Kikokotoo cha Pembetatu

Kikokotoo cha pembetatu

Kikokotoo cha pembetatu ni kitatuzi cha pembetatu cha mtandaoni chenye matumizi mengi kinachokuruhusu kupata haraka vipimo vyote vilivyokosekana vya pembetatu kulingana na vigezo vitatu vinavyojulikana. Kwa kuingiza tu urefu wa pande na pembe za pembetatu, zana hii pana hukokotoa papo hapo sifa zifuatazo:

• urefu wa pande ulizokosekana,
• pembe za pembetatu zilizokosekana,
• eneo,
• mzingo,
• nusu mzingo (semiperimeter),
• vimo vya pande zote za pembetatu,
• mistari ya kati (medians) kwa pande zote za pembetatu,
• rediasi ya ndani (inradius),
• rediasi ya nje (circumradius).

Zaidi ya hayo, kikokotoo hiki cha pembetatu hutoa viwianishi (coordinates) sahihi vya vertoksi (vertices), sentroidi (centroid), kitovu cha duara la ndani (incenter), na kitovu cha duara la nje (circumcenter), ikizingatiwa kuwa viwianishi vya vertoksi A viko kwenye chanzo [0, 0].

Maelekezo ya matumizi

Kutumia kikokotoo hiki cha pembetatu mtandaoni ni rahisi sana. Ingiza tu thamani zozote tatu zinazojulikana kwenye sehemu za kuingizia data. Hizi zinaweza kuwa mchanganyiko wowote wa pembe na urefu wa pande. Kumbuka: Angalau thamani moja iliyoingizwa lazima iwe urefu wa upande; vinginevyo, pembetatu itakuwa na masuluhisho yasiyo na kikomo (kutengeneza pembetatu zinazofanana).

Kisha, chagua vizio unavyopendelea kwa pembe za pembetatu—chagua kati ya digrii au radiani. Unapotumia radiani, tumia "pi" kuwakilisha π. Kwa mfano, ikiwa pembe yako ni $\frac{π}{3}$, ingiza tu "pi/3". Baada ya kuingiza vigezo vyako vinavyojulikana, bofya "Calculate" (Kokotoa). Kitatuzi kitazalisha papo hapo thamani zote zilizokosekana kutoka kwenye orodha iliyo hapo juu pamoja na mchoro wa kielelezo cha pembetatu ili kukusaidia kuona matokeo kwa urahisi.

Kwa wale wanaotaka kuelewa hisabati iliyo nyuma ya matokeo, unaweza kupanua sehemu ya "Show Calculation Steps" (Onyesha Hatua za Kukokotoa). Hii hutoa mchanganuo wa kina wa kanuni ya usuluhishi na fomula maalum za kijiometri zilizotumika kupata jibu la mwisho.

Vikomo vya thamani zinazoingizwa

Ili kitatuzi cha pembetatu kifanye kazi kwa usahihi, tafadhali zingatia sheria zifuatazo za kijiometri:

Kwanza, angalau thamani moja kati ya zile zinazojulikana lazima iwe urefu wa upande.

Unapoingiza pembe mbili na urefu wa upande mmoja, jumla ya pembe zilizotolewa lazima iwe chini kabisa ya 180° au π.

Unapoingiza urefu wa pande tatu, jumla ya pande zozote mbili lazima daima iwe kubwa kuliko urefu wa upande wa tatu uliobaki, kwa mujibu wa nadharia ya ukosefu wa usawa wa pembetatu (triangle inequality theorem).

Mfano wa kukokotoa

Fikiria unahama na unataka kuazima lori la kubebea mizigo kutoka kwa rafiki. Unahitaji kupakia na kupakua masanduku mazito, lakini lori halina rampa iliyojengewa ndani. Unamiliki rampa inayobebeka, lakini lazima uhakikishe vipimo vyake vinalingana na kimo cha lori kabla ya kuiazima.

Rampa yako hairekebishiki. Unaipima na kugundua kuwa pande zake mbili zina urefu wa m 1 na m 0.8, na pembe inayotazamana na upande wa m 1 ni digrii 85 kamili (kama inavyoonyeshwa kwenye picha). Pia unajua kimo cha mlango wa nyuma wa lori kinaweza kurekebishwa kuanzia m 0.5 hadi m 1. Swali ni: je, rampa yako itatoshea?

Iliyotolewa

• upande b = 1;
• upande c = 0.8;
• pembe B = digrii 85.

Suluhisho

Ili kubaini kama rampa yako inatoshea, unahitaji kutatua pembetatu na kuangalia ikiwa urefu wa upande A upo ndani ya masafa ya kimo kinachorekebishika cha lori: 0.5 < a < 1.

Kwa kuweka thamani zinazojulikana kwenye kikokotoo chetu cha pande za pembetatu, utapata vipimo halisi vinavyohitajika. Ingawa zana inakokotoa vigezo vyote vilivyokosekana, tunahitaji tu urefu wa upande uliokosekana kwa mfano huu wa vitendo:

Jibu

• Upande a = 0.67376

• Upande b = 1

• Upande c = 0.8

• pembe A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• pembe B = 85° = 1.48353 rad

• pembe C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

Muundo wa rampa unaopatikana unaonekana hivi:

Kama unavyoona, kimo kinachohitajika ni a ≈ 0.674 m. Kwa kuwa kimo cha lori kinarekebishika ndani ya masafa ya 0.5 < a < 1, rampa inatoshea kikamilifu! Unaweza kuazima lori kutoka kwa rafiki yako kwa raha badala ya kukodisha.

Pembetatu: ufafanuzi na fomula muhimu

Katika jiometri, pembetatu ni umbo la bapa lenye pande mbili linaloundwa na makutano ya mistari mitatu iliyonyooka na isiyo sambamba. Inaweza pia kuelezewa kama poligoni ya msingi yenye vertoksi tatu na kingo tatu. Katika hisabati ya kila siku, kingo za pembetatu kwa kawaida hujulikana kama pande zake.

Masharti ya kuwepo kwa pembetatu

Ili pembetatu yoyote iwepo, lazima ikidhi sheria mbili za msingi: moja inahusu pande zake, na nyingine inahusu pembe zake.

Sheria ya pande inajulikana kama nadharia ya ukosefu wa usawa wa pembetatu (triangle inequality theorem). Inasema kwamba jumla ya urefu wa pande zozote mbili za pembetatu lazima iwe kubwa kabisa kuliko urefu wa upande wa tatu uliobaki. Ikiwa jumla ya pande mbili fupi ni sawa kabisa na urefu wa upande wa tatu, inaunda pembetatu "iliyoharibika" (degenerate triangle).

Pembetatu iliyoharibika ni dhana ya kinadharia ambapo vertoksi zote tatu ziko kwenye mstari mmoja ulionyooka haswa (kwa kweli inaunda kipande cha mstari wa bapa). Kwa sababu hii ni kesi maalum sana ambayo kwa ujumla hutengwa katika jiometri ya msingi, kikokotoo chetu hakizingatii.

Sheria ya pembe inasema kwamba jumla ya pembe za ndani za pembetatu yoyote halali lazima daima iwe sawa na 180° kamili (au π radiani).

Vipimo vya pembetatu

Hebu tuchunguze vipimo muhimu zaidi vya pembetatu pamoja na fomula kuu za kijiometri zinazotumika kuvikokotoa.

Mzingo wa pembetatu ni umbali wa jumla unaozunguka ukingo wake wa nje, unaokokotolewa kwa kutafuta jumla ya urefu wa pande zote tatu:

p = a + b + c

Nusu mzingo ni nusu tu ya mzingo wa pembetatu:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Eneo la pembetatu hupima nafasi ya jumla iliyofungwa ndani ya pande zake tatu kwenye bapa ya 2D. Ikiwa unajua urefu wa pande mbili na kipimo cha pembe kati yake (pembe jumuishi), unaweza kukokotoa eneo ukitumia fomula hii:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Kimo cha pembetatu (au altitudo) ni kipande cha mstari wa wima kinachochorwa kutoka kwenye vertoksi hadi upande unaotazamana (au upanuzi wake). Kwa kuwa pembetatu ina vertoksi tatu, kiasili inamiliki vimo vitatu vya kipekee. Altitudo iliyochorwa kwenye upande a kwa kawaida huonyeshwa kama hₐ. Vile vile, vimo vingine viwili vinawakilishwa kama $h_b$ na h꜀. Njia rahisi zaidi ya kutafuta kimo cha pembetatu ni kwa kutumia eneo lake:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Mstari wa kati (median) wa pembetatu ni kipande cha mstari kinachounganisha vertoksi na sehemu ya kati kamili ya upande unaotazamana. Kwa hivyo, kila pembetatu ina mistari ya kati mitatu.

Mstari wa kati uliochorwa kwenye upande a huonyeshwa kama mₐ. Hali kadhalika, mistari ya kati mingine miwili inawakilishwa kama $m_b$ na m꜀. Unaweza kukokotoa urefu wa mstari wa kati wowote ukitumia fomula ifuatayo:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Rediasi ya ndani (inradius) ya pembetatu ni rediasi ya duara kubwa zaidi linalowezekana kuchorwa kikamilifu ndani ya pembetatu, na kugusa pande zake zote tatu.

Urefu wa rediasi ya ndani r unaweza kukokotolewa kwa kutumia eneo (A) na nusu mzingo (s):

$$r=\frac{A}{s}$$

Rediasi ya nje (circumradius) ya pembetatu ni rediasi ya duara lililochorwa nje—duara linalopitia kikamilifu kwenye vertoksi zote tatu za pembetatu.

Tunaweza kupata urefu wa rediasi ya nje R kwa kutumia Kanuni ya Saini:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Kanuni ya Saini ni muhimu sana kwa kutafuta urefu wa pande zilizokosekana au pembe zisizojulikana. Nadharia nyingine ya msingi ya kijiometri muhimu kwa kutatua pembetatu ni Kanuni ya Kosaini:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Fomula zilizofafanuliwa hapo juu hutoa kila kitu unachohitaji ili kukokotoa kipimo chochote cha pembetatu wewe mwenyewe. Hata hivyo, kwa ufanisi wa hali ya juu na usahihi, kikokotoo chetu cha pembetatu mtandaoni hutumia fomula hizi kamili chinichini ili kupata thamani zote zilizokosekana ndani ya sekunde chache!