2D калькулятор расстояний

Этот калькулятор находит расстояние между двумя точками на плоскости, если известны их координаты. Калькулятор работает в двумерном пространстве.

Поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками представлено прямой линией, этот калькулятор можно использовать как калькулятор длины линии.

Рекомендации по использованию

Калькулятор находит расстояние между точкой 1 с координатами (X₁, Y₁) и точкой 2 с координатами (X₂, Y₂).

Чтобы найти расстояние между двумя точками, введите их координаты в соответствующие поля. Координаты следует вводить следующим образом:

• Две координаты каждой точки должны быть разделены запятой; например, введите "4,5" в поле (X1, Y1), чтобы точка 1 имела x-координату 4 и y-координату 5. Если одна из координат представлена десятичной дробью, используйте десятичную точку (или запятую), чтобы отделить часть целого числа от десятичной части; например, введите "4,5 , 7", чтобы получить точку с координатой x, равной 4,5, и координатой y, равной 7.
• В качестве координат точки можно использовать только целые и десятичные числа, дроби не принимаются.
• Пробелы между координатами не обязательны, но вы можете использовать их для удобства.

После ввода координат нажмите "Вычислить". Калькулятор вернет окончательный ответ, а также подробный алгоритм решения.

Чтобы очистить все поля, нажмите "Очистить".

Формула расстояния

На двумерной плоскости расстояние d между точкой 1 с координатами (X₁, Y₁) и точкой 2 с координатами (X₂, Y₂) можно найти с помощью следующей формулы:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Другими словами: расстояние между двумя точками в двумерном пространстве можно найти как квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Эта формула известна как формула евклидова расстояния, поэтому данный калькулятор также можно назвать калькулятором евклидова расстояния.

Вывод формулы евклидова расстояния

Чтобы вывести формулу, рассмотрим две заданные точки на координатной плоскости (X, Y):

Чтобы найти расстояние между точками 1 и 2, проведем вертикальную линию вниз из точки 2 и горизонтальную линию вправо из точки 1. Две проведенные линии и необходимое расстояние образуют правильный треугольник. Вертикальный катет этого треугольника будет образован вертикальным расстоянием между точками 1 и 2: Y₂ - Y₁. Горизонтальный катет треугольника будет образован горизонтальным расстоянием между двумя точками: X₂ - X₁. Необходимое расстояние между точками представляет собой гипотенузу этого треугольника. Когда известны длины катетов правильного треугольника, длину гипотенузы можно найти с помощью теоремы Пифагора:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Примеры расчетов

Пример 1

Найдем расстояние между точкой 1 с (X₁, Y₁) = (3, 1) и точкой 2 с (X₂, Y₂) = (5, 7). Подставив значения X₁, Y₁, X₂, Y₂ в формулу евклидова расстояния, мы получим:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Обратите внимание, что изменение порядка точек не меняет конечного результата, так как разность координат возводится в квадрат. Повторим расчеты, предположив, что (X₁, Y₁) = (5, 7), а (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Пример 2

Рассмотрим пример с отрицательными координатами и найдем расстояние между точкой 1 с (X₁, Y₁) = (-4, 2) и точкой 2 с (X₂, Y₂) = (6, -6). Подставив значения X₁, Y₁, X₂, Y₂ в формулу евклидова расстояния, получим:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Примеры из реальной жизни

Как показано выше, формула евклидова расстояния основана на теореме Пифагора, но адаптирует теорему к ситуациям, когда известны только координаты точек (а не длины сторон треугольника, используемые теоремой Пифагора). Формула полезна, когда необходимо вычислить расстояние по координатам на карте или графике. В математике она также используется для вычисления величин комплексных чисел и векторов.

Пример 3

Представьте себе лестницу, прислоненную к стене. В этой ситуации пол представляет собой ось x двумерной плоскости, а стена - ось y, как показано на рисунке ниже. Если лестница касается стены в точке (0, 2) и касается пола в точке (3, 0), найдите длину лестницы.

Решение

Чтобы найти длину лестницы в двумерной плоскости, образованной стеной и полом, сначала определим координаты конечных точек лестницы: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Назовем точку, где лестница касается стены, точкой 1 (X₁, Y₁), а точку, где лестница касается пола, точкой 2 (X₂, Y₂). Мы знаем, что лестница касается стены в точке с координатами (0, 2), поэтому (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2.

Обратите внимание, что X₁ = 0, что наглядно иллюстрируется приведенным выше изображением, где точка (0, 0) соответствует физической точке, где стена встречается с полом, что делает отрицательные значения X и Y невозможными.

Кроме того, мы знаем, что лестница касается пола в точке с координатами (3, 0), поэтому (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0.

Здесь также Y₂ = 0, так как эти координаты соответствуют точке непосредственно на полу. Теперь воспользуемся формулой расстояния для вычисления длины лестницы:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Ответ.

Длина лестницы равна 3,6.

Расстояние в трехмерном пространстве

Евклидово расстояние - это то, что большинство людей называют "расстоянием". Когда мы говорим, что объект находится на расстоянии 5 метров от нас, мы имеем в виду именно евклидово расстояние. Формулу расстояния, описанную выше, можно легко экстраполировать на 3 (или даже больше!) измерения.

В трехмерном пространстве расстояние между точкой 1 с координатами (X₁, Y₁, Z₁) и точкой 2 с координатами (X₂, Y₂, Z₂) может быть рассчитано как квадратный корень из суммы квадратов разностей между соответствующими координатами:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$