Standardabweichung Rechner

Standardabweichung als statistisches Maß

Die Standardabweichung ist eine der wichtigsten und am häufigsten verwendeten Metriken zur Beschreibung statistischer Datensätze. Einfach ausgedrückt ist sie ein Maß für die Streuung von Daten. Wenn Sie die Standardabweichung berechnen, erfahren Sie, ob die einzelnen Werte nah am Mittelwert liegen oder stark streuen. Sind die Datenpunkte weit vom Durchschnitt entfernt, weist der Datensatz eine hohe Variabilität auf. Je größer also die Streuung der Daten, desto höher fällt die Standardabweichung aus.

Unser Standardabweichungs-Rechner ermittelt diese wichtige Kennzahl für Ihren individuellen Datensatz und zeigt Ihnen transparent alle mathematischen Berechnungsschritte an.

So nutzen Sie den Standardabweichungs-Rechner

Der Rechner verarbeitet Zahlenreihen, die durch verschiedene Trennzeichen strukturiert sind. Einige Beispiele für unterstützte Eingabeformate finden Sie in der folgenden Tabelle.

Zeileneingabe	Spalteneingabe	Spalteneingabe	Spalteneingabe
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Ihre Zahlen können durch Kommas, Leerzeichen, Zeilenumbrüche oder eine Kombination daraus getrennt werden – egal, ob Sie diese als Zeile oder Spalte einfügen. Bei allen in der obigen Tabelle gezeigten Formaten liest der Rechner die Eingabe korrekt als die Zahlenreihe 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 und 89 aus.

Wählen Sie nach der Dateneingabe einfach aus, ob es sich um eine Stichprobe oder eine Grundgesamtheit (Population) handelt, und bestätigen Sie Ihre Eingabe. Der Rechner liefert Ihnen sofort fünf zentrale statistische Parameter: den Stichprobenumfang (Anzahl der Beobachtungen), den Mittelwert, die Summe der Abweichungsquadrate, die Varianz und die Standardabweichung.

Wofür wird dieser Rechner verwendet?

Dieser Rechner wurde entwickelt, um die empirische Standardabweichung diskreter Datensätze schnell und fehlerfrei zu ermitteln – und gleichzeitig das mathematische Konzept dahinter verständlich zu machen.

In der Statistik unterscheidet man zwischen der Grundgesamtheit (alle potenziellen Untersuchungsobjekte unter bestimmten Bedingungen) und der Stichprobe. Da es in der Praxis meist unmöglich oder unwirtschaftlich ist, die gesamte Grundgesamtheit zu erfassen, arbeitet man stattdessen mit einer repräsentativen Stichprobe. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse erlauben Schätzungen und Rückschlüsse auf die Gesamtpopulation.

Bei der Berechnung der Standardabweichung variiert die Formel je nachdem, ob Sie eine Stichprobe oder die vollständige Grundgesamtheit betrachten. Diese Anpassung erfolgt über die sogenannten „Freiheitsgrade“. Bei einer Stichprobe wird zur Berechnung der Varianz durch n - 1 (wobei n der Stichprobenumfang ist) anstelle von n dividiert. Aus dieser Varianz wird anschließend die Wurzel gezogen, um die Standardabweichung zu erhalten. Diese als Bessel-Korrektur bekannte Anpassung gleicht die Verzerrung aus, die entsteht, wenn Stichprobendaten zur Schätzung der wahren Standardabweichung der Grundgesamtheit herangezogen werden.

Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert. Sie wird meist mit dem griechischen Buchstaben σ für die Grundgesamtheit oder s für eine Stichprobe bezeichnet. Ein hoher Wert für σ oder s bedeutet, dass die Datenpunkte stark um den Mittelwert streuen und umgekehrt.

Vergleichen wir zwei einfache Datensätze:

(Datensatz I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Datensatz II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Gibt man diese Werte in den Rechner ein, ergeben sich für Datensatz I:

• x̄ = 16 (der Mittelwert)
• s = 8,3904708 (Standardabweichung)

Für Datensatz II:

• x̄ = 16 (der Mittelwert)
• s = 2,3664319 (Standardabweichung)

Obwohl beide Datensätze denselben Mittelwert aufweisen, weichen die Zahlen in Datensatz I stark vom Durchschnitt ab (s = 8,39), während die Variabilität in Datensatz II deutlich geringer ist (s = 2,36).

Formeln zur Berechnung der Standardabweichung

Die folgende Formel kommt zur Anwendung, wenn Sie die tatsächlichen Werte einer kompletten Grundgesamtheit analysieren:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit,
• xᵢ ist ein einzelner Wert der Grundgesamtheit,
• μ ist das arithmetische Mittel der Grundgesamtheit,
• N ist die Größe der Grundgesamtheit.

Liegt der Analyse hingegen nur eine Stichprobe zugrunde, wird diese Formel genutzt:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s ist die Standardabweichung der Stichprobe,
• xᵢ ist ein einzelner Wert der Stichprobe,
• x̄ ist der Mittelwert der Stichprobe,
• n ist der Stichprobenumfang.

Schritt-für-Schritt-Berechnung der Standardabweichung

Um die Standardabweichung manuell zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

Schritt 1: Berechnen Sie den Mittelwert. Addieren Sie dazu alle Datenpunkte und dividieren Sie die Summe durch die Anzahl der Werte N oder n.

Mittelwert der Stichprobe:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Mittelwert der Grundgesamtheit:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Schritt 2: Ermitteln Sie die individuellen Abweichungen, indem Sie den Mittelwert von jedem einzelnen Datenpunkt subtrahieren.

Abweichungen der Stichprobe:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})........................ (x_n-\bar{x})$$

Abweichungen der Grundgesamtheit:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu).................... (x_N-\ \mu)$$

Schritt 3: Quadrieren Sie jede dieser Abweichungen, um negative Vorzeichen zu eliminieren.

Quadrierte Abweichungen der Stichprobe:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2........................ (x_n-\bar{x})^2$$

Quadrierte Abweichungen der Grundgesamtheit:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2.................... (x_N-\ \mu)^2$$

Schritt 4: Bilden Sie die Summe der Abweichungsquadrate (häufig als SS für Sum of Squares bezeichnet).

Summe der quadrierten Abweichungen (Stichprobe):

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Summe der quadrierten Abweichungen (Grundgesamtheit):

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+ (x_3-\ \mu)^2...................+ (x_N-\ \mu)^2$$

Schritt 5: Dividieren Sie diese Summe durch die Anzahl der Freiheitsgrade, um die Varianz zu erhalten. Bei einer Grundgesamtheit teilen Sie durch N, bei einer Stichprobe durch n-1.

Stichprobenvarianz:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Varianz der Grundgesamtheit:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Warum n-1 bei Stichproben? Würde man bei einer Stichprobe einfach durch n teilen, so wie in diesem fiktiven Ausdruck:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

wobei x̄ der Stichprobenmittelwert und n der Stichprobenumfang ist, wäre das Ergebnis ein verzerrter (zu niedriger) Schätzwert für die wahre Varianz der Population. Besonders bei kleinen Stichproben würde diese Formel die Varianz unterschätzen. Die Division durch n-1 korrigiert diese Unterschätzung mathematisch. Das Ergebnis ist ein etwas größerer Varianzwert, der der Realität deutlich näher kommt.

Schritt 6: Ziehen Sie abschließend die Quadratwurzel aus der Varianz. Das Ergebnis ist die Standardabweichung.

Standardabweichung der Stichprobe:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Standardabweichung der Grundgesamtheit:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Beispiel: Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe

Betrachten wir die Prüfungsergebnisse von n = 8 Schülern in der Abschlussprüfung im Fach Physik:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 und 84.

Unser Rechner ermittelt die Standardabweichung dieser Stichprobe anhand der folgenden Teilschritte:

Schritt 1: Mittelwert berechnen.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Schritt 2: Abweichungen vom Mittelwert berechnen.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

Schritt 3: Abweichungen quadrieren.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

Schritt 4: Summe der Abweichungsquadrate bilden.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Schritt 5: Varianz berechnen. Da es sich hierbei um die Noten eines Teils der Klasse (Stichprobe) und nicht um alle Schüler der Schule (Grundgesamtheit) handelt, dividieren wir die Summe durch die Freiheitsgrade (n-1). Bei einer Grundgesamtheit würde an dieser Stelle durch N geteilt werden.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Schritt 6: Die Quadratwurzel der Varianz ziehen, um die finale Standardabweichung zu erhalten.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12,80$$

Anwendungsbereiche der Standardabweichung

Die Varianz und die Standardabweichung sind die wichtigsten Kennzahlen zur Bestimmung der Datenstreuung. Ist ihr Wert hoch, weisen die Daten eine große Streuung auf. Dies ist besonders wertvoll, wenn man zwei oder mehr Datensätze vergleicht, um herauszufinden, welcher die höchste Variabilität besitzt.

In der Industrie ist die Standardabweichung ein unverzichtbares Werkzeug der Qualitätskontrolle. Bei der Massenproduktion müssen Produkteigenschaften innerhalb strenger Toleranzen liegen, was durch die Überwachung der Standardabweichung sichergestellt wird. Bei der Herstellung von Schrauben und Muttern darf die Standardabweichung der Durchmesser beispielsweise nur minimal sein, da die Bauteile sonst nicht perfekt ineinandergreifen.

Im Finanzwesen gilt die Standardabweichung als klassisches Maß für das Risiko und die Volatilität von Anlageklassen. In der technischen Chartanalyse bildet sie unter anderem die mathematische Basis für die sogenannten Bollinger-Bänder.

Auch in der empirischen Sozialforschung ist diese Kennzahl allgegenwärtig – etwa um bei Meinungsumfragen den statistischen Fehler oder die Unsicherheit in Form von Konfidenzintervallen zu berechnen.

Zudem hilft die Standardabweichung dabei, Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Verteilungsintervalle abzuschätzen. Die Tschebyscheffsche Ungleichung besagt beispielsweise, dass unabhängig von der genauen Verteilungsform immer mindestens 75 % aller Datenwerte innerhalb von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert liegen.

Betrachten wir abschließend ein anschauliches Beispiel aus der Meteorologie: Wir vergleichen die Tagestemperaturen zweier Städte – eine an der Küste, die andere im Landesinneren. Beide Städte mögen dieselbe durchschnittliche Tageshöchsttemperatur aufweisen. Dennoch wird die Standardabweichung der Temperaturen in der kontinentalen Stadt deutlich größer sein. Das bedeutet, dass die Temperaturen im Landesinneren von Tag zu Tag viel stärker schwanken, während das Klima in der Küstenstadt ausgeglichener und milder ist (geringere Standardabweichung).