Kombinasyon Hesaplayıcı

Matematikte, verilen bir kümeden nesneleri seçme yollarının sayısını belirlemek için farklı stratejiler vardır. N olasılık içinden r sonuç nasıl seçilir? Bu, sıranın önemli olup olmamasına ve değerlerin tekrar edip etmemesine bağlıdır.

N olasılık içinden r sırasız sonuç seçme yolu kombinasyon olarak bilinir ve C(n, r) olarak yazılır. Ayrıca binom katsayısı olarak da adlandırılır. Bu hesaplayıcı, n nesne kümesinden r nesnenin kombinasyonunu hesaplamanıza olanak tanır.

Kombinasyon hesaplayıcısını kullanma kuralları

Verilen bir nesne kümesi için, belirli bir sıra veya özellik doğrultusunda bazılarını veya tümünü düzenleme veya seçme çeşitli yolları vardır. Hesaplayıcı, tekrarsız ve sıranın önemli olmadığı durumda n nesne kümesinden r nesneyi seçme yollarının sayısını hesaplar. Hesaplayıcı iki girdi ister:

• n = seçim yapılabilecek farklı nesnelerin sayısı ve
• r = doldurulacak pozisyonların sayısı.

Kombinasyon hesaplayıcısına veri girerken esas kriter şudur:

$$0 ≤ r ≤ n$$

Eğer n'den büyük bir r sayısı girerseniz, şu mesajı yazdıracaktır:

"Lütfen 0 ≤ r ≤ n giriniz."

Sayma temel prensibi

Temel Sayma Prensibi, farklı görevleri gerçekleştirme yollarını bulmamıza rehberlik eder. Saymanın iki temel kuralı vardır.

Toplama kuralı

Birinci görev m şeklinde ve ikinci görev n şeklinde yapılabiliyorsa, görevler eş zamanlı yapılamıyorsa mümkün olan yolların sayısı (m + n) olarak sayılabilir.

Çarpma kuralı

Birinci görev m şeklinde ve ikinci görev n şeklinde yapılabiliyorsa, her iki görev de eş zamanlı yapılabiliyorsa, bunları gerçekleştirme yolları (m × n) olarak sayılabilir.

Örnekler

Kafeterya 3 çeşit pasta ve 4 çeşit içecek satmaktadır. Bunlar arasında elma pastası, çilek pastası ve yaban mersini pastası bulunmaktadır. Ve portakal, üzüm, kiraz ve ananas suyu. Hem içecekler hem de pastalar 2 dolardan satılmaktadır. Yanınızda sadece 2 dolarınız var ve bir sent fazlası yok. Bu nedenle belirli bir seçim yapmak için 3 + 4 = 7 fırsatınız vardır.

Bir madeni para atışı yapmak ve bir zar atmak için kaç farklı yol olduğunu saymak istiyorsanız. Bir madeni paranın 2 yüzü olduğu için madeni para atma sayısı 2'dir. Aynı şekilde, bir zarı atma 6 olası yolu vardır. Her iki görevi de eş zamanlı olarak yapabilirsiniz, bu nedenle bir madeni para atıp bir zar atmanın 2 × 6 = 12 yolu vardır.

Eğer 52 kartlık bir desteden kartları yerine koymadan 2 kart çekmek isterseniz, birinciyi çekmek için 52 ve ikinciy

i çekmek için 51 yol vardır. Bu nedenle, iki kart çekme sayısı 52 × 51 = 2.652'dir.

Örnek Uzayları

Bir örnek uzay tüm olası sonuçların bir listesidir ve büyük harf S ile gösterilir. Aynı anda bir madeni para atma ve bir zar atmanın örnek uzayı şöyledir:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

On iki olası yol vardır. Sayma prensipleri, hepsini listelemek zorunda kalmadan deneylerin sayısını bulmamıza izin verir.

Kombinasyon

Sıranın önemli olmadığı durumlarda, n olasılıktan r tekrar etmeyen sonuç seçme sayısı kombinasyon olarak bilinir. Nesnelerin kombinasyonu C(n, r) olarak yazılır. Ayrıca binom katsayısı olarak da adlandırılır. Kombinasyon formülü şöyle tanımlanır:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Bir sayı veya harften sonra gelen ! işareti, bir sayının faktöriyelini kullandığımız anlamına gelir. Örneğin, n! sayının n faktöriyeli - veya 1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. 2 sayısının faktöriyeli 1 × 2'dir. 3 sayısının faktöriyeli 1 × 2 × 3'tür. 4 sayısının faktöriyeli 1 × 2 × 3 × 4'tür. 5 sayısının faktöriyeli 1 × 2 × 3 × 4 × 5'tir ve böyle devam eder. Faktöriyel yalnızca negatif olmayan tam sayılar için hesaplanabilir.

Bu formül kullanılarak kombinasyon hesaplamasının esas bir özelliği, nesnelerin tekrarı izin verilmez ve düzenleme sırası önemli değildir.

Örnek 1

Dört sayıdan oluşan bir küme düşünün:

{1, 2, 3, 4}

Aynı eleman çiftlerde tekrar edemiyorsa, bu kümeden iki elemanı kaç farklı şekilde bir araya getirebiliriz?

Eğer elemanların sırası önemliyse, oluşturulan gruplar permütasyonlardır:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Eğer sıra önemli değilse - gruplar kombinasyonlarla oluşturulur:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

6 olası kombinasyon vardır. Tüm olası kombinasyonların sayısını bulmak için formülü kullanabilirsiniz. Bu örnekte, $n=4$, $r=2$’dir. Buna göre,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Bu tam olarak Kombinasyon Hesaplayıcısının hesapladığı şeydir.

Örnek 2

A, B, C ve D harflerinin 3'lü bir grupta kombinasyonları nelerdir? Sıranın önemli olduğu durumda 24 olası permütasyon vardır. Kombinatoryal sayımda sıra önemsizdir. Bu nedenle, yalnızca ilk sıra ilgili olur, yani 4 olası kombinasyon vardır.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Bütün olası düzenlemeleri listelemek yerine, yukarıdaki kombinasyon formülünü kullanarak düzenlemelerin sayısını (sıranın önemli olmadığı durumlarda) hesaplayabiliriz. Burada, n=4 nesne var ve bir seferde r=3 alıyorsunuz. Buna göre,

$$C(n,r)=C(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permütasyon

Permütasyon, nesnelerin sırası önemli olduğunda nesneleri düzenleme yollarının sayısını tanımlar. n nesneler listesinden r nesne seçerken permütasyon için formül şu şekildedir:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Bu formülü kullanarak permütasyonları hesaplamanın iki ana özelliği, nesnelerin tekrarının izin verilmemesi ve nesnelerin sırasının önemli olmasıdır.

Örnek 3

Bir iş görüşmesinde 4 aday olduğunu varsayın. Seçim komitesinin görevi, adayları 1'den 4'e kadar sıralamaktır. İşte olasılıklar:

• 1. aday için - seçilecek 4 yol vardır
• 2. aday için - seçilecek 3 yol vardır
• 3. aday için - seçilecek 2 yol vardır
• 4. aday için - seçilecek yalnızca bir yol vardır

Çarpma kuralı, seçmenin toplam yollarını verir, yani 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ki bu da 4!'a eşittir. Diyelim ki adaylar

{A, B, C, D}

Sorunun örnek uzayı, aşağıda gösterilen tüm olası permütasyonları gösterir:

A ilk sırada	B ilk sırada	C ilk sırada	D ilk sırada
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Yukarıdaki tabloda gösterildiği gibi tüm olası düzenlemeleri listelemek yerine, permütasyon formülünü kullanarak olası düzenlemelerin sayısını hesaplayabiliriz. Yukarıdaki örnekte, n = 4 nesne var ve bir seferde r = 4 eleman alıyorsunuz. Buna göre,

$$P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Kombinasyonlar ve Permütasyonlar Arasındaki Fark

Kombinasyonlar ve permütasyonlar arasındaki temel fark, kombinasyonlarda elemanların sırasının önemli olmaması, permütasyonlarda ise elemanların sırasının önemli olmasıdır.