Kikokotoo cha Kwataili

Kikokotoo chetu cha kwataili mtandaoni ni zana muhimu ya takwimu kwa ajili ya kupata haraka muhtasari wa namba tano unaohitajika kwa grafu za kisanduku na sharubu (Box-and-Whisker plots). Kikokotoo hiki cha takwimu chenye matumizi mengi kitatambua mara moja kwataili ya kwanza (Q1), kwataili ya pili (Q2 au midiani), kwataili ya tatu (Q3), thamani ya chini (minimum), na thamani ya juu (maximum) ya seti yoyote ya data iliyotolewa. Zaidi ya hayo, kinakokotoa kwa usahihi masafa ya kati ya kwataili (IQR) na masafa ya jumla (total range).

Chapa au weka data yako ghafi kwenye uwanja wa kuingiza data kisha ubofye kitufe cha "Kokotoa". Tafadhali hakikisha unatenganisha kila namba kwa kutumia koma au nafasi (space).

Kwataili

Kwataili ni vipimo muhimu vya kitakwimu vya nafasi. Zinasaidia kuelezea mahali ambapo thamani mahususi inaposimama ikilinganishwa na thamani nyingine zilizosalia kwenye seti ya data.

Kimsingi, kwataili hugawanya seti ya data iliyopangwa (iliyopangwa kwa mtiririko wa kupanda) katika sehemu nne zilizo sawa, au robo. Kila moja ya sehemu hizi ina idadi sawa ya pointi za data. Katika takwimu, kwa kawaida sisi hukokotoa kwataili kuu tatu kwa seti yoyote ya data:

• Kwataili ya kwanza (Q1 au kwataili ya chini)
• Kwataili ya pili (Q2 au midiani)
• Kwataili ya tatu (Q3 au kwataili ya juu)

Kwataili ya kwanza (Q1) ni thamani inayotenganisha 25% ya chini ya data iliyopangwa kutoka 75% ya juu. Kwa maneno mengine, 25% ya pointi za data zipo chini ya Q1, huku 75% zikiwa juu yake. Hii ni sawa na asilimia ya 25 (25th percentile) ya seti ya data.

Kwataili ya pili (Q2) ni thamani inayogawanya seti ya data katikati moja kwa moja, ikitenganisha 50% ya chini kutoka 50% ya juu. Kwa hivyo, 50% ya data ipo chini ya Q2, na 50% ipo juu yake. Kwataili ya pili ni sawa kabisa na midiani, na vilevile asilimia ya 50 ya seti ya data.

Kwataili ya tatu (Q3) ni thamani inayotenganisha 75% ya chini ya data iliyopangwa kutoka 25% ya juu. Hii ina maana 75% ya vipengee viko chini ya Q3, huku 25% iliyosalia ni kubwa zaidi. Hii inalingana na asilimia ya 75 ya seti ya data.

Ukokotoaji wa Kwataili

Ili kukokotoa kwataili kwa mikono (manually), unaweza kufuata hatua hizi rahisi:

• Panga data kwa mtiririko wa kupanda (ascending order).
• Tafuta midiani ya thamani za data. Hii ni kwataili ya pili.
• Tafuta midiani ya thamani za data ambazo ziko chini ya kwataili ya pili. Hii ni kwataili ya kwanza.
• Tafuta midiani ya thamani za data ambazo ziko juu ya kwataili ya pili. Hii ni kwataili ya tatu.

Mfano 1

Seti ifuatayo ya data inawakilisha mishahara ya kuanzia ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni kutoka chuo cha karibu. Tafuta midiani (Q2), kwataili ya chini (Q1), na kwataili ya juu (Q3) kwa mishahara hii ya kuanzia, na ufasiri matokeo.

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

Suluhisho

Kwanza, tutapanga data kwa mtiririko wa kuongezeka (kupanda).

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Kisha, tutatafuta nafasi ya kwataili ya pili (midiani).

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{th}item=8^{th}item=58,000$$

Kisha, tafuta midiani ya thamani za data zilizo chini ya Q2 ili kubaini Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

Kwataili ya kwanza (Q1) = $50,000

Kisha, tafuta midiani ya thamani za data zilizo juu ya Q2 ili kubaini Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Kwataili ya tatu (Q3) = $71,000

Unaweza kufasiri matokeo haya ya kwataili kama ifuatavyo:

25% ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni hupata chini ya $50,000, huku 25% ya juu wakipata zaidi ya $71,000. Kwa usahihi 50% ya wahitimu hawa wanapata zaidi ya $58,000, na 50% iliyosalia wanapata chini ya kiasi hicho.

Kama inavyoonekana katika mfano hapo juu, wakati wa kufanya kazi na idadi isiyo shufwa (odd number) ya pointi za data, kwataili hulingana na thamani halisi za asili za data. Hata hivyo, kukiwa na idadi shufwa (even number) ya pointi za data, huenda kwataili zisilingane moja kwa moja na thamani za awali. Hebu turekebishe mfano wa kwanza ili kudhihirisha hili.

Mfano 2

Tuseme ulikosa kuingiza mshahara mmoja kutoka kwenye data katika Mfano 1. Mshahara uliokosekana ni $95,000. Tafuta midiani mpya iliyosahihishwa (Q2), kwataili ya chini (Q1), na kwataili ya juu (Q3) kwa mishahara ya kuanzia iliyosasishwa.

Suluhisho

Kwanza, panga seti ya data iliyosasishwa kwa mtiririko wa kuongezeka.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Kisha, tutatafuta nafasi ya kwataili hizo.

$$Second\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{th}item=8.5^{th}item$$

$$Second\ quartile(Q2)=\frac{8^{th}item+9^{th}item}{2}=\frac{58,000+60,000}{2}=59,000$$

Sasa, gawanya seti ya data kwenye midiani ili kupata makundi mawili tofauti. Tafuta midiani ya thamani za data zilizo chini ya Q2 ili kukokotoa Q1.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

Kwataili ya kwanza (Q1)=($50,000 + $52,000)/2 = $51,000

Kisha, tafuta midiani ya thamani za data zilizo juu ya Q2 ili kukokotoa Q3.

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Kwataili ya tatu (Q3) = ($71,000 + $72,000)/2 = $71,500

Masafa ya kati ya kwataili (Interquartile range)

Tofauti kati ya kwataili ya juu (Q3) na kwataili ya chini (Q1) hujulikana kama masafa ya kati ya kwataili (IQR).

• Masafa ya kati ya kwataili (IQR) = Kwataili ya juu - Kwataili ya chini
• Masafa ya kati ya kwataili (IQR) = Kwataili ya tatu - Kwataili ya kwanza
• Masafa ya kati ya kwataili (IQR) = Q3 - Q1

Ukokotoaji wa IQR unaondoa kwa ufanisi 25% ya chini kabisa na 25% ya juu kabisa ya thamani katika seti ya data. Kwa maneno mengine, masafa ya kati ya kwataili yanalenga pekee kwenye mtawanyiko wa 50% ya kati ya data yako. Kwa sababu inajali tu maadili yaliyo kati, hupuuza thamani zilizo chini ya kwataili ya chini na zilizo juu ya kwataili ya juu, masafa ya kati ya kwataili yanastahimili sana thamani zilizokithiri (extreme values) na data potofu (outliers). Hili linaondoa kabisa kasoro kuu inayohusiana na ukokotoaji wa masafa ya kawaida.

Mfano 3

Tafuta masafa ya kati ya kwataili kwa Mfano 1.

Suluhisho

Tulitambua hapo awali kwataili za seti hii ya data:

• Kwataili ya kwanza (Q1) = $50,000
• Kwataili ya pili (Q2) = $58,000
• Kwataili ya tatu (Q3) = $71,000

Hebu tutumie data hapo juu kwenye fomula ya masafa ya kati ya kwataili.

Masafa ya kati ya kwataili (IQR) = Kwataili ya tatu (Q3) - Kwataili ya kwanza (Q1) = $71,000 - $50,000 = $21,000

Mfano 4

Tafuta masafa ya kati ya kwataili kwa Mfano 2.

Suluhisho

Tulitambua hapo awali kwataili za seti hii ya data:

• Kwataili ya kwanza (Q1) = $51,000
• Kwataili ya pili (Q2) = $59,000
• Kwataili ya tatu (Q3) = $71,500

Hebu tutumie data hapo juu kwenye fomula ya masafa ya kati ya kwataili.

Masafa ya kati ya kwataili (IQR) = Kwataili ya tatu (Q3) - Kwataili ya kwanza (Q1) = $71,500 - $51,000 = $20,500

Thamani za chini na za juu

Thamani ya chini ni uchunguzi ulio chini kabisa kwenye seti ya data. Data inavyopangwa kwa mtiririko wa kuongezeka, hii kiasili inakuwa thamani ya kwanza kabisa.

Kinyume chake, thamani ya juu inawakilisha uchunguzi wa juu zaidi kwenye seti ya data. Kwenye mpangilio uliotiwa mfuatano, hii mara zote huwa thamani ya mwisho.

Kutambua thamani za chini na za juu ni muhimu sana kwa kuelewa mtawanyiko wa jumla wa data yako. Masafa ya takwimu (statistical range)—kipimo cha msingi zaidi cha mtawanyiko—hukokotolewa moja kwa moja kutokana na pointi hizi mbili zilizokithiri.

Mfano 5

Tafuta thamani za chini na za juu za seti ya data yenye mishahara ya kuanzia ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni kutoka Mfano 1.

Suluhisho

Tumeshapanga tayari seti ya data kwa mtiririko wa kupanda kama inavyoonyeshwa hapa chini.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

Mshahara wa chini zaidi ni pointi ya kwanza ya data katika mpangilio. Kwa hivyo:

Mshahara wa chini wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $45,000

Mshahara wa juu zaidi ni pointi ya mwisho ya data katika mpangilio. Kwa hivyo:

Mshahara wa juu wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $75,000

Mfano 6

Tafuta thamani za chini na za juu za seti ya data yenye mishahara ya kuanzia ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni kutoka Mfano 2.

Suluhisho

Tumeshapanga tayari seti ya data kwa mtiririko wa kupanda kama inavyoonyeshwa hapa chini.

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

Mshahara wa chini zaidi ni pointi ya kwanza ya data katika mpangilio. Kwa hivyo:

Mshahara wa chini wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $45,000

Mshahara wa juu zaidi ni pointi ya mwisho ya data katika mpangilio. Kwa hivyo:

Mshahara wa juu wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $95,000

Masafa ya seti

Katika takwimu, masafa ndicho kipimo cha msingi zaidi cha mtawanyiko wa data. Hukokotolewa kama tofauti kamili (absolute difference) kati ya thamani kubwa zaidi (maximum) na ndogo zaidi (minimum) ndani ya seti ya data.

Masafa ya seti = Thamani ya juu - Thamani ya chini

Masafa ya seti = Thamani kubwa zaidi - Thamani ndogo zaidi

Masafa huwakilisha umbali wa jumla au mtawanyiko kati ya ncha za seti ya data, na kuifanya kuwa kipimo ghafi kidogo cha mtawanyiko.

Kwa sababu inategemea kabisa pointi mbili tu za data zilizokithiri, masafa yanaweza kupotoshwa na kuegemea upande mmoja (biased) ikiwa pointi hizo ni potofu (outliers). Kwa kuwa haizingatii data za kati au mtawanyiko wa jumla, kwa kawaida wanatakwimu hawaoni masafa kama kipimo imara zaidi cha mtawanyiko wa kitakwimu.

Mfano 7

Tafuta masafa ya seti ya data yenye mishahara ya kuanzia ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni kutoka Mfano 1.

Suluhisho

Hapo awali, tulipata thamani za chini na za juu za seti ya data.

Mshahara wa chini wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $45,000

Mshahara wa juu wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $75,000

Sasa, tutatumia thamani zilizotajwa hapo juu kwenye fomula ya masafa.

Masafa ya seti = Thamani ya juu - Thamani ya chini = $75,000 - $45,000 = $30,000

Mfano 8

Tafuta masafa ya seti ya data yenye mishahara ya kuanzia ya wahasibu waliohitimu hivi karibuni kutoka Mfano 2.

Suluhisho

Hapo awali, tulipata thamani za chini na za juu za seti ya data.

Mshahara wa chini wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $45,000

Mshahara wa juu wa kuanzia wa wahasibu waliohitimu hivi karibuni = $95,000

Sasa, tutatumia thamani zilizotajwa hapo juu kwenye fomula ya masafa.

Masafa ya seti = Thamani ya juu - Thamani ya chini = $95,000 - $45,000 = $50,000

Matumizi ya Ukokotoaji wa Kwataili Katika Ulimwengu Halisi

Ukokotoaji wa kwataili una manufaa makubwa sana wakati wa kuchanganua mtawanyiko wa data na wakati uo huo kuchuja na kuondoa thamani potofu zilizokithiri (extreme outliers). Orodha hapa chini inaangazia nyanja mbalimbali za ulimwengu halisi ambazo hutegemea sana kwataili kufanya maamuzi sahihi yanayoongozwa na data:

Rasilimali Watu - Wataalamu wa Rasilimali Watu (HR) hukokotoa kwataili za mishahara kabla ya kuanzisha viwango vya malipo ndani ya kampuni. Mbinu hii ya kitakwimu husaidia kuondoa viwango vya chini sana (kama vile posho za wanagenzi) na viwango vya juu visivyo vya kawaida (vitokanavyo na uzoefu wa kiutendaji au vipaji maalum) visipotoshe kipimo cha kawaida cha malipo.

Fedha - Wachambuzi na wapangaji wa masuala ya fedha hutumia kwataili kutathmini mienendo ya kihistoria ya matumizi. Kwa kuelewa jinsi matumizi ya zamani yalivyosambazwa katika robo hizo, wanaweza kuunda mipango sahihi zaidi na kuepuka changamoto za kupanga bajeti iliyopitiliza au pungufu.

Uzalishaji (Manufacturing) - Uchanganuzi wa kwataili huwapa mameneja data wazi kuhusu uwezo wa kawaida wa uzalishaji. Kwa kutenga 50% ya kati, wanaweza kutathmini utendaji wa kawaida bila upotoshaji unaosababishwa na hitilafu kama vile kukatika kwa umeme, migomo ya wafanyakazi, au uhaba wa ghafla wa malighafi.

Masoko - Wauzaji wanapochanganua mikakati ya bei ya washindani, wanatumia kwataili kuweka msingi wa kawaida. Hili linawaruhusu kuondoa kwa ufanisi bei za chini mno za bidhaa duni na bei za juu zilizopitiliza za bidhaa za anasa kwenye uchanganuzi wao mkuu wa soko.