स्टैण्डर्ड डेविएशन और मार्जिन ऑफ़ एरर कैलकुलेटर

स्टैण्डर्ड डेविएशन कैलकुलेटर एक संख्या सेट के मानक विचलन की गणना करता है। यह संख्याओं के बारे में अतिरिक्त जानकारी भी प्रदान करता है, जैसे माध्य और वेरियंस। कैलकुलेटर विभिन्न आत्मविश्वास स्तरों के लिए डेटासेट के विश्वास अंतराल की गणना भी करता है और आवृत्ति वितरण तालिका प्रदर्शित करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, कैलकुलेटर में अल्पविराम से अलग की गई संख्याएं दर्ज करें। संख्याएं जनसंख्या या सैंपल का प्रतिनिधित्व करती हैं या नहीं यह चुनने के बाद "कैलकुलेट" पर क्लिक करें। आप संख्याओं का एक अलग सेट दर्ज करने के लिए "क्लियर" बटन दबाकर कैलकुलेटर को भी साफ़ कर सकते हैं।

स्टैण्डर्ड डेविएशन

स्टैण्डर्ड डेविएशन एक स्टैटिस्टिकल माप है जो किसी दिए गए डेटा सेट के प्रसार या परिवर्तनशीलता का वर्णन करता है। यह डेटासेट के माध्य से डेटा बिंदुओं की कुल औसत दूरी लौटाता है। डेटा बिंदु माध्य के जितने करीब होंगे, स्टैण्डर्ड डेविएशन उतना ही छोटा होगा। स्टैण्डर्ड डेविएशन जितना अधिक होगा, डेटा बिंदु माध्य से उतने ही अधिक विचलित होंगे। स्टैण्डर्ड डेविएशन वेरियंस का वर्गमूल है, जो प्रसार का एक अन्य माप है।

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना डेटा सेट की जानकारी का उपयोग करके की जाती है। जब डेटासेट में रुचि के सभी डेटा बिंदु (जनसंख्या) होते हैं, तो स्टैण्डर्ड डेविएशन को जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन कहा जाता है। हालाँकि, यदि डेटासेट जनसंख्या से एक सैंपल का प्रतिनिधित्व करता है, तो स्टैण्डर्ड डेविएशन को सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन कहा जाता है।

जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन

जब डेटासेट आबादी से संबंधित का प्रतिनिधित्व करता है, तो जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना की जाती है। दूसरे शब्दों में, डेटासेट में विचाराधीन सभी अवलोकन शामिल हैं। जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ द्वारा निरूपित किया जाता है।

σ सिग्मा नामक ग्रीक अक्षर का निचला अक्षर है। जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

जहां:

• Σ ग्रीक कैपिटल लेटर सिग्मा है, जिसका उपयोग गणित में योग को दर्शाने के लिए किया जाता है;
• xᵢ प्रत्येक डेटा बिंदु (डेटा सेट के प्रत्येक अवलोकन) का प्रतिनिधित्व करता है, पहले डेटा बिंदु से शुरू होकर Nth (अंतिम) डेटा बिंदु तक;
• μ जनसंख्या माध्य का प्रतिनिधित्व करता है;
• n जनसंख्या का आकार है।

सामान्य जनसंख्या के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना का उदाहरण

निम्न उदाहरण दिखाता है कि जनसंख्या डेटा का स्टैण्डर्ड डेविएशन कैसे ज्ञात किया जाए।

अन्य परिसंपत्ति वर्गों की तुलना में स्टॉक को उनकी उच्च अस्थिरता के कारण निवेशकों द्वारा एक जोखिम भरा संपत्ति माना जाता है। एक निवेश प्रबंधक पिछले महीने की तुलना में कुछ शेयरों की अस्थिरता की जांच करना चाहता है और अपने ग्राहकों को इसके माध्य से अधिक या उसके बराबर स्टैण्डर्ड डेविएशन वाले किसी भी स्टॉक की सिफारिश नहीं करेगा क्योंकि वह ऐसे स्टॉक को "बहुत जोखिम भरा" मानता है।

पिछले महीने के शेयरों के सभी दैनिक समापन मूल्य (USD में) नीचे सूचीबद्ध हैं। स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करके निर्धारित करें कि क्या प्रबंधक स्टॉक को "बहुत जोखिम भरा" मानता है:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रबंधक केवल पिछले महीने के स्टॉक की कीमतों में रुचि रखता है, और ऊपर सूचीबद्ध सभी कीमतें पिछले महीने की कीमतें हैं। नतीजतन, हमारे पास आबादी तक पहुंच है। परिणामस्वरूप, हम जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन के सूत्र का उपयोग करके स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करेंगे।

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करने के लिए, पहले माध्य की गणना करें। औसत $mu$ प्राप्त करने के लिए संख्याओं के योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करना याद रखें।

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.88+0.81}{20 }=1.097$$

इसके बाद, प्रत्येक संख्या से माध्य घटाएं और अंतर का वर्ग करें। फिर परिणाम जोड़ें और परिणाम को गिनती से विभाजित करें। परिणाम को वेरियंस σ² कहा जाता है।

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

अंत में, स्टैण्डर्ड डेविएशन प्राप्त करने के लिए वेरियंस का वर्गमूल लें।

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले महीने के लिए इस स्टॉक की कीमतों का स्टैण्डर्ड डेविएशन औसत से कम है। इसलिए, प्रबंधक इस स्टॉक को "बहुत जोखिम भरा" नहीं मानेगा।

सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन

जब विचाराधीन डेटासेट आबादी से एक सैंपल का प्रतिनिधित्व करता है, तो सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना की जाती है। डेटासेट विचाराधीन अवलोकनों की कुल संख्या का एक सबसेट दर्शाता है। s सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन का प्रतिनिधित्व करता है। सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

जहां:

• Σ योग को दर्शाता है;
• xᵢ प्रत्येक डेटा बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है;
• x̄ सैंपल माध्य का प्रतिनिधित्व करता है;
• n सैंपल आकार है।

जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन के समान उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम दिखाएंगे कि सैंपल डेटा के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना कैसे की जाती है। हालांकि, इस मामले में, निवेश प्रबंधक के पास पिछले महीने के सभी कारोबारी दिनों की समाप्ति कीमतों तक पहुंच नहीं है। हालाँकि, उसके पास पिछले महीने से पाँच यादृच्छिक दिनों की समाप्ति कीमतें हैं। नतीजतन, उपलब्ध सैंपल से डेटा का उपयोग करके, वह स्टॉक बंद होने वाली कीमतों के स्टैण्डर्ड डेविएशन का अनुमान लगाएगा।

मान लें कि उसके पास अगले पांच दिनों के लिए समापन मूल्य हैं:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

यह ध्यान देने योग्य है कि प्रबंधक पिछले महीने के स्टॉक की कीमतों से चिंतित है। हालांकि, उसके पास पिछले महीने के सभी मूल्य नहीं हैं, लेकिन पिछले 5 दिनों के समापन मूल्यों का केवल एक छोटा सा उपसमूह है। इसलिए हम इस मामले में एक सैंपल के साथ काम कर रहे हैं। सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन सूत्र का उपयोग करके, हम स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करेंगे।

सबसे पहले, सैंपल के माध्य की गणना करें।

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

इसके बाद, वेरियंस s² की गणना करें।

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

अंत में, स्टैण्डर्ड डेविएशन प्राप्त करने के लिए वेरियंस का वर्गमूल लें।

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

मार्जिन ऑफ़ एरर

स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग मूल्यों की "स्वीकार्य" श्रेणी की गणना के लिए किया जा सकता है। यह उद्योग में स्टैटिस्टिकल गुणवत्ता आश्वासन और भविष्य कहनेवाला विश्लेषण में महत्वपूर्ण है। मान लें कि अंतर्निहित डेटा का सामान्य वितरण है। उस स्थिति में, रेंज को कॉन्फिडेंस इंटरवल के रूप में जाना जाता है (अगले भाग को देखें)। ये विश्वास अंतराल आश्वासन के विभिन्न स्तरों (या प्रतिशत) पर प्रदान किए जाते हैं।

मार्जिन ऑफ एरर विश्वास अंतराल का एक घटक है जो विश्वास अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, मार्जिन ऑफ एरर विचाराधीन मात्रा के अधिकतम और न्यूनतम स्वीकृत मूल्यों को निर्दिष्ट करता है।

मार्जिन ऑफ एरर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$Margin\ of\ error\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

हम इस सूत्र को लागू करते हैं यदि जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन, σ, ज्ञात हो। और साथ ही सैंपल पर्याप्त रूप से बड़ा होना चाहिए (आमतौर पर n>30)।

जब जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन अज्ञात होता है और सैंपल छोटा होता है (आमतौर पर n≤30) तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$Margin\ of\ error\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

इस सूत्र में हम सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन s का उपयोग करते हैं क्योंकि जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ ज्ञात नहीं है।

\$z_{\alpha/2}\$ और \$t_{n-1, \alpha/2}\$ क्रमशः z-सांख्यिकी और t-सांख्यिकी का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं, और इन्हें महत्वपूर्ण मान कहा जाता है। वे आत्मविश्वास के स्तर से जुड़े स्थिरांक हैं।

आँकड़ों में उपयोग किए जाने वाले सबसे आम विश्वास अंतराल 90%, 95% और 99% हैं। और उनके \$z_{\alpha/2}\$ मान 1.645 (90% के लिए), 1.96 (95% के लिए), और 2.575 (99% के लिए) हैं

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ या \$\frac{s}{\sqrt n}\$ को स्टैण्डर्ड त्रुटि कहा जाता है।

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ का उपयोग तब किया जाता है जब हम जनसंख्या के स्टैण्डर्ड डेविएशन σ को जानते हैं और हमारे पास एक बड़ा सैंपल (आमतौर पर n>30) होता है।
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जहां हम जनसंख्या के स्टैण्डर्ड डेविएशन को नहीं जानते हैं और हमारे पास एक छोटा सैंपल है (आमतौर पर n≤30)। अर्थात्, सामान्य जनसंख्या σ के स्टैण्डर्ड डेविएशन के बजाय, हमें हमारे लिए उपलब्ध सैंपल के स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग करना होगा।

कॉन्फिडेंस इंटरवल

कॉन्फिडेंस इंटरवल, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, मूल्यों की एक श्रेणी है जिसके भीतर दी गई मात्रा के दिए गए विश्वास के स्तर पर होने की उम्मीद है।

उदाहरण के लिए, 90% आत्मविश्वास के स्तर पर, हम कह सकते हैं कि एक निश्चित राशि, जैसे 13 वर्षीय लड़कियों की ऊंचाई, 59 से 66 इंच के बीच होती है। यही है, अगर हम बेतरतीब ढंग से 13 साल की लड़कियों के समूह का चयन करते हैं, तो उनकी ऊंचाई दिए गए मूल्यों के बीच लगभग 90% समय के बीच रहेगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल माध्य है,
• \$z_{\alpha/2}\$ महत्वपूर्ण मान है,
• σ जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• n अवलोकनों की संख्या है।

एक अन्य सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब हम जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ नहीं जानते हैं और हमें इसके बजाय सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन s का उपयोग करना होता है:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल माध्य है,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ महत्वपूर्ण मान है,
• s सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• n अवलोकनों की संख्या है।

जैसा कि हम पिछले अध्याय से याद कर सकते हैं \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ और \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ त्रुटि के मार्जिन हैं।

कॉन्फिडेंस इंटरवल कैलकुलेशन का उदाहरण

मान लीजिए कि हम जानते हैं कि हम जिस दैनिक स्टॉक की कीमतों पर विचार कर रहे हैं, उसका वितरण सामान्य है। हमारे पास हमारे निपटान में स्टॉक की कीमतों का एक सैंपल है:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

हमें गणना करने की आवश्यकता है कि किस सीमा में स्टॉक की कीमतों में 95% विश्वास के साथ उतार-चढ़ाव होगा।

यह एक छोटा सा सैंपल है और हम जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन नहीं जानते हैं, इसलिए हम सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन और गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल माध्य है, 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ महत्वपूर्ण मान है, \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (किसी दिए गए सैंपल आकार और कॉन्फिडेंस इंटरवल के लिए महत्वपूर्ण मान की गणना आमतौर पर z-तालिका से की जाती है या टी-टेबल)
• s सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन है, 0.23
• n प्रेक्षणों की संख्या है, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ स्टैण्डर्ड त्रुटि हैं \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

इसलिए हम संख्याओं को सूत्र में रखते हैं

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

और हमें मिलता है:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

इसका मतलब है कि हम 95% आश्वस्त हैं कि शेयर की औसत कीमत कॉन्फिडेंस इंटरवल (0.94, 1.26) में है।