Calculadora de Valor Z

A Calculadora de Valor Z pode ser usada para qualquer tipo de cálculo relacionado à Valor Z. Você pode inserir um escore bruto (X), média populacional (μ) e desvio padrão (σ) na primeira calculadora para encontrar o Valor Z com passos e probabilidades relacionadas a esse escore de linha.

O conversor de Valor Z e Probabilidade ajuda você a converter entre Valor Z e probabilidade, sem referenciar uma tabela Z. Os resultados incluirão todos os cálculos de probabilidade possíveis com aquele valor Z único. Use a última calculadora para encontrar a probabilidade entre 2 Valores Z.

O que é valor Z?

Valor Z é uma medida estatística que descreve o número de desvios padrão de um ponto de dados em relação à média de um conjunto de dados. O valor Z é usado para comparar um único ponto de dados com todo o conjunto de dados e ajuda a padronizar os dados para que seja mais fácil de comparar e analisar.

O valor Z nos permite determinar como "típico" ou, inversamente, "atípico" um único ponto de dados é comparado com todo o conjunto de dados.

• Detectar valores anômalos: Os valores Z podem nos ajudar a identificar pontos de dados que são significativamente diferentes do resto dos dados. Isto é útil em áreas como finanças e pesquisa médica, onde os valores anômalos podem indicar padrões ou anomalias importantes.
• Compare os dados de diferentes conjuntos: O valor Z nos permite comparar dados de diferentes conjuntos, mesmo que tenham unidades ou intervalos diferentes. Isto é útil em áreas como machine learning, onde é necessário comparar dados de diferentes fontes para construir modelos.
• Normalizar os dados: Ao converter os dados em valores Z, podemos padronizar os dados e facilitar a comparação e análise. Isto é útil em áreas como a visualização de dados, onde precisamos apresentar os dados de forma compreensível.

A fórmula do valor Z

Valor Z para uma população

Z = Média da pontuação bruta / Desvio Padrão da População

Z = (X - μ) / σ

Valor Z para uma amostra

Z = Escore Bruto - Média da Amostra / Desvio Padrão da Amostra

Z = (X - x̄) / s

Interpretação dos resultados do valor Z obtido

Valor Z positivo: Um valor Z positivo significa que seu ponto de dados está acima do valor médio do conjunto de dados. Em outras palavras, seu ponto de dados observado é maior do que o valor típico do conjunto de dados.

Valor Z negativo: Um valor Z negativo significa que seu ponto de dados está abaixo do valor médio do conjunto de dados. Em outras palavras, seu ponto de dados observado é menor do que o valor típico no conjunto de dados.

Valor Z: O valor Z indica a que distância seu ponto de dados está da média do conjunto de dados. Quanto maior o valor Z, mais distante seu ponto de dados observado está do valor médio.

Valor Z e desvio padrão

O valor Z e o desvio padrão estão relacionados porque o desvio padrão é usado para calcular o valor Z. Na verdade, o desvio padrão é um componente chave da fórmula do valor Z.

O desvio padrão é uma medida da dispersão do conjunto de dados. Ele mostra a que distância de cada ponto de dados está do valor médio do conjunto de dados. Quanto maior for o desvio padrão, maior será a dispersão dos dados.

O valor Z, por outro lado, indica a que distância um ponto de dados está da média do conjunto de dados em relação ao desvio padrão. Ao usar o desvio padrão para calcular o valor Z, você pode comparar um ponto de dados com todo o conjunto de dados e ver quão incomum ou típico ele é.

Valor Z e a distribuição normal

A distribuição normal é um tipo de distribuição que é frequentemente encontrada em muitos fenômenos do mundo real. É uma curva em forma de sino que representa a distribuição de dados em torno da média de um conjunto de dados. A distribuição normal também é conhecida como distribuição Gaussiana, depois do matemático Carl Friedrich Gauss.

O valor Z é uma forma de medir quão longe um ponto de dados está da média de um conjunto de dados em relação ao desvio padrão. Ao converter cada ponto de dados em um valor Z, é possível comparar um ponto de dados individual com todo o conjunto de dados e ver o quão incomum ou típico ele é.

A conexão entre um valor Z e uma distribuição normal é que o valor Z pode ser usado para padronizar os dados e conformá-los a uma distribuição normal. Isto significa que você pode converter qualquer conjunto de dados para uma distribuição normal, convertendo cada ponto de dados para um valor Z. Isto é útil porque muitos métodos estatísticos assumem que os dados são normalmente distribuídos, portanto, a conversão dos dados para uma distribuição normal pode ajudá-lo a usar estes métodos com mais precisão.

Comparação de pontos de dados

O valor Z pode ajudá-lo a entender quão longe um ponto de dados está da média de um conjunto de dados em relação ao desvio padrão.

Nosso exemplo de usar o valor Z para comparar os pontos de dados se aplica às finanças. Por exemplo, você investiu em duas carteiras de ações diferentes e deseja comparar seu desempenho. O retorno médio da carteira A é de 10% com um desvio padrão de 2%, e o retorno médio da carteira B é de 8% com um desvio padrão de 3%. Ao converter os retornos em valores Z, você pode comparar os retornos de cada carteira e determinar qual delas tem melhor desempenho.

Outro exemplo prático de usar o valor Z para comparar os pontos de dados é no esporte. Por exemplo, você quer comparar o desempenho de dois jogadores de basquete, o jogador A e o jogador B. O jogador A marca uma média de 20 pontos por jogo para um desvio padrão de 5 pontos, e o jogador B marca uma média de 18 pontos por jogo para um desvio padrão de 3 pontos. Ao converter as pontuações em valor Z, você pode comparar o desempenho de cada jogador e determinar qual jogador está tendo um melhor desempenho.

Normalização de dados

A normalização dos dados é o processo de conversão de dados em uma escala padrão para que eles possam ser facilmente comparados e analisados. Isto é importante porque os dados podem ter diferentes formas e escalas, e a normalização dos dados garante que estejam na mesma escala e facilita a comparação e análise.

Ao converter cada ponto de dados em um valor Z, você pode padronizar os dados e colocá-los na mesma escala. Isto porque o valor Z está sempre em uma escala padrão, onde a média é 0 e o desvio padrão é 1.

Um exemplo prático de usar o valor Z para normalizar os dados diz respeito ao campo da psicologia. Por exemplo, você quer comparar os resultados de dois testes de QI, Teste A e Teste B. O teste A tem uma pontuação média de 100 com um desvio padrão de 15, e o teste B tem uma pontuação média de 110 com um desvio padrão de 10. Ao converter as pontuações em valor Z, as pontuações podem ser padronizadas e reduzidas a uma única escala, o que facilita a comparação e a análise.

Outro exemplo prático de utilização do valor Z para normalizar os dados está na educação. Por exemplo, você quer comparar as notas de dois alunos, o aluno A e o aluno B. O aluno A tem uma nota média de 80 com um desvio padrão de 5, e o aluno B tem uma nota média de 90 com um desvio padrão de 3. Ao converter as notas em coeficientes Z, você pode padronizar as notas e torná-las todas na mesma escala, o que facilita a comparação e a análise.

Teste de hipótese

O teste de hipóteses é uma técnica estatística usada para determinar se há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula, ou a hipótese padrão de que não há relação entre duas variáveis. É importante em muitos campos, incluindo pesquisa médica, ciências sociais e negócios, onde a tomada de decisões informadas com base em dados é crítica.

Ao testar hipóteses, os coeficientes Z podem ser usados para determinar a probabilidade de ocorrência de um determinado resultado. Por exemplo, você pode testar se o peso médio de um grupo de pessoas difere do peso médio de toda a população. Você pode usar o valor Z para determinar se a diferença é estatisticamente significativa.

Um exemplo prático de usar o valor Z para testar hipóteses é no campo médico. Por exemplo, você quer testar se um novo medicamento é eficaz para reduzir os sintomas de uma determinada doença. Você pode usar o valor Z para determinar se a diferença nos sintomas entre o grupo que toma o medicamento e o grupo de controle é estatisticamente significativa.

Outro exemplo prático de usar o valor Z para testar hipóteses é na área de finanças. Por exemplo, você quer testar se uma determinada ação tem um retorno maior do que a média das ações no mercado. Você pode usar o valor Z para determinar se a diferença nos retornos é estatisticamente significativa.

Escala de recursos

A escala de recursos é uma técnica usada em machine learning e outras aplicações de análise de dados para garantir que todos os recursos em um conjunto de dados tenham a mesma escala. Isto é importante porque alguns algoritmos de machine learning são sensíveis à escala dos dados e podem produzir resultados imprecisos se a escala não corresponder.

Um método comum de escala de traços é a normalização do valor Z, também conhecida como padronização. Neste processo, cada traço é convertido para que seu valor médio seja 0 e seu desvio padrão seja 1. A fórmula para calcular o valor de um traço Z-score é a seguinte:

Z = (X - Média) / Desvio Padrão

onde X é o valor do recurso, Média é a média do recurso, e Desvio Padrão é o Desvio Padrão do recurso.

Um exemplo prático de utilização de valor Z para escalar recursos está no campo da visão computacional. Quando se trabalha com dados de imagem, geralmente é necessário escalar os valores de pixel para que estejam na faixa de 0 a 1. Isto pode ser conseguido padronizando o valor Z, já que cada valor de pixel pode ser transformado para que seu valor médio seja 0 e seu desvio padrão seja 1.

Outro exemplo prático de utilização do valor Z para a escala de recursos é o processamento de linguagem natural. Quando se trabalha com dados textuais, é prática comum escalar os valores de frequência do termo e frequência inversa do documento (TF-IDF) para que estejam na faixa de 0 a 1, o que também pode ser alcançado usando a padronização do valor Z.

Modelagem preditiva

A modelagem preditiva é uma técnica utilizada em machine learning e outras aplicações de análise de dados para fazer previsões baseadas em dados históricos. Ela envolve o treinamento de um modelo em um conjunto de dados e a utilização desse modelo para fazer previsões sobre dados novos e não vistos.

Um aspecto importante da modelagem preditiva é a seleção de recursos, que envolve a seleção dos recursos mais relevantes do conjunto de dados para uso no modelo. Muitas vezes, traços que são altamente correlacionados com a variável alvo são preferidos porque eles são mais propensos a prever a variável alvo.

O valor Z pode ser usado para identificar traços que são altamente correlacionados com a variável alvo porque traços que têm um alto valor Z são mais propensos a prever a variável alvo. A fórmula para calcular o valor Z de um traço é a seguinte:

Z = (X - Média) / Desvio Padrão

onde X é o valor do recurso, Média é a média do recurso e Desvio Padrão é o Desvio Padrão do recurso.

Um exemplo prático de utilização de valor Z na modelagem prognóstica pertence ao campo das finanças. Ao prever os preços das ações, o valor Z do desempenho passado da ação pode ser usado para determinar seu potencial de retorno futuro. Um valor Z elevado indica que o retorno passado de uma ação está bem acima da média e pode ser projetado para maiores retornos no futuro.

Outro exemplo prático de utilização do valor Z na modelagem preditiva é no campo da saúde. Ao prever os resultados do paciente, o valor Z pode ser usado para determinar o potencial de um paciente para resultados futuros. Uma pontuação elevada no valor Z indica que os resultados de saúde de um paciente são significativamente piores do que a média e podem indicar resultados futuros ruins.

Usando a tabela de valor Z

Uma tabela z, também conhecida como tabela normal padrão ou tabela normal unitária, é uma tabela que contém valores padronizados usados para calcular a probabilidade de uma determinada estatística estar abaixo, acima ou entre a distribuição normal padrão.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,0279	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,0438	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,1293	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,1591	0,16276	0,1664	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,2054	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,2224
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,2549
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,2673	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,2823	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,3665	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,379	0,381	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,4032	0,4049	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,4222	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,4452	0,4463	0,44738	0,44845	0,4495	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,4608	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,4732	0,47381	0,47441	0,475	0,47558	0,47615	0,4767
2	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,4803	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,483	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,485	0,48537	0,48574
2,2	0,4861	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,4884	0,4887	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,4901	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,4918	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,4943	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,4952
2,6	0,49534	0,49547	0,4956	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,4972	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,4976	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,499
3,1	0,49903	0,49906	0,4991	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,4994	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,4995
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,4996	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,4997	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,4998	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,4999	0,4999	0,4999	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997
4	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998

Para usar a tabela z, você precisa encontrar a linha que corresponde ao seu valor Z calculado e então localizar a coluna correspondente que lhe dá a área (probabilidade) sob a curva normal. O valor resultante é a probabilidade aproximada de que uma variável aleatória de uma distribuição normal padrão será menor ou igual ao seu valor Z calculado.

Por exemplo, se você tiver um valor Z de 1,96, você procuraria na tabela z a linha que corresponde a 1,9 e a coluna que corresponde a 0,06. O valor resultante lhe daria a área sob a curva padrão normal à direita de 1,96. Este valor é aproximadamente 0,975, o que significa que aproximadamente 97,5% dos dados de uma distribuição normal padrão seriam menores ou iguais a 1,96.

É importante notar que a tabela z só funciona para uma distribuição normal padrão com uma média de 0 e um desvio padrão de 1. Se seus dados não seguirem esta distribuição, você precisará padronizá-los primeiro, transformando os dados em valores Z.

Encontrando a probabilidade a partir do valor Z

Quando convertemos uma variável normalmente distribuída em um valor Z, podemos usar a tabela de valor Z e encontrar a proporção da área sob a curva normal. A área total sob a curva normal padrão é igual a 1. Portanto, a proporção de área coberta em uma curva normal é igual à probabilidade desse valor Z.

Exemplo 1

Os pesos dos boxeadores são normalmente distribuídos com uma média de 75 Kg e um desvio padrão de 3 Kg. Qual é a probabilidade de que o peso de um pugilista selecionado aleatoriamente seja:

• a) Mais de 78 Kg?
• b) Menos de 69 Kg?
• c) Mais de 72 Kg?
• d) Menos de 79,5 Kg?
• e) Entre 72 Kg e 76,5 Kg?
• f) Entre 72 Kg e 73,5 Kg?

a) Qual é a probabilidade de um boxeador selecionado aleatoriamente pesar mais de 78 Kg?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Primeiro, vamos desenhar isto em uma curva Z.

Agora vamos usar a tabela Z para encontrar a probabilidade relevante para o valor Z calculado.

Lembre-se que o Valor Z sempre dá a probabilidade entre o valor Z e a média. Para obter a probabilidade da área destacada no gráfico, precisamos reduzir essa probabilidade de 0,5. (A probabilidade total sob a curva é 1, e a média da distribuição padrão segrega igualmente em 2 partes. Portanto, a probabilidade do ponto médio para cada lado da extremidade é 0,5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 – 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Portanto, há uma probabilidade de 0,1587 de que o peso de um jogador selecionado aleatoriamente seja superior a 78 Kg.

b) Qual é a probabilidade de que um jogador selecionado aleatoriamente pese menos de 69 kg?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Primeiro, vamos desenhar isto em uma curva Z.

Agora vamos usar a tabela Z para encontrar a probabilidade relevante para o Valor Z calculado.

Lembre-se que o Valor Z sempre dá a probabilidade entre o valor Z e a média. Para obter a probabilidade da área destacada no gráfico, precisamos reduzir essa probabilidade de 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 – 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Portanto, há uma probabilidade de 0,0228 de que o peso de um boxeador selecionado aleatoriamente seja inferior a 69 Kg.

c) Qual é a probabilidade de que o peso de um boxeador selecionado aleatoriamente esteja entre 72 kg e 76,5 kg?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Primeiro, vamos desenhar isto em uma curva Z.

Agora vamos usar a tabela Z para encontrar a probabilidade relevante para o Valor Z calculado.

Lembre-se que o Valor Z sempre dá a probabilidade entre o valor Z e a média. Para obter a probabilidade da área destacada no gráfico, você pode somar as probabilidades de 2 valores Z juntos.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Portanto, há uma probabilidade de 0,5328 de que o peso de um boxeador selecionado aleatoriamente esteja entre 72 Kg e 76,5 Kg.

Neste caso, é preciso usar a calculadora de Probabilidade entre dois valores Z para encontrar a resposta rapidamente.

Encontrando os Valores Correspondentes para a Probabilidade Especificada

Quando sabemos que a distribuição é normal, podemos encontrar os valores correspondentes às probabilidades especificadas com base no Valor Z.

Exemplo 2

As notas dos candidatos em um exame competitivo são normalmente distribuídas aproximadamente, com uma média de 55 e um desvio padrão de 10. Se os 30% melhores candidatos passarem no teste, encontre a nota mínima de aprovação.

Solução

Neste caso, primeiro temos que encontrar o valor Z' correspondente para a probabilidade ou porcentagem dada.

Para encontrar o Valor Z, precisamos realmente encontrar a probabilidade na área destacada. Ela é obtida deduzindo 0,30 de 0,50. Portanto, a probabilidade da área em destaque é de 0,20.

Agora, na tabela Z, temos que encontrar a probabilidade mais próxima de 0,20. O Valor Z correspondente é 0,524.

Então, temos que encontrar o valor X usando a fórmula do Valor Z.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Portanto, a nota mínima de aprovação para o exame é de 60,24.