Калькулятор квартилів

Наш онлайн-калькулятор квартилів — це незамінний статистичний інструмент для швидкого отримання п'ятичислового зведення, яке є основою для побудови діаграм розмаху (також відомих як «графіки з вусами» або box plots). Цей зручний калькулятор статистики миттєво обчислює перший квартиль (Q1), другий квартиль (Q2, або медіану), третій квартиль (Q3), а також мінімальне та максимальне значення будь-якого заданого набору даних. Крім того, він автоматично та точно розраховує міжквартильний розмах (IQR) і загальний розмах.

Просто введіть або вставте ваші вихідні дані у поле вводу та натисніть кнопку «Обчислити». Для коректної роботи інструменту переконайтеся, що ви розділяєте кожне число комою або пробілом.

Квартилі

Квартилі — це ключові статистичні міри положення. Вони дозволяють визначити, де саме знаходиться конкретне значення відносно решти елементів у статистичному масиві даних.

За своєю суттю, квартилі ділять впорядкований набір даних (розташований у порядку зростання) на чотири рівні частини, або чверті. Кожна з цих частин містить однакову кількість точок даних. У статистиці для аналізу розподілу зазвичай обчислюють три основні квартилі:

• Перший квартиль (Q1 або нижній квартиль)
• Другий квартиль (Q2 або медіана)
• Третій квартиль (Q3 або верхній квартиль)

Перший квартиль (Q1) — це значення, яке відокремлює нижні 25% впорядкованих даних від верхніх 75%. Іншими словами, 25% даних є меншими за Q1, тоді як 75% — більшими. Це значення є еквівалентним 25-му процентилю набору даних.

Другий квартиль (Q2) — це значення, яке ділить набір даних рівно навпіл, відокремлюючи нижні 50% від верхніх 50%. Таким чином, 50% даних лежать нижче Q2, і 50% лежать вище нього. Другий квартиль точно дорівнює медіані, а також відповідає 50-му процентилю.

Третій квартиль (Q3) — це значення, яке відокремлює нижні 75% впорядкованих даних від верхніх 25%. Це означає, що 75% елементів є меншими за Q3, тоді як решта 25% — строго більшими. Цей показник відповідає 75-му процентилю.

Обчислення квартилів

Щоб розрахувати квартилі вручну, ви можете виконати кілька простих кроків:

• Розташуйте всі дані у порядку зростання.
• Знайдіть медіану всього набору даних. Це і є ваш другий квартиль (Q2).
• Знайдіть медіану тієї частини даних, яка знаходиться нижче другого квартиля. Це буде перший квартиль (Q1).
• Знайдіть медіану тієї частини даних, яка знаходиться вище другого квартиля. Це буде третій квартиль (Q3).

Приклад 1

Наведений нижче набір даних демонструє початкові зарплати випускників-бухгалтерів місцевого коледжу. Знайдіть медіану (Q2), нижній квартиль (Q1) та верхній квартиль (Q3) для цих зарплат і проаналізуйте результати.

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

Рішення

Спочатку розташуємо дані у порядку зростання (від найменшого до найбільшого).

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Потім знайдемо позицію другого квартиля (медіани).

$$Другий\ квартиль(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)-й\ елемент=\left(\frac{15+1}{2}\right)-й\ елемент=8-й\ елемент=58,000$$

Далі шукаємо медіану значень, які знаходяться строго нижче Q2, щоб визначити Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

Перший квартиль (Q1) = $50,000

Тепер шукаємо медіану значень, які знаходяться строго вище Q2, щоб визначити Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Третій квартиль (Q3) = $71,000

Ви можете інтерпретувати ці результати наступним чином:

25% випускників заробляють менше ніж $50,000, тоді як 25% найоплачуваніших фахівців отримують понад $71,000. Рівно 50% цих бухгалтерів заробляють більше ніж $58,000, а решта 50% мають дохід, нижчий за цю суму.

Як видно з прикладу вище, при роботі з непарною кількістю точок даних квартилі відповідають фактичним значенням із самого набору. Однак, якщо кількість точок парна, квартилі можуть не збігатися з початковими числами. Давайте змінимо перший приклад, щоб продемонструвати цю ситуацію.

Приклад 2

Припустімо, що з даних у Прикладі 1 було пропущено один запис про зарплату, яка становить $95,000. Знайдіть переглянуту медіану (Q2), нижній квартиль (Q1) та верхній квартиль (Q3) для оновленого списку зарплат.

Рішення

Спочатку розташовуємо оновлений масив даних у порядку зростання.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Потім визначаємо позицію квартилів.

$$Другий\ квартиль(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)-й\ елемент=\left(\frac{16+1}{2}\right)-й\ елемент=8.5-й\ елемент$$

$$Другий\ квартиль(Q2)=\frac{8-й\ елемент+9-й\ елемент}{2}=\frac{58,000+60,000}{2}=59,000$$

Тепер розділіть набір даних по медіані на дві окремі групи. Знайдіть медіану значень нижче Q2, щоб обчислити Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

Перший квартиль (Q1)=($50,000 + $52,000)/2 = $51,000

Далі знайдіть медіану значень вище Q2, щоб обчислити Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Третій квартиль (Q3) = ($71,000 + $72,000)/2 = $71,500

Міжквартильний розмах

Різниця між верхнім квартилем (Q3) та нижнім квартилем (Q1) відома у статистиці як міжквартильний розмах (IQR - Interquartile Range).

• Міжквартильний розмах (IQR) = Верхній квартиль - Нижній квартиль
• Міжквартильний розмах (IQR) = Третій квартиль - Перший квартиль
• Міжквартильний розмах (IQR) = Q3 - Q1

Розрахунок IQR фактично відсікає найнижчі 25% та найвищі 25% значень у масиві. Інакше кажучи, міжквартильний розмах фокусується виключно на розкиді центральних 50% ваших даних. Оскільки він ігнорує крайні значення (нижче Q1 і вище Q3), IQR є надзвичайно стійким до екстремальних значень та викидів. Це повністю усуває головний недолік, характерний для стандартного обчислення математичного розмаху.

Приклад 3

Знайдіть міжквартильний розмах для даних із Прикладу 1.

Рішення

Раніше ми вже розрахували квартилі для цього набору:

• Перший квартиль (Q1) = $50,000
• Другий квартиль (Q2) = $58,000
• Третій квартиль (Q3) = $71,000

Підставимо ці дані у формулу міжквартильного розмаху.

Міжквартильний розмах (IQR) = Третій квартиль (Q3) - Перший квартиль (Q1) = $71,000 - $50,000 = $21,000

Приклад 4

Знайдіть міжквартильний розмах для даних із Прикладу 2.

Рішення

Раніше ми визначили квартилі для цього оновленого набору:

• Перший квартиль (Q1) = $51,000
• Другий квартиль (Q2) = $59,000
• Третій квартиль (Q3) = $71,500

Підставимо ці дані у формулу.

Міжквартильний розмах (IQR) = Третій квартиль (Q3) - Перший квартиль (Q1) = $71,500 - $51,000 = $20,500

Мінімальне та максимальне значення

Мінімальне значення — це найменший елемент у наборі даних. Коли дані впорядковані за зростанням, це завжди найперше число.

Натомість максимальне значення — це найбільше спостереження у вибірці. У впорядкованому масиві це завжди останнє число.

Визначення мінімального та максимального значень має вирішальне значення для розуміння загального розкиду, або дисперсії, ваших даних. Статистичний розмах — найпростіша міра дисперсії — обчислюється безпосередньо за допомогою цих двох крайніх точок.

Приклад 5

Знайдіть мінімальне та максимальне значення в наборі даних із початковими зарплатами з Прикладу 1.

Рішення

Ми вже розташували дані у порядку зростання:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Мінімальна зарплата — це перша точка в масиві. Відповідно:

Мінімальна початкова зарплата випускників = $45,000

Максимальна зарплата — це остання точка в масиві. Відповідно:

Максимальна початкова зарплата випускників = $75,000

Приклад 6

Знайдіть мінімальне та максимальне значення в наборі даних із Прикладу 2.

Рішення

Впорядкований за зростанням масив виглядає так:

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Мінімальна зарплата — перше число в масиві. Відповідно:

Мінімальна початкова зарплата випускників = $45,000

Максимальна зарплата — останнє число в масиві. Відповідно:

Максимальна початкова зарплата випускників = $95,000

Розмах набору даних

У статистиці розмах є базовою мірою дисперсії (розкиду) даних. Він обчислюється як абсолютна різниця між найбільшим (максимальним) і найменшим (мінімальним) значеннями в масиві.

Розмах набору даних = Максимальне значення - Мінімальне значення

Розмах набору даних = Найбільше значення - Найменше значення

Розмах відображає загальну дистанцію між крайніми значеннями набору даних, що робить його досить грубим показником дисперсії.

Оскільки розмах залежить виключно від двох крайніх точок, він може легко спотворюватися, якщо ці точки є аномальними викидами. Оскільки цей показник не враховує центральні тенденції або характер загального розподілу, статистики зазвичай не вважають розмах найбільш надійною мірою дисперсії порівняно з міжквартильним розмахом (IQR).

Приклад 7

Знайдіть розмах для набору даних із початковими зарплатами з Прикладу 1.

Рішення

Раніше ми визначили екстремуми цього набору:

Мінімальна початкова зарплата = $45,000

Максимальна початкова зарплата = $75,000

Застосуємо ці значення до формули розмаху.

Розмах набору даних = Максимальне значення - Мінімальне значення = $75,000 - $45,000 = $30,000

Приклад 8

Знайдіть розмах для набору даних із Прикладу 2.

Рішення

Для цього набору ми отримали такі значення:

Мінімальна початкова зарплата = $45,000

Максимальна початкова зарплата = $95,000

Застосуємо формулу.

Розмах набору даних = Максимальне значення - Мінімальне значення = $95,000 - $45,000 = $50,000

Практичне застосування квартилів у бізнесі та аналітиці

Розрахунок квартилів є неймовірно корисним для аналізу розподілу даних та одночасного очищення масиву від екстремальних викидів. Нижче наведено приклади того, як різні галузі покладаються на квартильний аналіз для прийняття обґрунтованих рішень:

Управління персоналом (HR) — фахівці з персоналу розраховують квартилі заробітних плат під час формування зарплатних сіток у компанії. Цей статистичний підхід допомагає уникнути ситуацій, коли нетипово низькі виплати (наприклад, стипендії стажерів) або надвисокі гонорари (бонуси топменеджменту) спотворюють середню статистику оплати праці.

Фінансовий сектор — фінансові аналітики використовують квартилі для оцінки історичної динаміки витрат. Розуміючи, як розподілялися витрати у минулих періодах (по чвертях), вони можуть складати більш точні прогнози та уникати ризиків недофінансування або надмірного бюджетування.

Виробництво — квартильний аналіз надає менеджерам об'єктивні дані щодо реальних виробничих потужностей. Ізолюючи середні 50% показників, вони можуть оцінити типову продуктивність без спотворень, викликаних форс-мажорами (відключення електроенергії, страйки або раптові перебої з постачанням матеріалів).

Маркетинг — коли маркетологи аналізують ціноутворення конкурентів, вони використовують квартилі для визначення оптимальної ринкової ціни. Це дозволяє ефективно відкинути демпінгові ціни на неякісні товари та необґрунтовано завищені прайси преміумбрендів, зосередившись на реальному стані ринку.