका डेटा पॉइंट डेटासेट के औसत मान से कम है। अर्थात, आपका डेटा पॉइंट डेटासेट के सामान्य मान से नीचे है।

Z-स्कोर का मान: Z-स्कोर आपको बताता है कि आपका डेटा पॉइंट औसत से कितनी दूर है। Z-स्कोर का मान जितना बड़ा होगा, आपका डेटा पॉइंट औसत मान से उतना ही अधिक दूर होगा।

Z-स्कोर और मानक विचलन (Standard Deviation)

Z-स्कोर और मानक विचलन आपस में गहराई से जुड़े हैं क्योंकि Z-स्कोर की गणना के लिए मानक विचलन का ही उपयोग किया जाता है। वास्तव में, मानक विचलन Z-स्कोर फॉर्मूले का एक मुख्य घटक है।

मानक विचलन किसी डेटा सेट के फैलाव (spread) का एक माप है। यह दर्शाता है कि प्रत्येक डेटा पॉइंट डेटा सेट के औसत (mean) मूल्य से कितनी दूर है। मानक विचलन जितना अधिक होगा, डेटा का फैलाव उतना ही ज्यादा होगा।

दूसरी ओर, Z-स्कोर आपको यह बताता है कि कोई विशिष्ट डेटा पॉइंट, मानक विचलन के सापेक्ष डेटा सेट के माध्य से कितनी दूर है। Z-स्कोर की गणना में मानक विचलन का उपयोग करके, आप किसी एक डेटा पॉइंट की तुलना पूरे डेटा सेट से कर सकते हैं और यह जान सकते हैं कि वह कितना असामान्य या सामान्य है।

Z-स्कोर और सामान्य वितरण (Normal Distribution)

सामान्य वितरण (Normal Distribution) एक प्रकार का वितरण है जो वास्तविक दुनिया की कई स्थितियों में आम तौर पर देखा जाता है। यह एक घंटी के आकार (bell curve) का होता है, और यह दर्शाता है कि किसी डेटा सेट में डेटा किस प्रकार फैला हुआ है। सामान्य वितरण को गॉसियन वितरण (Gaussian distribution) भी कहा जाता है, जिसका नाम महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।

Z-स्कोर यह मापने का एक तरीका है कि कोई डेटा पॉइंट, मानक विचलन के संदर्भ में डेटा सेट के माध्य से कितनी दूर है। प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर में बदलकर, आप उसकी तुलना पूरे डेटा सेट से कर सकते हैं और उसकी विशिष्टता का पता लगा सकते हैं।

Z-स्कोर और सामान्य वितरण के बीच मुख्य संबंध यह है कि Z-स्कोर का उपयोग डेटा को मानकीकृत (standardize) करने और उसे सामान्य वितरण में फिट करने के लिए किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि आप प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर देकर किसी भी डेटा सेट को एक मानक सामान्य वितरण (Standard Normal Distribution) में बदल सकते हैं। यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि कई सांख्यिकीय विधियाँ (statistical methods) यह मानकर चलती हैं कि डेटा सामान्य रूप से वितरित है। डेटा को सामान्य वितरण में बदलने से आपको इन सांख्यिकीय विधियों का अधिक सटीक उपयोग करने में मदद मिलती है।

डेटा पॉइंट्स की तुलना

Z-स्कोर आपको यह समझने में मदद कर सकता है कि कोई डेटा पॉइंट, मानक विचलन के सापेक्ष डेटा सेट के माध्य से कितनी दूरी पर है।

डेटा पॉइंट्स की तुलना करने के लिए Z-स्कोर के उपयोग का एक बेहतरीन उदाहरण वित्त (Finance) के क्षेत्र में देखने को मिलता है। मान लीजिए कि आपने दो अलग-अलग स्टॉक पोर्टफोलियो में निवेश किया है और आप उनके प्रदर्शन की तुलना करना चाहते हैं। पोर्टफोलियो A का औसत रिटर्न 10% है और इसका मानक विचलन 2% है। वहीं, पोर्टफोलियो B का औसत रिटर्न 8% है और मानक विचलन 3% है। इन रिटर्न्स को Z-स्कोर में बदलकर, आप आसानी से दोनों पोर्टफोलियो के प्रदर्शन की तुलना कर सकते हैं और यह तय कर सकते हैं कि कौन सा बेहतर प्रदर्शन कर रहा है।

Z-स्कोर का उपयोग खेल (Sports) जगत में भी डेटा पॉइंट्स की तुलना के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप दो बास्केटबॉल खिलाड़ियों, खिलाड़ी A और खिलाड़ी B के प्रदर्शन की तुलना करना चाहते हैं। खिलाड़ी A प्रति गेम औसतन 20 अंक प्राप्त करता है और इसका मानक विचलन 5 अंक है। वहीं, खिलाड़ी B प्रति गेम औसतन 18 अंक प्राप्त करता है और इसका मानक विचलन 3 अंक है। इन स्कोर्स को Z-स्कोर में परिवर्तित करके, आप दोनों खिलाड़ियों के प्रदर्शन का सटीक विश्लेषण कर सकते हैं और जान सकते हैं कि कौन बेहतर खेल रहा है।

डेटा सामान्यीकरण (Data Normalization)

डेटा सामान्यीकरण (Data Normalization) डेटा को एक मानक पैमाने पर लाने की प्रक्रिया है ताकि उसकी आसानी से तुलना और विश्लेषण किया जा सके। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि विभिन्न डेटा के आकार और पैमाने अलग-अलग हो सकते हैं। डेटा को सामान्य बनाने से यह सुनिश्चित होता है कि सब कुछ एक ही पैमाने पर है, जिससे विसंगतियाँ दूर होती हैं।

प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर में बदलकर, आप डेटा को मानकीकृत कर सकते हैं और सभी को एक समान पैमाने पर रख सकते हैं। ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि Z-स्कोर हमेशा एक मानक पैमाने पर आधारित होता है, जहाँ माध्य (mean) 0 होता है और मानक विचलन 1 होता है।

उदाहरण के लिए, मनोविज्ञान (Psychology) के क्षेत्र में डेटा को नॉर्मलाइज़ करने के लिए Z-स्कोर का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि आप दो आईक्यू (IQ) टेस्ट, टेस्ट A और टेस्ट B के परिणामों की तुलना करना चाहते हैं। टेस्ट A का औसत स्कोर 100 और मानक विचलन 15 है, जबकि टेस्ट B का औसत स्कोर 110 और मानक विचलन 10 है। इन स्कोर्स को Z-स्कोर में बदलकर, उन्हें एक ही पैमाने पर मानकीकृत किया जा सकता है, जिससे दोनों की तुलना करना बहुत आसान हो जाता है।

शिक्षा (Education) के क्षेत्र में भी Z-स्कोर का व्यापक उपयोग होता है। उदाहरण के लिए, आप देखना चाहते हैं कि छात्र A और छात्र B ने स्कूल में कैसा प्रदर्शन किया। छात्र A का औसत ग्रेड 80 और मानक विचलन 5 है, जबकि छात्र B का औसत ग्रेड 90 और मानक विचलन 3 है। इनके ग्रेड्स को Z-स्कोर में बदलकर, आप उन्हें एक समान पैमाने पर ला सकते हैं और उनके वास्तविक प्रदर्शन की निष्पक्ष तुलना कर सकते हैं।

परिकल्पना परीक्षण (Hypothesis Testing)

परिकल्पना परीक्षण (Hypothesis Testing) एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या शून्य परिकल्पना (Null Hypothesis) को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त साक्ष्य मौजूद हैं। शून्य परिकल्पना यह मानक धारणा है कि दो चरों (variables) के बीच कोई संबंध नहीं है। यह चिकित्सा अनुसंधान, सामाजिक विज्ञान और व्यापार जैसे कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, जहाँ डेटा के आधार पर सटीक निर्णय लेना आवश्यक होता है।

परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, Z-स्कोर का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि किसी विशिष्ट परिणाम के आने की कितनी संभावना है। उदाहरण के लिए, आप यह जांच सकते हैं कि लोगों के एक समूह का औसत वजन, पूरी आबादी के औसत वजन से अलग है या नहीं। Z-स्कोर की मदद से यह पता लगाया जा सकता है कि यह अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण (statistically significant) है या नहीं।

चिकित्सा (Medical) के क्षेत्र में परिकल्पना परीक्षण के लिए Z-स्कोर का उपयोग आम है। उदाहरण के लिए, आप यह जाँचना चाह सकते हैं कि क्या कोई नई दवा किसी बीमारी के लक्षणों को कम करने में प्रभावी है। आप Z-स्कोर का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि दवा लेने वाले समूह और नियंत्रण (control) समूह के बीच लक्षणों में आया अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं।

वित्त (Finance) के क्षेत्र में भी इसका उपयोग होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप यह परीक्षण करना चाहते हैं कि क्या किसी विशेष स्टॉक का रिटर्न बाजार के औसत स्टॉक रिटर्न से अधिक है, तो आप Z-स्कोर का उपयोग करके जान सकते हैं कि रिटर्न का यह अंतर सांख्यिकीय रूप से कितना महत्वपूर्ण है।

फीचर स्केलिंग (Feature Scaling)

फीचर स्केलिंग (Feature Scaling) यह सुनिश्चित करने की एक तकनीक है कि डेटासेट में मौजूद सभी फीचर्स का पैमाना (scale) समान हो। इसका उपयोग मशीन लर्निंग (Machine Learning) और अन्य डेटा विश्लेषण अनुप्रयोगों में प्रमुखता से किया जाता है। यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि कई मशीन लर्निंग एल्गोरिदम डेटा के आकार और पैमाने के प्रति संवेदनशील होते हैं। यदि पैमाना समान नहीं है, तो वे गलत या भ्रामक परिणाम दे सकते हैं।

फीचर्स को स्केल करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका Z-स्कोर नॉर्मलाइजेशन (Z-score Normalization) है, जिसे मानकीकरण (Standardization) भी कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक फीचर को इस तरह से बदला जाता है कि उसका औसत मान 0 हो जाए और उसका मानक विचलन 1 हो जाए। किसी फीचर के Z-स्कोर की गणना करने का फॉर्मूला इस प्रकार है:

Z = (X - माध्य) / मानक विचलन

जहाँ X फीचर का मान है, माध्य उस फीचर का औसत है, और मानक विचलन उस फीचर का फैलाव है।

कंप्यूटर विज़न (Computer Vision) के क्षेत्र में Z-स्कोर फीचर स्केलिंग का एक बेहतरीन व्यावहारिक उदाहरण देखने को मिलता है। इमेज डेटा के साथ काम करते समय, आमतौर पर पिक्सेल वैल्यूज़ को स्केल करना आवश्यक होता है ताकि वे 0 से 1 की सीमा में आ जाएँ। इसे Z-स्कोर नॉर्मलाइजेशन का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, जिससे प्रत्येक पिक्सेल मान का माध्य 0 और मानक विचलन 1 हो जाता है।

प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण (Natural Language Processing - NLP) में भी इसका उपयोग होता है। टेक्स्ट डेटा के साथ काम करते समय, टर्म फ़्रीक्वेंसी-इनवर्स डॉक्यूमेंट फ़्रीक्वेंसी (TF-IDF) वैल्यूज़ को 0 से 1 की रेंज में स्केल करने के लिए Z-स्कोर नॉर्मलाइजेशन का इस्तेमाल किया जाता है।

प्रिडिक्टिव मॉडलिंग (Predictive Modeling)

प्रिडिक्टिव मॉडलिंग (Predictive Modeling) ऐतिहासिक डेटा के आधार पर भविष्यवाणियां करने की एक तकनीक है। इसका उपयोग मशीन लर्निंग और अन्य डेटा एनालिटिक्स अनुप्रयोगों में किया जाता है। इसमें डेटा के एक सेट पर एक मॉडल को प्रशिक्षित (train) किया जाता है, और फिर उस मॉडल का उपयोग नए, अनदेखे डेटा पर भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।

मॉडल को प्रशिक्षित करने के लिए डेटासेट से सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं (features) को चुनना प्रिडिक्टिव मॉडलिंग का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसे फीचर चयन (Feature Selection) कहा जाता है। अक्सर, उन फीचर्स को चुना जाता है जिनका लक्ष्य चर (target variable) के साथ उच्च सहसंबंध (correlation) होता है क्योंकि वे लक्ष्य चर की सटीक भविष्यवाणी करने में अधिक सक्षम होते हैं।

Z-स्कोर का उपयोग उन फीचर्स की पहचान करने के लिए किया जा सकता है जो लक्ष्य चर के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध हैं। एक उच्च Z-स्कोर वाले फीचर्स द्वारा लक्ष्य चर की भविष्यवाणी करने की संभावना अधिक होती है। किसी फीचर के Z-स्कोर की गणना का फॉर्मूला इस प्रकार है:

Z = (X - माध्य) / मानक विचलन

जहाँ X फीचर का मान है, माध्य उस फीचर का औसत है, और मानक विचलन उस फीचर का फैलाव है।

प्रिडिक्टिव मॉडलिंग में Z-स्कोर के उपयोग का एक व्यावहारिक उदाहरण वित्त क्षेत्र में है। स्टॉक की कीमतों की भविष्यवाणी करते समय, स्टॉक के पिछले प्रदर्शन के Z-स्कोर का उपयोग भविष्य के रिटर्न की संभावना निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक उच्च Z-स्कोर इंगित करता है कि स्टॉक का पिछला रिटर्न औसत से काफी ऊपर है और भविष्य में भी अच्छे रिटर्न की उम्मीद की जा सकती है।

हेल्थकेयर (Healthcare) सेक्टर में भी प्रिडिक्टिव मॉडलिंग के लिए Z-स्कोर का उपयोग होता है। रोगी के परिणामों की भविष्यवाणी करते समय, Z-स्कोर का उपयोग रोगी के भविष्य के स्वास्थ्य जोखिमों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक उच्च Z-स्कोर यह संकेत दे सकता है कि रोगी के स्वास्थ्य मेट्रिक्स औसत से काफी खराब हैं, जो भविष्य के खराब परिणामों का संकेत हो सकता है।

Z स्कोर टेबल का उपयोग करना

एक Z-टेबल (Z-Table), जिसे मानक सामान्य तालिका (Standard Normal Table) भी कहा जाता है, एक ऐसी तालिका है जिसमें मानकीकृत मान होते हैं। इसका उपयोग मानक सामान्य वितरण वक्र (standard normal distribution curve) के नीचे, ऊपर या बीच में दिए गए आंकड़े की संभावना (probability) की गणना करने के लिए किया जाता है।

Z-टेबल का उपयोग करने के लिए, आपको सबसे पहले वह पंक्ति (row) ढूंढनी होगी जो आपके कैलकुलेट किए गए Z-स्कोर (पहले दो अंक) से मेल खाती हो, और फिर उस कॉलम (column) को ढूंढें जो आपके Z-स्कोर के दूसरे दशमलव अंक को दर्शाता है। इससे आपको मानक सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्र (संभावना) मिल जाएगा। यह परिणाम इस बात की अनुमानित प्रोबेबिलिटी है कि एक मानक सामान्य वितरण से लिया गया एक यादृच्छिक चर (random variable) आपके कैलकुलेट किए गए Z-स्कोर से कम या उसके बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, यदि आपका z-स्कोर 1.96 है, तो आप Z-टेबल में "1.9" वाली पंक्ति और "0.06" वाले कॉलम को देखेंगे। 1.96 के लिए मानक सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्र वहां दिए गए मान द्वारा दर्शाया जाएगा। यह मान लगभग 0.975 होता है, जिसका अर्थ है कि मानक सामान्य वितरण का लगभग 97.5% डेटा 1.96 से कम या उसके बराबर होगा।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि Z-टेबल केवल उसी मानक सामान्य वितरण के लिए काम करता है जहाँ माध्य (mean) 0 और मानक विचलन 1 हो। यदि आपका डेटा इस मानक में फिट नहीं बैठता है, तो आपको संभावनाओं की गणना करने से पहले अपने डेटा को Z-स्कोर में बदलना (मानकीकृत करना) होगा।

Z-स्कोर से संभावना ढूँढना

जब हम सामान्य रूप से वितरित चर (normally distributed variable) को Z-स्कोर में परिवर्तित करते हैं, तो हम Z-स्कोर टेबल का उपयोग करके सामान्य वक्र के नीचे के क्षेत्र का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं। एक मानक सामान्य वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर होता है। इसलिए, सामान्य वक्र के अंतर्गत आने वाले क्षेत्र का अनुपात उस Z-स्कोर की संभावना (probability) के बराबर होता है।

उदाहरण 1

मुक्केबाजों (Boxers) का वजन सामान्य रूप से वितरित है, जिसका औसत 75 किलोग्राम और मानक विचलन 3 किलोग्राम है। इसकी क्या संभावना है कि यादृच्छिक (randomly) रूप से चुने गए मुक्केबाज का वजन:

• a) 78 किग्रा से अधिक है?
• b) 69 किग्रा से कम है?
• c) 72 किग्रा से अधिक है?
• d) 79.5 किग्रा से कम है?
• e) 72 किग्रा और 76.5 किग्रा के बीच है?
• f) 72 किग्रा और 73.5 किग्रा के बीच है?

a) इसकी क्या प्रोबेबिलिटी (संभावना) है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 78 किग्रा से अधिक है?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

सबसे पहले, हम इसे Z-वक्र (Z-curve) पर प्लॉट करेंगे।

[Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-001.png)

अब हम कैलकुलेट किए गए Z-स्कोर के लिए प्रासंगिक संभावना ज्ञात करने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच की संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना प्राप्त करने के लिए, हमें उस संभावना को 0.5 में से घटाना होगा। (वक्र के नीचे की कुल संभावना 1 है, और मानक वितरण का माध्य इसे 2 समान भागों में विभाजित करता है। इसलिए, माध्य बिंदु से किसी भी छोर की संभावना 0.5 होती है।)

• P (X > 78) = P (Z >1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

इसलिए, इस बात की 0.1587 संभावना (15.87%) है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए मुक्केबाज का वजन 78 किग्रा से अधिक होगा।

b) इस बात की क्या संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 69 किग्रा से कम है?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

हम इसे Z-वक्र में प्लॉट करेंगे।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-002.png)

अब हम कैलकुलेट किए गए Z-स्कोर के लिए संबंधित संभावना खोजने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच की संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना प्राप्त करने के लिए, हमें उस संभावना को 0.5 में से घटाना होगा।

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

इसलिए, इस बात की 0.0228 संभावना है कि बेतरतीब ढंग से चुने गए खिलाड़ी का वजन 69 किलो से कम होगा।

c) क्या संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 72 किलो और 76.5 किलो के बीच है?

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

हम इसे Z-वक्र में प्लॉट करेंगे।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-005.png)

अब हम कैलकुलेट किए गए Z-स्कोर के लिए प्रासंगिक संभावना खोजने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच की संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना प्राप्त करने के लिए, आप दोनों Z-स्कोर की संभावनाओं को एक साथ जोड़ सकते हैं।

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

इसलिए, इस बात की 0.5328 संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए मुक्केबाज का वजन 72 किग्रा और 76.5 किग्रा के बीच है।

ऐसे मामलों में, जल्दी से उत्तर प्राप्त करने के लिए आप हमारे कैलकुलेटर में "दो Z-स्कोर के बीच की संभावना" (Probability between two Z-scores) का उपयोग कर सकते हैं।

निर्दिष्ट संभावना के लिए संगत मान ढूँढना

जब हमें यह पता होता है कि वितरण सामान्य (normal distribution) है, तो हम Z-स्कोर के आधार पर निर्दिष्ट संभावनाओं के लिए संबंधित मान आसानी से ढूंढ सकते हैं।

उदाहरण 2

एक प्रतियोगी परीक्षा में आवेदकों के अंक सामान्य रूप से वितरित किए गए हैं, जिनका माध्य (mean) 55 और मानक विचलन 10 है। यदि शीर्ष 30% आवेदक परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं, तो न्यूनतम उत्तीर्ण अंक (passing marks) ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस स्थिति में, हमें सबसे पहले दी गई संभावना या प्रतिशत के लिए संगत Z-स्कोर ज्ञात करना होगा।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-007.png)

Z-स्कोर खोजने के लिए, हमें हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना ज्ञात करनी होगी। यह 0.50 में से 0.30 घटाकर प्राप्त किया जाता है। इसलिए, हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना 0.20 है।

अब, Z-टेबल में, हमें 0.20 के निकटतम संभावना वाला मान ढूंढना होगा। इसका संबंधित Z-स्कोर लगभग 0.524 है।

इसके बाद, हमें Z-स्कोर फॉर्मूले का उपयोग करके X (रॉ स्कोर) का मान ज्ञात करना होगा।

• Z = (X - μ) / σ
• 0.524 = (X - 55) / 10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

इसलिए, इस परीक्षा को पास करने के लिए न्यूनतम आवश्यक अंक 60.24 हैं।