Kvartilberegner

Vores online kvartilberegner er et uundværligt statistisk værktøj til hurtigt at finde det femtalsresumé, der kræves til boksplot. Denne alsidige statistikberegner finder øjeblikkeligt første kvartil (Q1), anden kvartil (Q2 eller median), tredje kvartil (Q3), minimumsværdi og maksimumsværdi for ethvert givet datasæt. Derudover beregner den nøjagtigt både kvartilafstanden (IQR) og den samlede variationsbredde.

Indtast eller indsæt blot dine rå data i indtastningsfeltet, og klik på knappen "Beregn". Sørg for at adskille hvert tal med et komma eller et mellemrum.

Kvartiler

Kvartiler er vigtige statistiske positionsmål. De hjælper med at beskrive, hvor en bestemt værdi befinder sig i forhold til resten af værdierne i et datasæt.

Kvartiler opdeler et ordnet datasæt (sorteret i stigende rækkefølge) i fire lige store dele eller fjerdedele. Hver af disse dele indeholder et lige stort antal datapunkter. I statistik beregner vi typisk tre hovedkvartiler for et datasæt:

• Første kvartil (Q1 eller nedre kvartil)
• Anden kvartil (Q2 eller medianen)
• Tredje kvartil (Q3 eller øvre kvartil)

Første kvartil (Q1) er den værdi, der adskiller de nederste 25 % af de ordnede data fra de øverste 75 %. Med andre ord falder 25 % af datapunkterne strengt under Q1, mens 75 % ligger over. Dette svarer til datasættets 25-percentil.

Anden kvartil (Q2) er den værdi, der deler datasættet præcist i to og adskiller de nederste 50 % fra de øverste 50 %. Derfor ligger 50 % af dataene under Q2, og 50 % ligger over. Anden kvartil er nøjagtig lig med medianen samt datasættets 50-percentil.

Tredje kvartil (Q3) er den værdi, der adskiller de nederste 75 % af de ordnede data fra de øverste 25 %. Det betyder, at 75 % af elementerne er lavere end Q3, mens de resterende 25 % er strengt højere. Dette svarer til datasættets 75-percentil.

Beregning af kvartiler

For at beregne kvartiler manuelt kan du følge disse enkle trin:

• Sortér dataene i stigende rækkefølge.
• Find medianen af dataværdierne. Dette er anden kvartil.
• Find medianen af de dataværdier, der ligger under anden kvartil. Dette er første kvartil.
• Find medianen af de dataværdier, der ligger over anden kvartil. Dette er tredje kvartil.

Eksempel 1

Det følgende datasæt repræsenterer startlønningerne for nyuddannede revisorer fra et lokalt universitet. Find medianen (Q2), nedre kvartil (Q1) og øvre kvartil (Q3) for disse startlønninger, og fortolk resultaterne.

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

Løsning

Først sorterer vi dataene i stigende rækkefølge.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Derefter finder vi placeringen af anden kvartil (medianen).

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{th}item=8^{th}item=58,000$$

Find derefter medianen af de dataværdier, der ligger strengt under Q2, for at bestemme Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

Første kvartil (Q1) = $50,000

Find derefter medianen af de dataværdier, der ligger strengt over Q2, for at bestemme Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Tredje kvartil (Q3) = $71,000

Du kan fortolke disse kvartilresultater på følgende måde:

25 % af de nyuddannede revisorer tjener mindre end $50,000, mens de øverste 25 % tjener mere end $71,000. Præcis 50 % af disse dimittender tjener mere end $58,000, og de resterende 50 % tjener mindre end det.

Som vist i eksemplet ovenfor svarer kvartilerne til faktiske oprindelige dataværdier, når man arbejder med et ulige antal datapunkter. Men med et lige antal datapunkter vil kvartilerne muligvis ikke svare direkte til startværdierne. Lad os ændre det første eksempel for at demonstrere dette.

Eksempel 2

Antag, at du manglede én lønregistrering fra dataene i Eksempel 1. Den manglende løn er $95,000. Find den reviderede median (Q2), nedre kvartil (Q1) og øvre kvartil (Q3) for de opdaterede startlønninger.

Løsning

Sortér først det opdaterede datasæt i stigende rækkefølge.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Derefter finder vi kvartilernes placering.

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{th}item=8.5^{th}item$$

$$Second\ quartile(Q2)=\frac{8^{th}item+9^{th}item}{2}=\frac{58,000+60,000}{2}=59,000$$

Del nu datasættet ved medianen op i to separate grupper. Find medianen af de dataværdier, der ligger under Q2, for at beregne Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

Første kvartil (Q1) = ($50,000 + $52,000)/2 = $51,000

Find derefter medianen af de dataværdier, der ligger over Q2, for at beregne Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Tredje kvartil (Q3) = ($71,000 + $72,000)/2 = $71,500

Kvartilafstand (IQR)

Forskellen mellem øvre kvartil (Q3) og nedre kvartil (Q1) kaldes kvartilafstanden (ofte forkortet IQR for Interquartile Range).

• Kvartilafstand (IQR) = Øvre kvartil - Nedre kvartil
• Kvartilafstand (IQR) = Tredje kvartil - Første kvartil
• Kvartilafstand (IQR) = Q3 - Q1

Beregningen af IQR fjerner effektivt de laveste 25 % og de højeste 25 % af værdierne i et datasæt. Med andre ord fokuserer kvartilafstanden udelukkende på spredningen af de midterste 50 % af dine data. Fordi den ignorerer værdier under nedre kvartil og over øvre kvartil, er kvartilafstanden meget modstandsdygtig over for ekstreme værdier og outliers. Dette eliminerer fuldstændigt den største ulempe ved beregninger af standardvariationsbredde.

Eksempel 3

Find kvartilafstanden for Eksempel 1.

Løsning

Vi har tidligere bestemt kvartilerne for dette datasæt:

• Første kvartil (Q1) = $50,000
• Anden kvartil (Q2) = $58,000
• Tredje kvartil (Q3) = $71,000

Lad os anvende ovenstående data i formlen for kvartilafstand.

Kvartilafstand (IQR) = Tredje kvartil (Q3) - Første kvartil (Q1) = $71,000 - $50,000 = $21,000

Eksempel 4

Find kvartilafstanden for Eksempel 2.

Løsning

Vi har tidligere bestemt kvartilerne for dette datasæt:

• Første kvartil (Q1) = $51,000
• Anden kvartil (Q2) = $59,000
• Tredje kvartil (Q3) = $71,500

Lad os anvende ovenstående data i formlen for kvartilafstand.

Kvartilafstand (IQR) = Tredje kvartil (Q3) - Første kvartil (Q1) = $71,500 - $51,000 = $20,500

Minimums- og maksimumsværdier

Minimumsværdien er ganske enkelt den laveste observation i et datasæt. Når data sorteres i stigende rækkefølge, er dette naturligvis den allerførste værdi.

Omvendt repræsenterer maksimumsværdien den højeste observation i et datasæt. I et ordnet datasæt er dette altid den sidste værdi.

Det er afgørende at identificere minimums- og maksimumsværdierne for at forstå den samlede spredning, eller dispersion, i dine data. Den statistiske variationsbredde – det mest grundlæggende spredningsmål – beregnes direkte ud fra disse to yderpunkter.

Eksempel 5

Find minimums- og maksimumsværdierne for det datasæt, der indeholder startlønningerne for de nyuddannede revisorer fra Eksempel 1.

Løsning

Vi har allerede sorteret datasættet i stigende rækkefølge, som vist nedenfor.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Minimumslønnen er det første datapunkt i rækken. Derfor:

Minimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $45,000

Maksimumslønnen er det sidste datapunkt i rækken. Derfor:

Maksimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $75,000

Eksempel 6

Find minimums- og maksimumsværdierne for det datasæt, der indeholder startlønningerne for de nyuddannede revisorer fra Eksempel 2.

Løsning

Vi har allerede sorteret datasættet i stigende rækkefølge, som vist nedenfor.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Minimumslønnen er det første datapunkt i rækken. Derfor:

Minimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $45,000

Maksimumslønnen er det sidste datapunkt i rækken. Derfor:

Maksimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $95,000

Variationsbredde for et sæt

I statistik er variationsbredden det mest grundlæggende mål for dataspredning. Den beregnes som den absolutte forskel mellem de største (maksimum) og mindste (minimum) værdier i et datasæt.

Variationsbredden for et sæt = Maksimumsværdi - Minimumsværdi

Variationsbredden for et sæt = Største værdi - Mindste værdi

Variationsbredden repræsenterer den samlede afstand eller spredning mellem yderpunkterne i et datasæt, hvilket gør det til et relativt groft spredningsmål.

Fordi den udelukkende afhænger af blot to ekstreme datapunkter, kan variationsbredden let forvrænges og blive skæv, hvis disse punkter er outliers. Da den ikke tager højde for de centrale data eller den overordnede fordeling, betragter statistikere generelt ikke variationsbredden som det mest robuste mål for statistisk spredning.

Eksempel 7

Find variationsbredden for datasættet med startlønningerne for de nyuddannede revisorer fra Eksempel 1.

Løsning

Vi har tidligere fundet minimums- og maksimumsværdierne for datasættet.

Minimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $45,000

Maksimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $75,000

Nu vil vi anvende ovenstående værdier i formlen for variationsbredde.

Variationsbredden for et sæt = Maksimumsværdi - Minimumsværdi = $75,000 - $45,000 = $30,000

Eksempel 8

Find variationsbredden for datasættet med startlønningerne for de nyuddannede revisorer fra Eksempel 2.

Løsning

Vi har tidligere fundet minimums- og maksimumsværdierne for datasættet.

Minimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $45,000

Maksimumsstartlønnen for nyuddannede revisorer = $95,000

Nu vil vi anvende ovenstående værdier i formlen for variationsbredde.

Variationsbredden for et sæt = Maksimumsværdi - Minimumsværdi = $95,000 - $45,000 = $50,000

Anvendelse af kvartilberegninger i den virkelige verden

Kvartilberegninger er utroligt nyttige, når man analyserer datafordelinger og samtidig filtrerer ekstreme outliers fra. Listen nedenfor fremhæver adskillige felter fra den virkelige verden, der i høj grad er afhængige af kvartiler til at træffe informerede, datadrevne beslutninger:

Human Resources (HR) - HR-professionelle beregner lønkvartiler, før de fastlægger lønrammer inden for en virksomhed. Denne statistiske tilgang hjælper med at forhindre, at ekstremt lave tal (som praktikantløn) og usædvanligt høje tal (som følge af ledelseserfaring eller specialiserede talenter) forvrænger den standardmæssige lønskala.

Økonomi - Finansanalytikere og -planlæggere bruger kvartiler til at evaluere historiske forbrugsvaner. Ved at forstå, hvordan tidligere udgifter var fordelt på kvartaler, kan de udarbejde mere præcise planer og undgå faldgruberne ved at overbudgettere eller underbudgettere.

Fremstilling - Kvartilanalyser giver ledere klare data om standardproduktionskapaciteter. Ved at isolere de midterste 50 % kan de evaluere en typisk ydeevne uden forstyrrelser forårsaget af anomalier som strømafbrydelser, strejker blandt arbejdere eller pludselig mangel på materialer.

Markedsføring - Når markedsførere analyserer konkurrenters prisstrategier, bruger de kvartiler til at etablere et standardmæssigt udgangspunkt. Dette giver dem mulighed for effektivt at udelade de drastisk lave priser på produkter af lav kvalitet og de stærkt oppustede priser på premium luksusmærker fra deres kernemarkedsanalyse.