Kalkulator for Pytagoras' læresetning

Denne Pytagoras-kalkulatoren finner enkelt lengden på en manglende side i en rettvinklet trekant når de to andre sidene er kjent. Alle beregninger drives av den grunnleggende Pytagoras' læresetning.

Bruksanvisning

Skriv inn de kjente sidelengdene og klikk på "Beregn" (Calculate). Vår kalkulator for rettvinklede trekanter vil umiddelbart returnere følgende verdier:

• Lengden på den tredje siden.
• Vinkelverdier for vinklene som ikke er 90°, i grader og radianer.
• Trekantens areal.
• Trekantens omkrets.
• Lengden på høyden ned på hypotenusen.

Kalkulatoren gir også en detaljert trinn-for-trinn-løsning, som du kan utvide ved å klikke på "+ Vis utregningssteg" (+ Show Calculation Steps).

For din enkelhets skyld inkluderer inntastingsfeltene for hver side både en heltallsdel og en kvadratrotdel, slik at du enkelt kan skrive inn nøyaktige verdier som 2√3, √3 og så videre.

Vær oppmerksom på at lengdene på katetene i trekanten (a og b) må være kortere enn lengden på hypotenusen (c).

Pytagoras' læresetning

Pytagoras' læresetning sier at i en rettvinklet trekant er kvadratet av hypotenusen (den lengste siden) lik summen av kvadratene til de to andre sidene (katetene).

Pytagoras' ligning kan skrives på følgende måte:

a² + b² = c²,

Der a og b representerer lengdene på de korteste sidene, eller katetene, i en rettvinklet trekant, og c er lengden på den lengste siden, hypotenusen. Med ord leses ligningen ovenfor vanligvis som: a i andre pluss b i andre er lik c i andre.

Bevis for Pytagoras' læresetning

Vi kan bevise Pytagoras' læresetning ved å sammenligne arealet til bestemte geometriske figurer.

I diagrammet ovenfor ser vi et stort kvadrat med sidelengde (a + b). Dette inneholder et mindre, indre kvadrat med sidelengde c, omgitt av fire identiske rettvinklede trekanter med sider a, b og c. La oss finne det totale arealet av dette store kvadratet ved å bruke to forskjellige metoder:

1. Arealet av det største kvadratet med sidelengden (a + b) kan beregnes som (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Alternativt kan det samme totale arealet finnes ved å legge sammen arealene til de indre figurene — arealet av det indre kvadratet med side c, og arealene til de fire rettvinklede trekantene med sider a, b og c. Arealet av det indre kvadratet beregnes som c². Arealet av hver rettvinklet trekant beregnes som (ab)/2. Derfor får vi:

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Siden begge disse beregningene beskriver nøyaktig det samme totale arealet, kan vi sette dem lik hverandre:

(a + b)² = c² + 2ab

Utvidelse av den første kvadratsetningen på venstre side av ligningen gir:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Subtraherer vi 2ab fra begge sider av ligningen, får vi:

a² + b² = c²

noe som matematisk beviser Pytagoras' læresetning.

Beregningsalgoritmer

Finn sidene i en rettvinklet trekant

Hvis to av sidene i en rettvinklet trekant er kjent, kan den manglende tredje siden enkelt finnes ved hjelp av Pytagoras' læresetning. For eksempel, hvis sidene a og b er gitt, kan lengden på hypotenusen c beregnes slik:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

På samme måte, for å finne en manglende katet:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

og

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Finne vinklene i en rettvinklet trekant

Hvis alle tre sidene i den rettvinklede trekanten er kjent, kan vinklene i trekanten som ikke er 90°, beregnes slik:

• ∠α = arcsin(a/c) eller ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) eller ∠β = arccos(a/c)

Her representerer ∠α vinkelen motstående til katet 'a', ∠β er vinkelen motstående til katet 'b', og 'c' er hypotenusen. Valget mellom å bruke arcsin (invers sinus) og arccos (invers cosinus) avhenger av hvilken katet du tar utgangspunkt i i forhold til vinkelen. Arcsin-funksjonen bruker den motstående kateten, mens arccos-funksjonen bruker den hosliggende kateten. Begge trigonometriske tilnærminger er helt gyldige og vil gi nøyaktige vinkelmål for enhver rettvinklet trekant.

Areal av en rettvinklet trekant

Arealet av en rettvinklet trekant beregnes som halvparten av produktet av de to katetene:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Omkrets av en rettvinklet trekant

Omkretsen av en rettvinklet trekant er rett og slett den totale summen av alle sidelengdene:

P = a + b + c

Høyden ned på hypotenusen

Når alle tre sidene i en rettvinklet trekant er kjent, kan høyden ned på hypotenusen (h) finnes ved hjelp av denne formelen:

h = (a × b)/c

Eksempler fra det virkelige liv

Pytagoras' læresetning er mye brukt i arkitektur, ingeniørfag og byggebransjen for å beregne de nøyaktige lengdene på nødvendige komponenter og sikre at strukturer opprettholder helt rette, vinkelrette hjørner. La oss se på et praktisk eksempel fra den virkelige verden der vi bruker denne matematiske læresetningen.

Tilpasning av gjenstander

Tenk deg at du skal flytte, og at du har leid en flyttebil som er 4 meter lang og 3 meter høy. Du har ikke mange store ting, men du eier en stige som er 4,5 meter lang. Vil stigen din få plass inne i bilen?

Løsning

Siden stigens lengde (4,5 meter) overstiger lengden på bilen (4 meter), er den eneste måten stigen vil få plass på, å legge den diagonalt. For å avgjøre om det er matematisk mulig, må vi bruke Pytagoras' læresetning for å beregne hypotenusen i en trekant der sidene tilsvarer bilens lengde og høyde. Derfor er i vårt tilfelle a = 4, b = 3, og vi må finne hypotenusen c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene a = 4 og b = 3, er c = 5. Dette betyr at det lengste stive objektet som kan få plass diagonalt inne i bilen, er nøyaktig 5 meter. Siden stigen din er 4,5 meter lang, vil den lett få plass!

Svar

Ja, stigen vil få plass.

Ytterligere beregninger

Vår hypotenus-kalkulator på nett beregner også flere ekstra geometriske egenskaper for den gitte rettvinklede trekanten. La oss se på de utvidede resultatene for vår flyttebil-trekant med sidene a = 4, b = 3 og hypotenusen c = 5.

Trekantens areal:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Trekantens omkrets:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Høyden ned på hypotenusen:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Vinkel motstående til side a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Vinkel motstående til side b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad