Calcolatore di Permutazioni

Il nostro calcolatore di permutazioni permette di calcolare in quanti modi è possibile disporre n oggetti distinti, estraendo un campione di r elementi alla volta. Questo strumento online ti aiuta a determinare il numero di disposizioni possibili quando l'ordine degli elementi è un fattore fondamentale. Il numero totale di oggetti da disporre è indicato con n, mentre la dimensione del campione (il numero di elementi per ogni sottogruppo) è indicata con r.

Per esempio, se vogliamo disporre le lettere XYZ in gruppi di due lettere ciascuno, avremo XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY, per un totale di 6 combinazioni ordinate (ovvero 6 modi diversi).

Per usare questo calcolatore, ti basterà inserire nel campo n il numero totale di oggetti disponibili e nel campo r il numero di elementi per ogni gruppo. Infine, clicca su "Calcola" per ottenere il risultato istantaneo.

Permutazioni

In matematica, una permutazione è una disposizione degli elementi di un insieme in una sequenza o in un ordine ben preciso. A differenza delle semplici combinazioni, nelle permutazioni l'ordine degli elementi è essenziale. Ad esempio, le sequenze AB e BA rappresentano due permutazioni nettamente distinte. Il numero di permutazioni di n oggetti raggruppati in campioni di r elementi è comunemente indicato dalla formula nPr.

Il calcolo delle permutazioni varia in base alla natura degli oggetti coinvolti e alla possibilità o meno di avere elementi ripetuti. Salvo diversa indicazione, nel calcolo standard delle permutazioni si presuppone sempre che le ripetizioni non siano consentite (permutazioni semplici).

In questa guida esamineremo nel dettaglio vari esempi pratici di permutazioni senza ripetizione.

Le permutazioni si basano sul principio fondamentale del calcolo combinatorio (o regola del prodotto). Questo principio stabilisce che se un esperimento si compone di k eventi sequenziali, in cui il primo può verificarsi in n₁ modi, il secondo in n₂ modi, e così via fino all'evento k-esimo che si verifica in nₖ modi, il numero totale di modi in cui l'intero esperimento può compiersi è dato dal prodotto: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Supponiamo di voler calcolare le possibili disposizioni delle lettere ABC escludendo le ripetizioni. Qualsiasi lettera può essere posizionata per prima (quindi abbiamo 3 opzioni per la prima lettera).

Fissata la prima, restano a disposizione due lettere per la seconda posizione (2 opzioni). Una volta scelta anche la seconda lettera, rimarrà soltanto un carattere disponibile per l'ultimo posto (1 opzione).

Applicando la regola del prodotto, il calcolo sarà 3 × 2 × 1 = 6 modi possibili per disporre le lettere ABC. Nello specifico, le disposizioni sono: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA.

Il Fattoriale

Come visto nel paragrafo precedente, il numero di permutazioni di 3 oggetti distinti si ottiene moltiplicando 3 × 2 × 1 = 6. In linea generale, il numero di permutazioni di n oggetti presi nella loro totalità si ricava dal prodotto: n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Questa operazione matematica, che consiste nel moltiplicare tra loro tutti i numeri interi positivi decrescenti da n fino a 1, prende il nome di fattoriale ed è indicata con il simbolo ! (punto esclamativo).

Pertanto, l'espressione n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 rappresenta l'n fattoriale.

È importante ricordare una convenzione fondamentale nel calcolo combinatorio: 0! = 1 e 1! = 1.

Esempio di Permutazioni

Una pista di atletica standard per le competizioni olimpiche comprende solitamente 9 corsie. Tuttavia, nelle gare dei 100 metri piani, la corsia 1 non viene quasi mai utilizzata. Di conseguenza, gli 8 velocisti in gara vengono distribuiti sulle corsie che vanno dalla 2 alla 9. In quanti modi diversi è possibile disporre questi 8 atleti ai blocchi di partenza?

Applicando il principio fondamentale del calcolo combinatorio:

• uno qualsiasi degli 8 corridori può essere assegnato alla corsia 2,
• uno dei restanti 7 corridori può occupare la corsia 3,
• uno dei restanti 6 corridori può posizionarsi nella corsia 4,
• uno dei restanti 5 corridori può ricevere la corsia 5,
• uno dei restanti 4 corridori può prendere la corsia 6,
• uno dei restanti 3 corridori può andare alla corsia 7,
• uno dei restanti 2 corridori può essere assegnato alla corsia 8,
• l'ultimo corridore rimasto occuperà la corsia 9.

Pertanto, il numero totale di permutazioni possibili per disporre gli 8 atleti sulle 8 corsie disponibili è pari a: 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 modi diversi.

Utilizzando il calcolatore di permutazioni, basterà inserire 8 sia nel campo n (oggetti) che nel campo r (campione) e cliccare su "Calcola" per ottenere istantaneamente il valore 40.320.

Permutazione di Sottoinsiemi

Finora abbiamo esaminato situazioni in cui l'intero insieme di oggetti viene impiegato per creare le varie disposizioni. Spesso, però, si presenta la necessità di organizzare in modo ordinato solo una parte degli elementi, formando gruppi più piccoli.

In questi scenari, dove il numero totale di elementi a disposizione è indicato con n e la grandezza dei sottogruppi (o campione) è indicata con r, la formula matematica che fornisce il numero esatto di permutazioni semplici (senza ripetizioni) è la seguente:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Questa formula è indispensabile per determinare in quanti modi possiamo estrarre e ordinare un campione r partendo da una popolazione n.

Nel caso in cui dovessimo invece calcolare le disposizioni utilizzando l'interezza dell'insieme senza tralasciare alcun elemento (cioè quando n = r), la formula si semplificherebbe nel mero calcolo del fattoriale:

$$ₙPᵣ=n!$$

Esempio

Riprendendo l'esempio precedente della gara dei 100 metri, avevamo calcolato le disposizioni di tutti e 8 i corridori in pista. Ora concentriamoci sull'obiettivo finale: in gara ci sono in palio le tre ambite medaglie. Il vincitore riceverà la medaglia d'oro, il secondo classificato l'argento e il terzo il bronzo. Tra gli 8 atleti ai blocchi di partenza, in quanti modi diversi si può formare il podio?

Seguendo il principio fondamentale del calcolo combinatorio, chiunque degli 8 velocisti può tagliare il traguardo per primo. Assegnato l'oro, resteranno 7 corridori a contendersi il secondo posto. Assegnato anche l'argento, saranno in 6 a lottare per la medaglia di bronzo. Pertanto, il numero totale di permutazioni possibili per le prime tre posizioni in un gruppo di 8 atleti è: 8 × 7 × 6 = 336

Utilizzando la formula canonica:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Sostituendo i valori otteniamo:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×...×1}{5×4×...×1}=8×7×6=336$$

Per verificare subito il risultato col nostro strumento online, inserisci 8 nel campo n (oggetti) e 3 nel campo r (campione) nel calcolatore di permutazioni, quindi clicca su "Calcola" per ottenere 336.

Permutazioni e Combinazioni: La Differenza

Un'altra tecnica imprescindibile nel calcolo delle probabilità e della statistica è rappresentata dalle combinazioni. Il calcolo delle combinazioni definisce i vari modi in cui un numero più piccolo di oggetti (il campione, indicato con r) può essere selezionato da un insieme più grande (n). Il numero di combinazioni di r elementi estratti da n è comunemente indicato con la notazione ₙCᵣ.

Nel definire la permutazione, abbiamo sottolineato più volte come l'ordine o la sequenza degli elementi sia cruciale. È proprio questo l'aspetto che traccia una linea di demarcazione netta tra le due operazioni: nelle combinazioni l'ordine di disposizione non ha alcuna importanza.

Tornando all'esempio pratico delle lettere XYZ raggruppate a due a due, abbiamo determinato che le permutazioni possibili sono sei: XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY.

Se invece andiamo a cercare le combinazioni delle medesime lettere in gruppi da due, il risultato scenderà a tre soltanto: XY, XZ e YZ. Questo perché nel calcolo delle combinazioni le coppie XY e YX sono considerate come la medesima selezione; lo stesso identico discorso vale per XZ rispetto a ZX, e per YZ rispetto a ZY. Di conseguenza, l'ordine di estrazione è ininfluente per le combinazioni.

La formula standard per calcolare il numero di combinazioni semplici di r oggetti da un insieme n è:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Esempio di Calcolo delle Combinazioni

Nell'esempio dei corridori analizzato poco fa, avevamo trovato i modi possibili in cui assegnare in modo specifico il primo, il secondo e il terzo posto all'interno di un gruppo di 8 atleti (usando la permutazione). Immaginiamo ora di voler semplicemente sapere in quanti modi possiamo selezionare i 3 medagliati sul totale degli 8 corridori, tralasciando però il colore della medaglia vinta. In pratica: non importa chi vince l'oro, l'argento o il bronzo, l'importante è rientrare tra i premiati.

In uno scenario del genere si ricorre alle combinazioni, in quanto la sequenza di arrivo non altera la composizione del trio sul podio. Risolviamo dunque il quesito impiegando la formula delle combinazioni:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Il numero di modi in cui possiamo formare un gruppo di 3 medagliati scegliendo tra 8 partecipanti sarà:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Esempi di calcolo delle permutazioni

1. Il produttore di un noto telegiornale deve scegliere 3 dei 5 ospiti disponibili per partecipare al dibattito di un programma di approfondimento. L'ordine in cui gli ospiti prenderanno parola è fondamentale per la scaletta. In quanti modi diversi il produttore può organizzare l'ingresso e gli interventi in studio? Trattandosi di una situazione in cui l'ordine temporale è rilevante e dove lo stesso ospite non può entrare in scena due volte (niente ripetizioni), possiamo avvalerci della formula delle permutazioni.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Il calcolo dimostra che il produttore televisivo ha a disposizione 60 modi diversi per organizzare l'ordine d'entrata dei suoi opinionisti.

2. Un rinomato critico gastronomico ha individuato i 10 migliori ristoranti di sushi della città e deve ora stabilire la classifica del podio (i primi 3 classificati). I ristoranti andranno ovviamente elencati in un ordine decrescente che ne rispecchi l'effettivo posizionamento. In aggiunta, nessun ristorante può comparire più volte nella medesima classifica. Queste restrizioni soddisfano in pieno i prerequisiti per adottare la formula delle permutazioni: l'ordine stabilisce una gerarchia e le ripetizioni sono omesse. Procediamo quindi col calcolo delle permutazioni:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Spesso, quando affermiamo che nelle permutazioni "l'ordine è importante", si è portati a pensare esclusivamente a una classica classificazione numerica (come un ranking da 1 a 10). In realtà, il concetto di "ordine" può concretizzarsi anche in determinati contesti logistici, ruoli o incarichi a cui vanno associati gli elementi dell'insieme.

Immaginiamo il responsabile di un'impresa di ristrutturazioni. Nella giornata odierna deve gestire quattro lavori di pittura: l'ufficio di un'agenzia visti, il magazzino di una fabbrica, un negozio di abbigliamento e una stanza in un'abitazione privata. L'impresa conta attualmente sei imbianchini in organico. Ciascuno di loro può essere assegnato a 1 sola struttura durante il turno lavorativo, il che significa che due dipendenti beneficeranno di un giorno libero.

I luoghi dei cantieri (l'ufficio, il magazzino, il negozio e la casa) fungono qui da contenitori ordinati, esattamente in modo analogo alle posizioni fisse 1°, 2°, 3° e 4°.

Di fronte a questa logistica, il responsabile avrà le seguenti opzioni di assegnazione:

• 6 potenziali candidati destinabili all'ufficio,
• 5 imbianchini rimasti a disposizione per il magazzino,
• 4 restanti operai da inviare al negozio di abbigliamento,
• 3 candidati finali per il lavoro nell'abitazione privata.

Intuitivamente, comprendiamo come il calcolo delle scelte totali ammonti a 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Soddisfatta la duplice condizione per cui la specifica destinazione di un operaio a un preciso cantiere ha valore di ordinamento, e appurato che non vi sono imbianchini che eseguono due lavori contemporaneamente (niente ripetizioni), risulta immediata l'applicazione della formula di permutazione vista in precedenza.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Il calcolo conferma che esistono ben 360 configurazioni diverse attraverso cui il responsabile può organizzare l'agenda di lavoro distribuendo i 4 cantieri operativi tra i 6 imbianchini della sua squadra.