İkinci Dereceden Formül Hesaplayıcı

İkinci Dereceden Denklem Hesaplayıcı Kullanımı

Bu hesaplayıcı, ikinci dereceden denklemleri çözen kolay kullanımlı bir araçtır. Cebirde, ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki formda yazılabilen herhangi bir denklemdir:

ax²+bx+c=0

burada

a≠0

İkinci dereceden denklem hesaplayıcısını kullanmak için, A, B ve C değerlerini ilgili alanlara girin ve "Hesapla"ya basın. A değeri sıfıra eşit olamazken, B ve C için sıfır kabul edilebilir bir giriştir. Reel ve karmaşık kökler için hesaplayıcı, verilen bir denklemi çözmek için ikinci dereceden formülü kullanacaktır. İkinci dereceden formülü kullanıldıktan sonra, hesaplayıcı ayrıca sonuçtaki radikali basitleştirerek çözümleri en basit hallerinde bulacaktır.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için ikinci dereceden formül kullanımı

İkinci dereceden formülü kullanarak herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. İkinci dereceden formülü kullanmak için, verilen denklemi önce aşağıdaki forma getirmeniz gerekir: ax²+bx+c=0. Sonra, çözümler aşağıdaki gibi bulunur:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Denklemin karekök altındaki kısmı, b²-4ac, diskriminant olarak adlandırılır.

• Eğer diskriminant pozitifse, b²-4ac>0, denklem iki reel köke sahip olacaktır.
• Eğer diskriminant negatifse, b²-4ac<0, denklem iki karmaşık köke sahip olacaktır çünkü negatif bir sayının karekökü karmaşık bir sayıdır.
• Eğer diskriminant sıfıra eşitse, b²-4ac=0, denklem yalnızca bir köke sahip olacaktır.

İkinci dereceden denklem hesaplayıcı, girilen denklemlerin çözümlerini ve bu çözümleri bulma sürecini gösterecektir. Hesaplayıcı ayrıca diskriminantı hesaplayacak ve bunun pozitif, negatif veya sıfıra eşit olup olmadığını gösterecektir.

Pratik Örnekler

Örnek 1 (Reel kökler ile)

İkinci dereceden denklemi çözelim:

2x²+3x-2=0

Bu örnekte

a=2, b=3, c=-2.

Bu değerler için ikinci dereceden formülü kullanarak, şunu elde ederiz:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Bu denklemin diskriminantı pozitiftir,

b²-4ac=25>0

Bu nedenle, denklem iki reel köke sahip olacaktır.

Şimdi sonuçtaki radikali basitleştirelim:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ ve\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ ve\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ ve\ \ \ x=-2$$

Sonuç olarak

x=0,5

x=-2

Örnek 2 (Karmaşık kökler ile)

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemi çözelim:

x²+2x+5=0

Bu örnekte

a=1, b=2, c=5

Bu değerler için ikinci dereceden formülü kullanarak, şunu elde ederiz:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Bu denklemin diskriminantı negatiftir,

b²-4ac=-16<0

Bu nedenle, denklem iki karmaşık köke sahip olacaktır.

Şimdi sonuçtaki radikali basitleştirelim:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Sonuç olarak,

x=-1+2i

x=-1-2i

Örnek 3 (Tek kök ile)

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemi çözelim:

3x²+6x+3=0

Bu örnekte

a=3, b=6, c=3

Bu değerler için ikinci dereceden formülü kullanarak, şunu elde ederiz:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Bu denklemin diskriminantı sıfıra eşittir, b²-4ac=0. Bu nedenle, denklem bir köke sahip olacaktır.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Sonuç olarak,

x=-1

İkinci Dereceden Formülün Türetimi

Yukarıda gösterildiği gibi, ikinci dereceden formülü, diskriminant pozitif, negatif ya da sıfıra eşit olsa da, her türlü ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanabilirsiniz. Şimdi, nasıl türetildiğini inceleyelim. Formülün kendisini unuttuğunuz durumda, formül türetiminin temel prensiplerini bilmek çok faydalı olabilir.

İkinci dereceden formülün türetme algoritması nispeten basittir ve tam kareyi tamamlama işlemine dayanır. Standart ikinci dereceden denklem ax²+bx+c=0 çözümlerini türetmek için aşağıdaki adımları izlemeniz gerekir:

1. Bir denklemimiz var:

ax²+bx+c=0

Sabit C'yi denklemin sağ tarafına taşıyın:

ax²+bx=-c

2. Kareli terim x² yanındaki A katsayısını ortadan kaldırın. Bunu yapmak için, denklemi A'ya bölün:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Her iki tarafa da

$$(\frac{b}{2a})^2$$

ekleyin:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Sol taraf artık

x²+2dx+d²

şeklinde bir formda. Bu ifade

(x+d)²

olarak yeniden yazılabilir.

Denkleminizde, d

$$\frac{b}{2a}$$

olarak ifade edilir.

Yani:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Bu ifadeyi formülün sol tarafına yerleştirin ve şimdilik sağ tarafı olduğu gibi bırakın:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Şimdi kök x, denklemin içinde sadece bir kez görünüyor.

5. Denklemin her iki tarafından da karekök çıkarın:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. $\frac{b}{2a}$ 'yı denklemin sağ tarafına taşıyın:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Denklemin sağ tarafını

$$\frac{2a}{2a}$$

ile çarpın:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Denklemi basitleştirin:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Sonuç olarak, ikinci dereceden formül elde ederiz:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

İkinci Dereceden Denklemlerle İlgili İlginç Bilgiler

• İkinci dereceden denklemin iki kökünün toplamı

$$\frac{-b}{a}$$

olarak hesaplanır. Sonuç olarak, ikinci dereceden denklemin diskriminantı b²-4ac sıfıra eşit olduğunda, denklemin tek kökünü

$$\frac{-b}{2a}$$

olarak bulabilirsiniz.

• İkinci dereceden denklemin iki kökünün çarpımı

$$\frac{c}{a}$$

olarak hesaplanır.

• "Quadratic" terimi, "kare" anlamına gelen Latince "quadratus" kelimesinden gelmektedir. Denklem, değişkenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu, yani değişkenin "kare" alındığı için ikinci dereceden olarak adlandırılmıştır.

• İkinci dereceden formülü, bugünkü şekliyle ilk olarak 628 yılında Hint matematikçi Brahmagupta tarafından açıklanmıştır. Brahmagupta, semboller kullanmak yerine çözümü kelimelerle tartışmıştır. Ancak, Brahmagupta sadece iki olası çözümden birini açıklamış, karekökün önündeki önemli ± işaretini atlamıştır.

• İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği y=ax²+bx+c, bir paraboladır. İkinci dereceden denklemin çözümleri veya kökleri, aslında grafiğin x-ekseniyle kesiştiği koordinatlardır. Eğer denklemin iki reel kökü varsa, grafik x-eksenini iki kez keser. Eğer denklemin sadece bir kökü varsa, ilgili parabolanın grafiği x-eksenine sadece maksimum veya minimum noktasında dokunur. Eğer denklemin reel kökleri yoksa, ilgili parabolanın grafiği x-ekseniyle hiç kesişmez.

• Kareli terim yanındaki katsayı, A, sıfıra yaklaştıkça, ilgili parabolanın grafiği daha düzleşir, sonunda düz bir çizgiye dönüşme eğilimindedir. a=0 olduğunda, denklem doğrusal olur ve grafiği açıkça düz bir çizgidir!

• Benzer şekilde, a>0 olduğunda, parabola yukarıya doğru açılır. Eğer a<0 ise, ilgili parabola aşağıya doğru açılır. a=0 olduğunda, "parabola" düzdür, yani düz bir çizgidir.

İkinci dereceden denklemler, bilimin tüm alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, fizikte, ikinci dereceden denklemler, mermi hareketini tanımlamak için kullanılır.