स्टैण्डर्ड डेविएशन कैलकुलेटर

स्टैटिस्टिकल माप के रूप में स्टैण्डर्ड डेविएशन

किसी दिए गए डेटा सेट के स्टेटिस्टिक्स को चिह्नित करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली मीट्रिक में से एक स्टैण्डर्ड डेविएशन है। सीधे शब्दों में कहें, स्टैण्डर्ड डेविएशन मापता है कि डेटा सेट कितना फैला हुआ है। स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि संख्याएँ माध्य के निकट हैं या दूर हैं। यदि डेटा बिंदु माध्य से बहुत दूर हैं, तो डेटा सेट में एक बड़ा डेविएशन होता है। नतीजतन, स्टैण्डर्ड डेविएशन जितना अधिक होगा, डेटा में उतना ही अधिक बिखराव होगा।

यह कैलकुलेटर किसी दिए गए डेटा सेट के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करता है और इसमें शामिल गणितीय चरणों को प्रदर्शित करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के नियम

कैलकुलेटर इनपुट के रूप में एक सीमांकक द्वारा अलग की गई संख्याओं को स्वीकार करता है। नीचे दी गई तालिका संभावित इनपुट के कुछ उदाहरण दिखाती है।

पंक्ति इनपुट	कॉलम इनपुट	कॉलम इनपुट	कॉलम इनपुट
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

संख्याओं को अल्पविराम/स्पेस/लाइन ब्रेक या उनके मिश्रण से अलग किया जा सकता है और पंक्ति या कॉलम प्रारूप में डाला जा सकता है। उपरोक्त तालिका में दिखाए गए सभी प्रारूपों के लिए, कैलकुलेटर इनपुट को 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 और 89 के रूप में संसाधित करता है।

डेटा दर्ज करने के बाद, चुनें कि यह सैंपल है या जनसंख्या सैंपल है और एंटर दबाएं। डेटासेट के स्टैटिस्टिकल पैरामीटर कैलकुलेटर द्वारा प्रदर्शित किए जाते हैं: गणना (अवलोकन की संख्या), माध्य, वर्ग डेविएशन का योग, वेरीयंस और स्टैण्डर्ड डेविएशन।

इस कैलकुलेटर की समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है

कैलकुलेटर एक असतत डेटा सेट के स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करता है और गणना के पीछे के सिद्धांत की व्याख्या करता है।

डेटा निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक प्रयोग (किसी भी प्रकार का) में सभी संभावित अवलोकनों की जनसंख्या हो सकती है। जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य का सैंपल लेना अक्सर असंभव होता है।

आँकड़े के अभ्यास में, यह सामान्य होता है कि हम एक बड़ी 'जनसंख्या' के एक उपसमूह के साथ काम करें, जिसे हम 'नमूना' के रूप में संदर्भित करते हैं। यह इसलिए होता है क्योंकि हर व्यक्ति से जनसंख्या में डेटा एकत्रित करना अक्सर अव्यावहारिक या असंभव होता है। हम नमूने से एकत्रित की गई जानकारी के आधार पर जनसंख्या के बारे में अनुमान या निष्कर्ष निकालते हैं।

मानक विचलन की गणना करते समय, हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं उसे इस बात के आधार पर समायोजित किया जाता है कि हम नमूने के साथ काम कर रहे हैं या समूची जनसंख्या के साथ। यह समायोजन 'स्वतंत्रता की डिग्री' के रूप में जाने जाने वाले कारक के माध्यम से किया जाता है। एक नमूने के लिए, हम विचलन की गणना करते समय n - 1 (जहाँ n नमूने का आकार है) से विभाजित करते हैं, बजाय n के, जिसे फिर मानक विचलन खोजने के लिए वर्ग किया जाता है। यह सुधार इस तथ्य की भरपाई करता है कि हम जनसंख्या के मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए नमूने के डेटा का उपयोग कर रहे हैं और सुनिश्चित करता है कि हमारा अनुमान निष्पक्ष है।

डेटा सेट का स्टैण्डर्ड डेविएशन माध्य के सापेक्ष इसके औसत फैलाव/डेविएशन/परिवर्तनशीलता को मापता है। जनसंख्या के लिए ग्रीक अक्षर σ या नमूने के लिए s आमतौर पर इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक उच्च σ या s मान सैंपल माध्य से डेटा बिंदुओं के अधिक फैलाव को इंगित करता है, और इसके विपरीत।

निम्नलिखित डेटा सेट उदाहरणों पर विचार करें।

(सेट I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(सेट II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 इन डेटा सेटों को कैलकुलेटर में प्रतिस्थापित करने पर, हम सेट I के लिए प्राप्त करते हैं

• x̄=16 - मिन मूल्य
• s=8.3904708 - स्टैण्डर्ड डेविएशन

सेट II के लिए

• x̄=16 - मिन मूल्य
• s=2.3664319 - स्टैण्डर्ड डेविएशन

सेट I में, संख्याएं सैंपल मिन (s=8.39) से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होती हैं जबकि सेट II में सेट I की तुलना में परिवर्तनशीलता छोटी (s=2.36) होती है।

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना के लिए सूत्र

यह सूत्र तब लागू होता है जब जनसंख्या के सभी मूल्यों का विश्लेषण किया जाता है।

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ जनसंख्या का स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• xᵢ जनसंख्या के व्यक्तिगत मूल्य का मूल्य है,
• μ जनसंख्या का अंकगणितीय मिन है,
• n जनसंख्या का आकार है।

जब बहुत बड़ी जनसंख्या हो और विश्लेषण के लिए केवल एक सैंपल लिया जाता है, तो नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s सैंपल का स्टैण्डर्ड डेविएशन है,
• xᵢ एक व्यक्तिगत सैंपल मूल्य का मूल्य है,
• x̄ सैंपल का मिन है,
• n सैंपल आकार है।

स्टैण्डर्ड डेविएशन गणना

स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना में निम्नलिखित चरण शामिल हैं।

चरण 1: सैंपल/जनसंख्या मिन की गणना करें। यह सभी डेटा बिंदुओं का योग N या n की संख्या से विभाजित होता है, अर्थात

सैंपल मिन:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

जनसंख्या मिन

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

चरण 2: प्रत्येक डेटा बिंदु से सैंपल/जनसंख्या मिन घटाकर डेविएशन की गणना करें, अर्थात

सैंपल डेविएशन:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

जनसंख्या डेविएशन:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

चरण 3: प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए वर्ग डेविएशन की गणना करें।

सैंपल स्क्वायर्ड डेविएशन:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

जनसंख्या वर्ग डेविएशन:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

चरण 4: सभी अलग-अलग वर्ग विचलनों को जोड़कर वर्ग विचलनों के योग की गणना करें

वर्ग डेविएशन का सैंपल योग:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

वर्ग डेविएशन का जनसंख्या योग:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

चरण 5: विचलन के वर्ग के योग को स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से विभाजित करें ताकि विचलन प्राप्त हो सके। जनसंख्या के लिए, N से विभाजित करें, और एक नमूने के लिए, n-1 से विभाजित करें।

नमूने का विचलन

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1} $$

जनसंख्या का विचलन

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N} $$

एक सैंपल के लिए वेरीयंस की गणना करते समय, हम मान सकते हैं कि हम गणना के लिए व्यंजक का उपयोग करेंगे:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

जहां

x̄ सैंपल मिन है और n सैंपल आकार है। लेकिन इस तरह के फॉर्मूले का इस्तेमाल नहीं किया जाता है।

इस तरह की अभिव्यक्ति जनसंख्या भिन्नता का सटीक अनुमान प्रदान नहीं करेगी। जब जनसंख्या बहुत बड़ी हो और सैंपल बहुत छोटा हो, तो इस सूत्र द्वारा परिकलित वेरीयंस जनसंख्या वेरीयंस को कम करके आंका जाएगा। डेटा की कमी के कारण, यह बहुत छोटा वेरीयंस दिखाएगा। इसलिए हम व्यंजक n-1 का उपयोग करके संभावित वेरीयंस मान को बढ़ाते हैं।

n से विभाजित करने के बजाय, हम n-1 से विभाजित करके सैंपल का प्रसरण पाते हैं। यह ऑपरेशन वास्तविक मूल्य के करीब थोड़ा बड़ा वेरीयंस मान देता है।

चरण 6: परिणामी संख्या का वर्गमूल निकालें। स्टैण्डर्ड डेविएशन वेरीयंस का वर्गमूल है।

सैंपल स्टैण्डर्ड डेविएशन

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

सैंपल के स्टैण्डर्ड डेविएशन गणना का उदाहरण

आइए हम भौतिकी के फाइनल में n=8 छात्रों के निम्नलिखित अंकों पर विचार करें:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 और 84

कैलकुलेटर निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके नमूने के मानक विचलन की गणना करता है:

चरण 1: मिन की गणना करें।

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

चरण 2: डेविएशन की गणना करें

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

चरण 3: डेविएशन के वर्गों की गणना करें

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

चरण 4: चुकता विचलनों का योग करें।

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

चरण 5: वर्ग डेविएशन के योग को स्वतंत्रता की डिग्री (n-1) से विभाजित करके प्रसरण की गणना करें। जनसंख्या के लिए, इस चरण में वेरीयंस को N-1 के बजाय N से विभाजित किया जाएगा। इस मामले में, हमारे पास एक सैंपल है, यानी छात्र जनसंख्या के एक हिस्से पर डेटा, पूरी जनसंख्या नहीं।

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

चरण 6: स्टैण्डर्ड डेविएशन प्राप्त करने के लिए प्रसरण का वर्गमूल लें।

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

स्टैण्डर्ड डेविएशन के अनुप्रयोग

डेटा स्कैटर को फैलाव और स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि वेरीयंस या स्टैण्डर्ड डेविएशन बड़ा है तो डेटा अधिक बिखरा हुआ है। दो (या अधिक) डेटासेट की तुलना करते समय, यह जानकारी यह निर्धारित करने में उपयोगी होती है कि कौन सा अधिक (अधिकतम) चर है।

गुणवत्ता नियंत्रण के लिए उद्योग में स्टैण्डर्ड डेविएशन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ उत्पाद विशेषताओं को बड़े पैमाने पर उत्पादन में एक परिभाषित सीमा के भीतर आना चाहिए, जिसे स्टैण्डर्ड डेविएशन की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नट और बोल्ट के निर्माण में, व्यास भिन्नता छोटी होनी चाहिए; अन्यथा, भाग एक साथ फिट नहीं होंगे।

वित्त और कई अन्य क्षेत्रों में जोखिम का आकलन करने के लिए एक स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग किया जाता है। बोलिंगर लाइन बनाने और अस्थिरता की गणना करने के लिए तकनीकी विश्लेषण में स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग वित्त में अस्थिरता के माप के रूप में किया जाता है, और इसका उपयोग समाजशास्त्र में जनमत सर्वेक्षणों में अनिश्चितता की गणना करने में मदद करने के लिए किया जाता है।

वेरीयंस और स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि दिए गए वितरण अंतराल में कितने डेटा मान आते हैं। उदाहरण के लिए, चेबीशेव के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी वितरण के लिए, कम से कम 75% डेटा मान माध्य के 2 स्टैण्डर्ड डेविएशन के भीतर होंगे।

आइए एक उदाहरण के रूप में मौसम को देखें। मान लें कि हम एक ही क्षेत्र के दो शहरों के दैनिक तापमान की जांच करते हैं। एक तट पर है, जबकि दूसरा अंतर्देशीय है। इन दोनों शहरों में औसत अधिकतम दैनिक तापमान समान हो सकता है। हालांकि, स्टैण्डर्ड डेविएशन, या अधिकतम दैनिक तापमान का प्रसार, महाद्वीप पर स्थित शहर के लिए अधिक होगा, जबकि तटीय शहर के लिए अधिकतम दैनिक तापमान का स्टैण्डर्ड डेविएशन छोटा होगा।

इसका मतलब यह है कि एक महाद्वीपीय शहर का अधिकतम वायु तापमान वर्ष के किसी भी दिन किसी तटीय शहर से अधिक भिन्न होगा। यानी तटीय शहर में मौसम हल्का रहेगा।