Afstandsberekenaar

De onderstaande rekenmachines kunnen gebruikt worden om de afstand te vinden tussen twee punten in een tweedimensionale ruimte (2D-vlak) of driedimensionale ruimte (3D-ruimte), en ook om de afstand te berekenen tussen twee plaatsen die gedefinieerd zijn met breedtegraad en lengtegraad, of aangegeven zijn als de punten op de wereldkaart. Er staan 3 rekenmachines op deze pagina:

• 2D afstandsberekening
• 3D afstand berekenen
• Afstand tussen coördinaten berekenen

De 2D-afstandcalculator kan ook worden gebruikt om de lijnvergelijking te bepalen en de helling en hoek te vinden van de lijn die twee gegeven punten verbindt.

Gebruiksaanwijzing

2D afstandsrekenmachine

Deze rekenmachine vindt de afstand tussen twee punten op een 2D-vlak: punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂). Om de afstand tussen twee punten op een vlak te vinden, voer je de coördinaten van beide punten (X₁, Y₁, X₂, Y₂) in de overeenkomstige velden in en druk je op "Berekenen".

De rekenmachine zal het uiteindelijke antwoord, het gedetailleerde oplossingsalgoritme en de grafische voorstelling van de punten op het coördinatenvlak teruggeven. Bovendien zal de rekenmachine de helling en de hoek vinden van de lijn die de twee gegeven punten verbindt en de overeenkomstige lijnvergelijking bepalen.

3D afstandsberekening.

Deze calculator vindt de afstand tussen twee punten in een 3D-ruimte: punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁, Z₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂, Z₂). Om de afstand tussen twee punten in een 3D-ruimte te berekenen, voer je de coördinaten van beide punten (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂) in de overeenkomstige velden in en druk je op "Berekenen". De rekenmachine zal het uiteindelijke antwoord en het gedetailleerde oplossingsalgoritme teruggeven. Druk op "Wissen" om alle velden leeg te maken.

Afstand tussen coördinaten rekenmachine - Afstand gebaseerd op breedtegraad en lengtegraad

Gebruik deze rekenmachine om de afstand tussen twee punten op het aardoppervlak te vinden als hun coördinaten (breedtegraad en lengtegraad) bekend zijn. De calculator vindt de afstand tussen punt 1 met breedtegraad 1 en lengtegraad 1, en punt 2 met breedtegraad 2 en lengtegraad 2, gebaseerd op de aanname dat de vorm van de aarde kan worden benaderd als een ellipsoïde. De formules van Lambert worden gebruikt voor de berekeningen. Om deze rekenmachine te gebruiken, voer je de opgegeven waarden van breedtegraad 1, lengtegraad 1, breedtegraad 2 en lengtegraad 2 in de overeenkomstige velden in en druk je op "Berekenen". De calculator geeft de afstand tussen de punten in kilometers en mijlen.

Invoerwaarden

De coördinaten kunnen als volgt worden ingevoerd:

• Graad-minuut-seconde formaat, gevolgd door een kompasrichting uit de vervolgkeuzemenu's - N(orth) of S(outh) voor Breedtegraad en E(ast) of W(est) voor Lengtegraad. Hier moeten breedtegraden worden weergegeven door waarden tussen -90 en 90, en waarden tussen -180 en 180 door lengtegraden.
• Decimalen zonder kompasrichting. Het teken van de waarden geeft dan de richting aan: Breedtegraad is positief in het noorden (van de evenaar), negatief in het zuiden, en lengtegraad is positief in het oosten (van de nulmeridiaan) en negatief in het westen. Ook hier moeten breedtegraden worden weergegeven door waarden tussen -90 en 90, en waarden tussen -180 en 180 door lengtegraden. Druk op "Clear" om alle velden leeg te maken.

Afstand tussen twee punten op de kaart rekenmachine

Deze calculator vindt ook de afstand tussen twee punten op het aardoppervlak, gebaseerd op de aanname dat de vorm van de aarde benaderd kan worden als een ellipsoïde en gebruikt de formules van Lambert voor de berekeningen.

Om deze calculator te gebruiken, selecteer je twee punten op de bijgeleverde kaart. De calculator bepaalt automatisch de (decimale) coördinaten van de geselecteerde punten en berekent de afstand in kilometers en mijlen.

Alle calculators accepteren gehele getallen, decimalen en getallen in e-notatie als invoer.

Formules

In alle onderstaande formules wordt afstand aangegeven als d.

2D afstandsformule

De afstand tussen twee punten met coördinaten (X₁, Y₁) en (X₂, Y₂) op een tweedimensionaal vlak wordt berekend met behulp van de stelling van Pythagoras met de volgende formule:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

3D afstandsformule

De bovenstaande formule kan geëxtrapoleerd worden naar 3 dimensies om de afstand tussen punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁, Z₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂, Z₂) als volgt te vinden:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

Afstand berekenen op basis van breedtegraad en lengtegraad

In dit hoofdstuk worden de volgende symbolen gebruikt: ϕ voor breedtegraad en λ voor lengtegraad. Een punt met breedtegraad 1 en lengtegraad 1 wordt beschreven als (ϕ1, λ1).

Om de afstand tussen twee punten op het aardoppervlak te berekenen, moeten we de afstand langs het aardoppervlak berekenen. Daarom moeten we een benadering kiezen voor de vorm van het aardoppervlak. Er zijn drie meest voorkomende benaderingen:

1. Vlak oppervlak. Deze benadering werkt vrij goed voor korte afstanden. In dit geval kan de 2D-afstandsformule worden gebruikt. Er bestaan verschillende andere benaderingen om rekening te houden met de variatie in afstand tussen meridianen wanneer het aardoppervlak op een vlak wordt geprojecteerd.
2. Sferisch oppervlak. De formule voor deze benadering is gebaseerd op de aanname dat het aardoppervlak kan worden benaderd als een bol. Vervolgens wordt sferische trigonometrie gebruikt om een preciezere formule af te leiden die kan worden gebruikt voor aanzienlijke afstanden met een nauwkeurigheid van ongeveer 5%. Deze formule wordt de grootcirkelformule of de haversinusformule genoemd, omdat deze is afgeleid met behulp van een haversinus - een speciale goniometrische functie. Een haversinus van hoek θ is als volgt gedefinieerd: \$hav\ θ=\frac{(1-cos⁡θ)}{2}\$. En de haversinusformule voor de afstand tussen twee punten met coördinaten (ϕ₁, λ₁) en (ϕ₂, λ₂) ziet er als volgt uit:

$$d=2r\ arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)⁡+cos⁡\ φ₁×cos⁡\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)⁡}\right)$$

Waarbij r - de straal is van de bol die wordt onderzocht (in ons geval de gemiddelde straal van de aarde).

3. Ellipsoïdaal oppervlak. Deze benadering is het nauwkeurigst omdat de werkelijke vorm van de Aarde dichter bij een ellipsoïde ligt dan bij een bol. De kortste lijn (pad) die de twee punten op het oppervlak van een ellipsoïde verbindt wordt de geodeet genoemd en de lengte van dat pad wordt berekend met de formules van Lambert. Deze formules gebruiken gereduceerde breedtegraden β₁ en β₂ in plaats van ϕ₁ en ϕ₂: tan β = (1 - f) × tan ϕ, waarbij f - de afplatting is. De afstand wordt als volgt gevonden:

d = a (σ – f/2(X + Y))

Hierin is a - de equatoriale straal van de ellipsoïde (in ons geval de Aarde), σ - de centrale hoek tussen punt 1 (β₁, λ₁) en punt 2 (β₂, λ₂) in radialen. Deze hoek wordt berekend met de hierboven beschreven haversinusformule, ervan uitgaande dat de lengtegraden hetzelfde zijn op een bol en een overeenkomstige ellipsoïde. X en Y worden berekend met de volgende formules:

$$X=(σ-sin⁡σ)\frac{sin²⁡P\ cos²⁡Q}{cos²\frac{σ}{2}⁡}$$

$$Y=(σ-sin⁡σ)\frac{cos²⁡P\ sin²⁡Q}{sin²\frac{σ}{2}⁡}$$

waar, P = (β₁ + β₂)/2 en Q = (β₂ – β₁)/2

Toepassingen in het echte leven

Meestal bedoelen we 2D- of 3D-afstand als we het over afstand hebben. Dit omvat verschillende voorbeelden:

• De afstand tussen het einde van de rij en de voorkant van de rij (voor een rechte rij).
• De lengte van de helling van de heuvel waarop je aan het skiën bent.
• Zelfs de afstand tussen de zon en de planeten van het zonnestelsel.

De lengte- en breedtegraad, of de afstand tussen de punten op de kaart, wordt heel vaak gebruikt om de vliegroute van een vliegtuig van punt A naar punt B te berekenen, omdat een vliegtuig dat van de ene plaats naar de andere vliegt langs de ellipsoïdale oppervlakte van de aarde gaat - precies de situatie die wordt beschreven door de formules van Lambert!