स्टैण्डर्ड डेविएशन और मार्जिन ऑफ़ एरर कैलकुलेटर

यह स्टैण्डर्ड डेविएशन कैलकुलेटर (Standard Deviation Calculator) किसी भी संख्या सेट के मानक विचलन (standard deviation) की सटीक गणना करता है। इसके साथ ही, यह डेटा से जुड़ी अन्य महत्वपूर्ण जानकारी जैसे माध्य (Mean) और वेरियंस (Variance) भी प्रदान करता है। यह टूल विभिन्न कॉन्फिडेंस लेवल (विश्वास स्तर) के लिए डेटासेट के विश्वास अंतराल (Confidence Interval) की भी गणना करता है और एक विस्तृत आवृत्ति वितरण तालिका (Frequency Distribution Table) प्रदर्शित करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करना बेहद आसान है। बस कैलकुलेटर में अपनी संख्याएं दर्ज करें, जिन्हें अल्पविराम (comma) से अलग किया गया हो। इसके बाद चुनें कि आपका डेटा 'पॉपुलेशन' (Population) का प्रतिनिधित्व करता है या 'सैंपल' (Sample) का, और फिर "कैलकुलेट" पर क्लिक करें। नई संख्याओं की गणना करने के लिए आप "क्लियर" बटन दबाकर कैलकुलेटर को रीसेट भी कर सकते हैं।

स्टैण्डर्ड डेविएशन

स्टैण्डर्ड डेविएशन (मानक विचलन) एक प्रमुख सांख्यिकीय (statistical) माप है जो किसी दिए गए डेटासेट के फैलाव (spread) या परिवर्तनशीलता (variability) को दर्शाता है। यह मापता है कि डेटा बिंदु अपने माध्य (Mean) से औसतन कितनी दूर हैं। डेटा बिंदु माध्य के जितने करीब होंगे, स्टैण्डर्ड डेविएशन उतना ही कम होगा। इसके विपरीत, स्टैण्डर्ड डेविएशन जितना अधिक होगा, डेटा का फैलाव माध्य से उतना ही ज्यादा होगा। स्टैण्डर्ड डेविएशन वेरियंस का वर्गमूल (square root) होता है, जो डेटा के फैलाव को मापने का एक और तरीका है।

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना डेटासेट की प्रकृति के आधार पर की जाती है। जब डेटासेट में अध्ययन के सभी बिंदु शामिल होते हैं, तो इसे जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन (Population Standard Deviation) कहा जाता है। वहीं, अगर डेटासेट संपूर्ण जनसंख्या के किसी एक हिस्से (नमूने) का प्रतिनिधित्व करता है, तो इसे सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन (Sample Standard Deviation) कहा जाता है।

जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन

जब डेटासेट पूरी आबादी (Population) का प्रतिनिधित्व करता है, तब जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना की जाती है। आसान शब्दों में, इसमें वे सभी अवलोकन (observations) शामिल होते हैं जिन पर विचार किया जा रहा है। जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन को ग्रीक अक्षर σ द्वारा दर्शाया जाता है।

σ (सिग्मा) ग्रीक वर्णमाला का लोअरकेस अक्षर है। जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

जहां:

• Σ ग्रीक अक्षर 'कैपिटल सिग्मा' है, जिसका उपयोग गणित में योग (sum) को दर्शाने के लिए किया जाता है;
• xᵢ डेटासेट के प्रत्येक बिंदु (अवलोकन) का प्रतिनिधित्व करता है, जो पहले बिंदु से शुरू होकर Nवें (अंतिम) बिंदु तक जाता है;
• μ जनसंख्या के माध्य (Population Mean) का प्रतिनिधित्व करता है;
• N जनसंख्या का आकार है।

सामान्य जनसंख्या के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना का उदाहरण

नीचे दिए गए उदाहरण से समझें कि पॉपुलेशन डेटा का स्टैण्डर्ड डेविएशन कैसे निकाला जाता है।

शेयर बाज़ार (Stocks) में उच्च अस्थिरता (volatility) के कारण इन्हें अन्य संपत्तियों की तुलना में निवेशकों द्वारा एक जोखिम भरा एसेट माना जाता है। मान लीजिए, एक निवेश प्रबंधक पिछले महीने के कुछ शेयरों की अस्थिरता का विश्लेषण कर रहा है। उसने तय किया है कि वह अपने ग्राहकों को ऐसे किसी भी शेयर की सिफारिश नहीं करेगा जिसका स्टैण्डर्ड डेविएशन उसके औसत (Mean) से अधिक या उसके बराबर हो, क्योंकि वह ऐसे शेयरों को "बहुत जोखिम भरा" मानता है।

पिछले महीने के शेयरों के सभी दैनिक समापन मूल्य (Closing Price - USD में) नीचे सूचीबद्ध हैं। स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करें और निर्धारित करें कि क्या प्रबंधक इस स्टॉक को "बहुत जोखिम भरा" मानेगा या नहीं:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

यहाँ यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रबंधक की रुचि केवल "पिछले महीने" की स्टॉक कीमतों में है, और ऊपर दी गई सभी कीमतें पिछले महीने की ही हैं। इसका अर्थ यह है कि हमारे पास पूरी आबादी (Population) का डेटा है। परिणामस्वरूप, हम जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन के सूत्र का उपयोग करके स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करेंगे।

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करने के लिए, सबसे पहले माध्य (Mean) निकालें। याद रखें, माध्य (μ) प्राप्त करने के लिए संख्याओं के योग को संख्याओं की कुल गिनती से विभाजित किया जाता है।

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

इसके बाद, प्रत्येक संख्या से माध्य को घटाएं और उनके अंतर का वर्ग (square) करें। फिर इन सभी परिणामों को जोड़ें और कुल गिनती से विभाजित करें। इस परिणाम को वेरियंस σ² कहा जाता है।

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

अंत में, स्टैण्डर्ड डेविएशन प्राप्त करने के लिए वेरियंस का वर्गमूल (square root) निकालें।

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले महीने के लिए इस स्टॉक की कीमतों का स्टैण्डर्ड डेविएशन इसके औसत से काफी कम है। इसलिए, प्रबंधक इस स्टॉक को "बहुत जोखिम भरा" नहीं मानेगा।

सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन

जब विचाराधीन डेटासेट संपूर्ण आबादी (Population) के केवल एक हिस्से (Sample) का प्रतिनिधित्व करता है, तो सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना की जाती है। यह डेटासेट कुल अवलोकनों के एक सबसेट (subset) को दर्शाता है। सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन को s से दर्शाया जाता है। सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

जहां:

• Σ योग (sum) को दर्शाता है;
• xᵢ प्रत्येक डेटा बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है;
• x̄ सैंपल माध्य (Sample Mean) का प्रतिनिधित्व करता है;
• n सैंपल का आकार है।

पहले वाले उदाहरण का ही उपयोग करते हुए, अब हम देखेंगे कि सैंपल डेटा के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना कैसे की जाती है। मान लीजिए, इस बार निवेश प्रबंधक के पास पिछले महीने के सभी कारोबारी दिनों की समापन कीमतों का डेटा नहीं है। इसके बजाय, उसके पास पिछले महीने के केवल पाँच यादृच्छिक (random) दिनों की समापन कीमतें उपलब्ध हैं। इसलिए, उपलब्ध सैंपल डेटा का उपयोग करके, वह स्टॉक की समापन कीमतों के स्टैण्डर्ड डेविएशन का अनुमान लगाएगा।

मान लें कि उसके पास निम्नलिखित पाँच दिनों के समापन मूल्य हैं:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

यहाँ यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि प्रबंधक की रुचि पिछले पूरे महीने के स्टॉक मूल्यों में है। चूँकि उसके पास पिछले महीने की सभी कीमतें नहीं हैं, बल्कि केवल 5 दिनों की समापन कीमतों का एक छोटा सा उपसमूह है, इसलिए हम यहाँ 'सैंपल' के साथ काम कर रहे हैं। हम सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन के सूत्र का उपयोग करके गणना करेंगे।

सबसे पहले, सैंपल का माध्य (Mean) निकालें।

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

इसके बाद, वेरियंस s² की गणना करें।

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

अंत में, स्टैण्डर्ड डेविएशन प्राप्त करने के लिए वेरियंस का वर्गमूल निकालें।

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

मार्जिन ऑफ़ एरर

स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग डेटा मूल्यों की "स्वीकार्य" सीमा (acceptable range) की गणना के लिए भी किया जा सकता है। यह उद्योग में सांख्यिकीय गुणवत्ता आश्वासन (Statistical Quality Assurance) और भविष्य कहनेवाला विश्लेषण (Predictive Analysis) में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मान लें कि अंतर्निहित डेटा का वितरण सामान्य (Normal Distribution) है। उस स्थिति में, इस सीमा को कॉन्फिडेंस इंटरवल (विश्वास अंतराल) के रूप में जाना जाता है (अगला भाग देखें)। ये कॉन्फिडेंस इंटरवल आश्वासन के विभिन्न स्तरों (या प्रतिशत) पर प्रदान किए जाते हैं।

मार्जिन ऑफ एरर (Margin of Error) कॉन्फिडेंस इंटरवल का ही एक घटक है जो उस अंतराल की चौड़ाई को निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, मार्जिन ऑफ एरर विचाराधीन डेटा के अधिकतम और न्यूनतम स्वीकार्य मूल्यों को स्पष्ट करता है।

मार्जिन ऑफ एरर की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$Margin\ of\ error\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

हम इस सूत्र को तब लागू करते हैं जब जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन, σ, ज्ञात हो। साथ ही, इसके लिए सैंपल का आकार पर्याप्त रूप से बड़ा होना चाहिए (आमतौर पर n>30)।

जब जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन अज्ञात होता है और सैंपल आकार छोटा होता है (आमतौर पर n≤30), तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$Margin\ of\ error\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

इस सूत्र में हम सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन s का उपयोग करते हैं क्योंकि जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ ज्ञात नहीं है।

सूत्र में मौजूद \$z_{\alpha/2}\$ और \$t_{n-1, \alpha/2}\$ को क्रमशः z-सांख्यिकी और t-सांख्यिकी का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, और इन्हें क्रिटिकल वैल्यू (critical values) कहा जाता है। ये ऐसे स्थिरांक हैं जो आत्मविश्वास के स्तर (Confidence Level) से जुड़े होते हैं।

सांख्यिकी में उपयोग किए जाने वाले सबसे आम कॉन्फिडेंस इंटरवल 90%, 95% और 99% हैं। और उनके \$z_{\alpha/2}\$ मान क्रमशः 1.645 (90% के लिए), 1.96 (95% के लिए), और 2.575 (99% के लिए) होते हैं।

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ या \$\frac{s}{\sqrt n}\$ को स्टैण्डर्ड त्रुटि (Standard Error) कहा जाता है।

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ का उपयोग तब किया जाता है जब हमें जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ ज्ञात हो और हमारे पास एक बड़ा सैंपल (आमतौर पर n>30) हो।
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जहाँ जनसंख्या का स्टैण्डर्ड डेविएशन अज्ञात हो और सैंपल का आकार छोटा हो (आमतौर पर n≤30)। इसका मतलब है कि सामान्य जनसंख्या σ के स्टैण्डर्ड डेविएशन के बजाय, हमें उपलब्ध सैंपल के स्टैण्डर्ड डेविएशन का ही उपयोग करना होता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल

कॉन्फिडेंस इंटरवल (Confidence Interval), जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, मूल्यों की वह सीमा (range) है जिसके भीतर किसी दिए गए कॉन्फिडेंस लेवल पर वास्तविक मूल्य के होने की संभावना होती है।

उदाहरण के लिए, 90% कॉन्फिडेंस लेवल पर, हम कह सकते हैं कि 13 वर्षीय लड़कियों के समूह की ऊंचाई 59 से 66 इंच के बीच होती है। इसका अर्थ यह है कि यदि हम बेतरतीब ढंग से 13 वर्षीय लड़कियों के किसी भी समूह का चयन करते हैं, तो लगभग 90% समय उनकी ऊंचाई इसी दी गई सीमा के भीतर होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल का माध्य है,
• \$z_{\alpha/2}\$ क्रिटिकल वैल्यू (critical value) है,
• σ जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• n अवलोकनों (observations) की संख्या है।

यदि जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन σ अज्ञात हो और हमें इसके बजाय सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन s का उपयोग करना पड़े, तो एक अन्य सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल का माध्य है,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ क्रिटिकल वैल्यू (critical value) है,
• s सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• n अवलोकनों की संख्या है।

जैसा कि हमने पिछले भाग में समझा था, सूत्र के हिस्से \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ और \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ मार्जिन ऑफ़ एरर (त्रुटि की गुंजाइश) को दर्शाते हैं।

कॉन्फिडेंस इंटरवल कैलकुलेशन का उदाहरण

मान लीजिए कि हम जिस दैनिक स्टॉक की कीमतों पर विचार कर रहे हैं, उनका वितरण सामान्य (normal distribution) है। हमारे पास स्टॉक की कीमतों का यह सैंपल डेटा उपलब्ध है:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

हमें यह गणना करनी है कि 95% कॉन्फिडेंस के साथ स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव किस सीमा के भीतर होगा।

चूंकि यह एक छोटा सैंपल है और हमें जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन नहीं पता है, इसलिए हम सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन और इस सूत्र का उपयोग करके गणना करेंगे:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ सैंपल माध्य है, 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ क्रिटिकल वैल्यू है, \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (किसी दिए गए सैंपल आकार और कॉन्फिडेंस इंटरवल के लिए क्रिटिकल वैल्यू की गणना आमतौर पर z-टेबल या t-टेबल से की जाती है)
• s सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन है, 0.23
• n अवलोकनों की संख्या है, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ स्टैण्डर्ड त्रुटि (Standard error) है \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

अब हम इन संख्याओं को सूत्र में रखते हैं:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

और हमें प्राप्त होता है:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

इसका मतलब यह है कि हम 95% आश्वस्त हैं कि शेयर की औसत कीमत इस कॉन्फिडेंस इंटरवल (0.94, 1.26) के भीतर रहेगी।