Permütasyon Hesaplayıcı

Permütasyon hesaplama aracı, n sayıdaki farklı nesnenin, her seferinde r adet seçilerek kaç farklı şekilde sıralanabileceğini (düzenlenebileceğini) hızlıca hesaplar. Nesnelerin gruplar halindeki dizilim sırasının önemli olduğu durumlarda, bize olası tüm düzenlemelerin toplam sayısını verir. İşlem yapılacak toplam nesne sayısı n ile, her grupta yer alacak eleman sayısı ise r ile gösterilir.

Örneğin, XYZ harflerinden ikişer harfli gruplar oluşturup bunları sıralamak istediğimizde; XY, XZ, YZ, YX, ZX ve ZY olmak üzere 6 farklı varyasyon elde ederiz.

Bu hesaplayıcıyı kullanmak oldukça basittir: Düzenlenecek toplam nesne sayısını ifade eden n değerini ve her gruptaki eleman sayısını belirten r değerini ilgili alanlara girin, ardından "Hesapla" butonuna tıklayın.

Permütasyonlar

Bir kümenin permütasyonu, o kümedeki elemanların belirli bir sıraya veya düzene göre dizilmesidir. Eğer bir küme zaten sıralanmış durumdaysa, bu mevcut sıralama da o küme elemanlarının bir permütasyonudur. Permütasyon hesaplamalarında elemanların diziliş sırası son derece önemlidir. Örneğin, AB ve BA dizilimleri birbirinden tamamen farklı iki permütasyon olarak kabul edilir. n adet nesne içerisinden r adet nesnenin seçilmesiyle oluşturulan permütasyon sayısı nPr şeklinde gösterilir.

Permütasyon sayısının hesaplanması, düzenlenen nesnelerin türüne ve tekrara izin verilip verilmediğine bağlıdır. Aksi özellikle belirtilmedikçe, permütasyon hesaplamalarında eleman tekrarına izin verilmediği (tekrarsız permütasyon) varsayılır.

Bu makalede, ağırlıklı olarak tekrarsız permütasyon örneklerini inceleyeceğiz.

Permütasyonlar, matematikteki "Temel Sayma Kuralı"na (Çarpma Yoluyla Sayma) dayanır. Bu ilke; bir deneyin veya sürecin, n₁ kez gerçekleşen birinci olay, n₂ kez gerçekleşen ikinci olay vb. şeklinde toplam k adet olaydan oluştuğunu belirtir. Bu ardışık olayların birlikte gerçekleşebileceği toplam farklı yolların sayısı, her bir olayın gerçekleşme sayılarının birbiriyle çarpılmasıyla bulunur: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Örneğin, ABC harflerinin tekrarsız permütasyonlarında kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulmak isteyelim. Herhangi bir harf ilk sıraya yerleşebilir, bu yüzden ilk harfi seçmek için 3 farklı yol vardır.

İlk harf belirlendikten sonra geriye iki harf kalır ve bu iki harften herhangi biri ikinci sıraya yerleşebilir. Dolayısıyla ikinci harfi seçmek için 2 farklı yol vardır. İkinci harf de belirlendikten sonra geriye sadece bir harf kalır ve üçüncü harfi seçmek için tek 1 yol kalmış olur.

Bu nedenle, temel sayma ilkesine göre ABC harflerini sıralamanın 3 × 2 × 1 = 6 farklı yolu vardır. Bu sıralamalar şunlardır: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB ve CBA.

Faktöriyel

Yukarıdaki örnekte, 3 farklı nesnenin permütasyon sayısının 3 × 2 × 1 = 6 olduğunu gördük. Genel bir kural olarak, n adet nesnenin tümünün bir arada kullanıldığı permütasyon sayısı n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 formülüyle hesaplanır.

Bu işlem, n'den 1'e kadar olan tüm ardışık tam sayıların çarpımıdır. Bir tam sayı olan n'den başlayarak 1'e kadar olan tüm tam sayıların çarpımına "faktöriyel" denir ve matematiksel olarak ! (ünlem işareti) ile gösterilir.

Yani, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 denklemine "n faktöriyel" adı verilir.

Matematiksel bir kural olarak 0! = 1 ve 1! = 1 olduğunu unutmamak önemlidir.

Permütasyon Örneği

Olimpiyatlarda kullanılan standart yarış pistlerinde genellikle 9 kulvar bulunur. Ancak 100 metre sürat koşularında genellikle 1. kulvar kullanılmaz. Geriye kalan 8 koşucu, 2'den 9'a kadar numaralandırılmış kulvarlara yerleştirilecektir. Peki, bu 8 koşucu 2'den 9'a kadar olan 8 kulvara kaç farklı şekilde dizilebilir?

Temel sayma ilkesine göre:

• 8 koşucudan herhangi biri 2. kulvara yerleşir,
• kalan 7 koşucudan herhangi biri 3. kulvara yerleşir,
• kalan 6 koşucudan herhangi biri 4. kulvara yerleşir,
• kalan 5 koşucudan herhangi biri 5. kulvara yerleşir,
• kalan 4 koşucudan herhangi biri 6. kulvara yerleşir,
• kalan 3 koşucudan herhangi biri 7. kulvara yerleşir,
• kalan 2 koşucudan herhangi biri 8. kulvara yerleşir,
• kalan son koşucu ise 9. kulvara yerleşir.

Bu mantıkla, 8 koşucunun 8 kulvarda dizilebileceği toplam olası permütasyon sayısı 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 şeklinde hesaplanır.

Permütasyon hesaplayıcımızda hem n (toplam nesne) hem de r (seçilen örnek) kutularına 8 girip "Hesapla" butonuna tıkladığınızda saniyeler içinde 40.320 sonucuna ulaşırsınız.

Alt Küme Permütasyonları

Önceki örneklerde, kümedeki tüm nesnelerin sıralamaya dahil edildiği permütasyon türlerini inceledik. Ancak çoğu zaman, büyük bir nesne grubunun sadece belirli bir kısmını (daha küçük grupları) alıp sıralamamız gereken durumlarla karşılaşırız.

Bu gibi durumlarda; toplam nesne sayısı n ile, oluşturulacak gruptaki (örneklem) nesne sayısı ise r ile ifade edilir. Alt kümelerin permütasyon sayısını hesaplayan formül şudur:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Bu formül, tekrarsız permütasyonları hesaplamak için kullanılır ve n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanın belirli bir sıraya göre dizilmesi gerektiği durumlarda uygulanır.

Eğer kümedeki tüm elemanları belirli bir sırayla ve tekrarsız olarak düzenlememiz gerekiyorsa (yani n = r ise), doğrudan aşağıdaki formülü kullanırız:

$$ₙPᵣ=n!$$

Örnek

Yukarıdaki koşu pisti örneğinde, 100 metre yarışındaki sekiz koşucunun kulvarlara kaç farklı şekilde dizilebileceğine bakmıştık. Şimdi aynı yarışın sonunda verilecek madalyaları düşünelim. Yarışı birinci bitiren altın, ikinci bitiren gümüş ve üçüncü bitiren koşucu bronz madalya kazanacaktır. Yarışan 8 koşucu arasından altın, gümüş ve bronz madalya kazanan üçlüyü belirlemenin kaç farklı yolu (permütasyonu) olabilir?

Temel sayma ilkesini uygulayalım: 8 koşucudan herhangi biri birinci (altın) olabilir. Birinci belli olduktan sonra, ikinci sıra (gümüş) için geriye 7 koşucu kalır. İkinci sıra da dolduğunda, üçüncü sıra (bronz) için 6 koşucu yarışır. Böylece 8 koşucu arasından ilk üç pozisyon için olası toplam permütasyon sayısı: 8 × 7 × 6 = 336'dır.

Aynı hesabı permütasyon formülümüzü kullanarak da yapabiliriz:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Değerleri yerine koyduğumuzda şu sonucu elde ederiz:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Permütasyon hesaplayıcımızda, n (nesne) kutusuna 8 ve r (örnek) kutusuna 3 girip "Hesapla"ya tıklayarak 336 sonucunu hızlıca görebilirsiniz.

Permütasyonlar ve Kombinasyonlar: Farkları Nelerdir?

Matematikte sıkça kullanılan bir diğer temel sayma tekniği ise kombinasyondur. Kombinasyon, n elemanlı büyük bir küme içinden, r elemanlı daha küçük bir alt küme seçmenin farklı yollarını ifade eder. n nesne içinden r nesnenin seçildiği kombinasyon sayısı genellikle ₙCᵣ ile gösterilir.

Permütasyonu tanımlarken, dizilişin veya sıralamanın hayati önem taşıdığını belirtmiştik. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki temel fark tam olarak budur: Kombinasyonlarda elemanların hangi sırayla dizildiğinin hiçbir önemi yoktur.

Örneğin, XYZ harflerinden seçilen ikişer harfli permütasyonlar: XY, XZ, YZ, YX, ZX ve ZY olmak üzere toplam 6 adettir (Sıra önemlidir).

Ancak, XYZ harflerinden seçilen ikişer harfli kombinasyonlar sadece XY, XZ ve YZ olmak üzere 3 adettir. Neden mi? Çünkü kombinasyon hesaplamalarında XY ile YX tamamen aynı grup kabul edilir. Benzer şekilde XZ ile ZX ve YZ ile ZY de birbirinin aynısıdır. Kısacası, kombinasyon hesaplarken "kimin önce, kimin sonra" geldiği önemsizdir; sadece grubun içinde kimlerin olduğuna bakılır.

n adet nesne içinden seçilen r adet nesnenin kombinasyonunu veren formül şu şekildedir:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Kombinasyon Hesaplama Örneği

Olimpiyat yarışçısı örneğimize geri dönelim. 8 koşuculuk bir gruptan birinci, ikinci ve üçüncü olanları (sıralı olarak) seçmenin kaç farklı yolu olduğunu hesaplamıştık. Şimdi ise, 8 koşucu arasından sıralamalarına veya aldıkları madalyanın rengine (altın, gümüş, bronz) bakılmaksızın, sadece madalya kazanan herhangi 3 koşucuyu seçmek istediğimizi varsayalım. Koşucunun kaçıncı olduğunun önemi yok, yeter ki o 3 kişilik madalya grubuna girmiş olsun.

Bu durumda sıralamanın bir önemi olmadığı için permütasyon yerine kombinasyon kullanmalıyız. Problemi kombinasyon formülü ile çözelim:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8 koşucu arasından rastgele 3 madalya sahibinin seçilebileceği olası yolların sayısı:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Permütasyon Hesaplama Örnekleri

1. Bir haber programı yapımcısı, yayınlayacağı analitik program için elindeki 5 uzman konuktan 3'ünü seçecektir. Konukların ekrana çıkış sırası izleyici etkileşimi açısından önemlidir. Ayrıca bir konuk aynı programda iki kez sahne alamayacağı için tekrar yapılamaz. Sıralamanın önemli olduğu ve tekrara izin verilmeyen bu durumda permütasyon formülünü kullanarak yapımcının sunumu kaç farklı şekilde düzenleyebileceğini bulabiliriz:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Görüldüğü üzere, yapımcının konuklarını yayına almak için 60 farklı seçeneği (permütasyonu) bulunmaktadır.

2. Bir gurme restoran eleştirmeni, şehrindeki en iyi 10 suşi restoranı arasından ilk 3'ünü belirleyip sıralayacaktır. Restoranlar sıralamadaki derecelerine (1., 2. ve 3.) göre sunulmalıdır ve bir restoran listede iki kez yer alamaz. Sıranın önemli olması ve tekrarlamanın olmaması nedeniyle permütasyon şartları sağlanmaktadır. Hesaplama şu şekilde yapılır:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

Eleştirmenin bu ilk 3'lük listeyi oluşturabileceği tam 720 farklı dizilim vardır.

3. Permütasyonlarda "sıralamanın önemli olduğunu" söylediğimizde, bu sadece 1'den 10'a kadar numaralandırılmış sayısal bir sıra olmak zorunda değildir. Sıralama kavramı, elimizdeki elemanları belirli görevlere, projelere veya farklı lokasyonlara atadığımızda da geçerlidir.

Örneğin, bir dekorasyon şirketinin yöneticisini düşünelim. Bugün boyanması gereken dört farklı iş siparişi var: Bir vize danışmanlık ofisi, bir fabrika deposu, bir giyim mağazası ve özel bir evdeki yatak odası. Şirketin elinde ise göreve hazır altı boyacı usta bulunuyor. Her bir usta gün boyunca sadece bir mekanda çalışabilir. Geriye kalan iki usta ise o günü izinli geçirecektir.

Buradaki 4 farklı mekan (ofis, depo, mağaza, ev); birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü pozisyonların (sıraların) tam olarak karşılığıdır.

Yöneticinin önündeki seçenekler şunlardır:

• Ofise gönderebileceği 6 aday ustası vardır.
• Depoya gönderebileceği geriye kalan 5 ustası vardır.
• Mağazaya gönderebileceği geriye kalan 4 ustası vardır.
• Özel eve gönderebileceği geriye kalan 3 ustası vardır.

Mantıken toplam seçim sayısını temel sayma ilkesiyle 6 × 5 × 4 × 3 = 360 olarak bulabiliriz.

Buradaki temel kural, boyacıların hangi mekana atanacağının (yani eşleştirme sırasının) farklı bir sonuç yaratmasıdır. Ayrıca bir boyacı aynı gün iki farklı mekanda çalışamayacağı için tekrara izin verilmez. Bu, tam anlamıyla bir permütasyon problemidir. Formülle ifade edecek olursak:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Sonuç olarak şirketin yöneticisi, mevcut 6 boyacısını elindeki 4 farklı işe 360 farklı varyasyonla dağıtabilir.