Калькулятор треугольника

Калькулятор треугольника

Калькулятор треугольника позволяет быстро найти все измерения треугольника на основе трех известных измерений. Калькулятор принимает длины сторон треугольника и углы треугольника в качестве вводных данных и вычисляет следующие измерения:

• Длина отсутствующей стороны
• Отсутствующие углы треугольника
• Площадь
• Периметр
• Полупериметр
• Высоты всех сторон треугольника
• Медианы всех сторон треугольника
• Радиус вписанной окружности
• Радиус описанной окружности

Калькулятор также предоставляет координаты вершин, центроида, центра вписанной окружности и центра описанной окружности, предполагая, что координаты вершины A равны [0, 0].

Указания по использованию

Чтобы использовать этот калькулятор треугольника, введите любые три значения в поля ввода. Можете ввести значения любых углов или длин сторон. Обратите внимание, что по крайней мере одно из значений должно представлять длину стороны; в противном случае треугольник будет иметь бесконечные решения.

После ввода значений выберите единицы измерения углов треугольника. Можно выбрать между градусами или радианами. Если выбраны радианы, используйте «пи» для представления π. Например, если значение угла равно \$\frac{π}{3}\$, введите «Pi/3». После ввода известных значений нажмите «Рассчитать».

Калькулятор вернет все недостающие значения из приведенного выше списка, а также схематический вид треугольника для лучшей визуализации.

После ответа вы можете развернуть следующее поле — Показать шаги расчета — чтобы ознакомиться с алгоритмом решения и формулами, по которым был найден ответ.

Чтобы удалить все введенные данные, нажмите «Очистить».

Ограничения на вводные значения

По крайней мере, одно из известных значений должно быть длиной стороны.

При вводе следующей комбинации значений – двух углов и длины одной стороны – обратите внимание, что сумма значений углов должна быть меньше 180° или π.

При вводе трех длин сторон обратите внимание, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше, чем длина оставшейся стороны.

Пример расчета

Представьте, что вы переезжаете и хотите одолжить у друга грузовик. Вам нужно будет загружать и разгружать грузовик, но у него нет встроенного пандуса. У вас есть переносной пандус, однако нужно удостовериться, что его размеры соответствуют высоте грузовика. Ваш пандус не регулируется, и вы выяснили, что две его стороны имеют размеры 1м и 0,8м, а угол, противоположный стороне 1м, составляет 85 градусов (см. изображение). Вы знаете, что высоту грузовика можно регулировать от 0,5м до 1м. Подходит ли ваш пандус?

Дано

• сторона b = 1;
• сторона c = 0,8;
• угол B = 85 градусов.

Решение

Чтобы выяснить, подходит ли ваш пандус к грузовику, нужно решить треугольник, показанный выше, и оценить, соответствует ли длина стороны a заданному диапазону высоты грузовика: 0,5 < a < 1.

Подставив значения, представленные выше, в калькулятор треугольника, вы получите следующий ответ (в задаче нам понадобится только длина недостающей стороны, поэтому остальные ответы в данном практическом примере не демонстрируются, хотя они и вычисляются калькулятором):

Ответ

• Сторона a\ =\ 0,67376

• Сторона b\ =\ 1

• Сторона c\ =\ 0,8

• Угол A = 42,16° = 42°9'35" = 0,73582 rad

• Угол B = 85° = 1,48353 rad

• Угол C = 52,84° = 52°50'25" = 0,92224 rad

Пандус выглядит примерно так:

Мы видим, что a≈0.674, и знаем, что высоту грузовика можно регулировать в диапазоне 0,5 < a < 1. Это означает, что высота пандуса соответствует регулируемой высоте грузовика, и вы можете смело одалживать грузовик у своего друга вместо того, чтобы арендовать его!

Треугольник: определения и важные формулы

В геометрии треугольник — это плоская фигура, образованная пересечением трех прямых непараллельных линий. Также треугольник можно описать как многоугольник с тремя вершинами и тремя ребрами. Ребра треугольника обычно называют сторонами.

Условия существования треугольника

Два условия определяют существование треугольника; одно условие применяется к сторонам, а другое – к углам. Условие относительно сторон основано на неравенстве треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше или равна длине оставшейся третьей стороны. Если сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны, треугольник называется вырожденным.

Вырожденный треугольник — это треугольник, все три вершины которого лежат на одной прямой линии. Это особый случай треугольника, который в элементарной геометрии обычно не обсуждается и поэтому здесь не рассматривается.

Условие для углов гласит, что сумма трех углов любого треугольника всегда равна 180° или π радианам.

Измерения треугольника

Давайте определим наиболее важные измерения треугольника и посмотрим на формулы для расчета их значений.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон, которую можно найти следующим образом:

p = a + b + c

Полупериметр треугольника – это половина длины периметра треугольника:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Площадь треугольника — это свойство, описывающее, сколько места треугольник занимает на плоскости. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими двумя сторонами, площадь треугольника можно рассчитать следующим образом:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из одного из углов к противоположной стороне. Поскольку любой треугольник имеет три стороны, то и любой треугольник будет иметь три перпендикуляра. Высота, перпендикулярная стороне a, обычно обозначается как hₐ. Точно так же две другие высоты обозначаются как \$h_b\$ и h꜀. Проще всего найти высоту треугольника через его площадь:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Медиана к стороне треугольника – это линия, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы.

Медиана к стороне a обычно обозначается как mₐ. Точно так же две другие медианы обозначаются как \$m_b\$ и m꜀. Длины медиан можно найти по следующей формуле:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Радиус вписанной окружности – это радиус окружности, вписанной внутрь треугольника и касающейся всех его сторон.

Длину радиуса вписанной окружности r можно найти следующим образом:

$$r=\frac{A}{s}$$

Радиус описанной окружности - радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника.

Длину радиуса описанной окружности R можно найти по теореме синусов:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Теорема синусов также полезна для нахождения недостающих значений длин сторон или углов треугольника. Еще одним полезным правилом является теорема косинусов:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Приведенные выше формулы позволяют вычислить все измерения треугольника. Калькулятор треугольника использует эти формулы для поиска пропущенных значений.