2डी दूरी गणक

यदि बिंदुओं के निर्देशांक (coordinates) ज्ञात हों, तो यह कैलकुलेटर एक समतल (plane) पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने में मदद करता है। यह कैलकुलेटर 2-आयामी (2D) स्पेस में काम करता है।

चूँकि एक सीधी रेखा 2 बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को दर्शाती है, इसलिए इस टूल का उपयोग 'रेखा की लंबाई कैलकुलेटर' (Line Length Calculator) के रूप में भी किया जा सकता है।

उपयोग के निर्देश

यह कैलकुलेटर निर्देशांक (X₁, Y₁) वाले बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂) वाले बिंदु 2 के बीच की दूरी निकालता है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, संबंधित फ़ील्ड में उनके निर्देशांक दर्ज करें। इनपुट निर्देशांक इस प्रकार दर्ज किए जाने चाहिए:

• अल्पविराम (comma) का उपयोग प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांकों को अलग करने के लिए किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, (X₁, Y₁) फ़ील्ड में "4,5" दर्ज करें ताकि बिंदु 1 का x-निर्देशांक 4 और y-निर्देशांक 5 हो। यदि कोई निर्देशांक दशमलव (decimal) में है, तो पूर्ण संख्या को दशमलव भाग से अलग करने के लिए दशमलव बिंदु (dot) का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, 4.5 के x-निर्देशांक और 7 के y-निर्देशांक वाले बिंदु के लिए "4.5,7" दर्ज करें।
• आप बिंदु के निर्देशांक के रूप में केवल पूर्णांकों (integers) और दशमलव (decimals) का ही उपयोग कर सकते हैं। भिन्न (fractions) स्वीकार नहीं किए जाते हैं।
• निर्देशांकों के बीच खाली स्थान (space) छोड़ना आवश्यक नहीं है, लेकिन आप अपनी सुविधा के अनुसार इनका उपयोग कर सकते हैं।

निर्देशांक दर्ज करने के बाद, "Calculate" (कैलकुलेट) पर क्लिक करें। यह कैलकुलेटर अंतिम उत्तर और विस्तृत समाधान के चरण (step-by-step solution) दिखाएगा।

दूरी सूत्र

द्वि-आयामी (2D) समतल पर, निर्देशांक (X₁, Y₁) वाले बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂) वाले बिंदु 2 के बीच की दूरी निम्नलिखित सूत्र की सहायता से निकाली जा सकती है:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

या, दूसरे शब्दों में कहें तो: 2-आयामी (2D) स्पेस में 2 बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके संबंधित निर्देशांकों के अंतर के वर्गों के योग के वर्गमूल (square root) के रूप में निकाला जा सकता है। इस सूत्र को यूक्लिडियन दूरी सूत्र (Euclidean Distance Formula) के रूप में जाना जाता है। इसलिए, इस टूल को यूक्लिडियन दूरी कैलकुलेटर भी कहा जा सकता है।

यूक्लिडियन दूरी सूत्र की व्युत्पत्ति

इस सूत्र को समझने के लिए, आइए (X, Y) निर्देशांक समतल (coordinate plane) पर दिए गए दो बिंदुओं पर विचार करें:

बिंदु 1 और बिंदु 2 के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, चलिए बिंदु 2 से नीचे की ओर एक लंबवत (vertical) रेखा और बिंदु 1 से दाईं ओर एक क्षैतिज (horizontal) रेखा खींचते हैं। ये दोनों रेखाएँ और आवश्यक दूरी मिलकर एक समकोण त्रिभुज (right-angled triangle) बनाती हैं। इस त्रिभुज का लंब (vertical leg), बिंदु 1 और बिंदु 2 के बीच की लंबवत दूरी: Y₂ - Y₁ से बनेगा। त्रिभुज का आधार (horizontal leg), दो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी: X₂ - X₁ से बनेगा। इस त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse) दोनों बिंदुओं के बीच की आवश्यक दूरी को दर्शाता है। जब समकोण त्रिभुज के आधार और लंब की लंबाई ज्ञात हो, तो पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) की मदद से कर्ण की लंबाई आसानी से ज्ञात की जा सकती है:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

गणना के उदाहरण

उदाहरण 1

आइए बिंदु 1 (X₁, Y₁) = (3, 1) और बिंदु 2 (X₂, Y₂) = (5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें। यूक्लिडियन दूरी सूत्र में X₁, Y₁, X₂, Y₂ के मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होगा:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ध्यान दें कि बिंदुओं के क्रम को बदलने से अंतिम परिणाम नहीं बदलता है, क्योंकि निर्देशांकों के बीच के अंतर का वर्ग (square) किया जाता है। आइए मान लें कि (X₁, Y₁) = (5, 7), और (X₂, Y₂) = (3, 1) है, और उपरोक्त गणना को दोहराते हैं:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

उदाहरण 2

आइए ऋणात्मक (negative) निर्देशांक वाले एक उदाहरण को देखें और बिंदु 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2) तथा बिंदु 2 (X₂, Y₂) = (6, -6) के बीच की दूरी निकालें। यूक्लिडियन दूरी सूत्र में X₁, Y₁, X₂, Y₂ के मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होगा:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

वास्तविक जीवन के उदाहरण

जैसा कि ऊपर बताया गया है, यूक्लिडियन दूरी का सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर ही आधारित है। हालाँकि, यह इस प्रमेय को उन स्थितियों के अनुकूल बनाता है जहाँ केवल बिंदुओं के निर्देशांक (coordinates) ज्ञात होते हैं (न कि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई, जैसा कि पाइथागोरस प्रमेय में आमतौर पर उपयोग होता है)। यह सूत्र तब बहुत उपयोगी होता है जब आपको किसी मानचित्र (map) या ग्राफ़ पर निर्देशांकों की मदद से दूरी की गणना करनी हो। इसके अलावा, इसका उपयोग सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) और सदिशों (vectors) के परिमाण की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

उदाहरण 3

कल्पना करें कि एक सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी हुई है। इस स्थिति में, फर्श 2D समतल के x-अक्ष को दर्शाता है, और दीवार y-अक्ष को दर्शाती है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि सीढ़ी दीवार को बिंदु (0, 2) पर और फर्श को बिंदु (3, 0) पर छूती है, तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करें।

हल

दीवार और फर्श से बने 2-आयामी (2D) समतल में सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आइए सबसे पहले सीढ़ी के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांकों की पहचान करें: X₁, Y₁, X₂, Y₂। मान लीजिए जहाँ सीढ़ी दीवार को छूती है वह बिंदु 1 (X₁, Y₁) है, और जहाँ सीढ़ी फर्श को छूती है वह बिंदु 2 (X₂, Y₂) है। हम जानते हैं कि सीढ़ी दीवार को निर्देशांक (0, 2) वाले बिंदु पर छूती है। इसलिए, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

ध्यान दें कि यहाँ X₁ = 0 कैसे है। इसे ऊपर दिए गए चित्र में स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है, जहाँ बिंदु (0, 0) उस भौतिक बिंदु से मेल खाता है जहाँ दीवार फर्श से मिलती है। इसलिए यहाँ X और Y के ऋणात्मक मान (negative values) संभव नहीं हैं।

इसके अलावा, हम जानते हैं कि सीढ़ी निर्देशांक (3, 0) वाले बिंदु पर फर्श को छूती है। इसलिए, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

यहाँ Y₂ = 0 है क्योंकि ये निर्देशांक सीधे फर्श पर स्थित एक बिंदु से संबंधित हैं। आइए अब सीढ़ी की लंबाई की गणना करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

उत्तर

सीढ़ी की लंबाई 3.6 है।

3D स्पेस में दूरी

यूक्लिडियन दूरी वही है जिसे अधिकांश लोग सामान्य भाषा में "दूरी" कहते हैं। जब हम कहते हैं कि कोई वस्तु हमसे 5 मीटर दूर है, तो हमारे दिमाग में यूक्लिडियन दूरी ही होती है। ऊपर बताए गए दूरी के सूत्र को 3 (या इससे भी अधिक!) आयामों (dimensions) के लिए आसानी से विस्तारित किया जा सकता है।

3-आयामी (3D) स्पेस में, निर्देशांक (X₁, Y₁, Z₁) वाले बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂, Z₂) वाले बिंदु 2 के बीच की दूरी को उनके संबंधित निर्देशांकों के अंतर के वर्गों के योग के वर्गमूल (square root) के रूप में निकाला जा सकता है:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$