Công cụ Máy tính định lý Pytago

Công cụ máy tính Pytago này giúp tìm ra độ dài một cạnh của một tam giác vuông nếu biết hai cạnh còn lại. Các phép tính được thực hiện dựa trên định lý Pytago.

Hướng dẫn sử dụng

Nhập độ dài cạnh đã biết và nhấn "Calculate" (Tính toán). Máy tính sẽ trả về các giá trị sau:

• Chiều dài cạnh thứ ba
• Giá trị góc của các góc không phải 90° tính bằng độ và radian.
• Diện tích hình tam giác.
• Chu vi của tam giác.
• Độ dài đường cao vuông góc với cạnh huyền.

Công cụ máy tính cũng sẽ đưa ra những lời giải chi tiết mà bạn có thể mở rộng bằng cách nhấn "+ Hiển thị các bước tính toán".

Lưu ý rằng các trường nhập cho mỗi cạnh bao gồm phần nguyên và phần căn bậc hai để bạn có thể nhập các giá trị như 2√3, √3, v.v. một cách thuận tiện.

Bên cạnh đó, xin lưu ý rằng giá trị của a và b, là các cạnh bên của tam giác, phải nhỏ hơn giá trị của cạnh huyền c.

Định lý Pitago

Định lý Pytato phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài các cạnh bên.

Định lý Pytgago có thể được viết như sau:

a² + b² = c²,

Trong đó a và b là độ dài của các cạnh ngắn hơn của một tam giác vuông hay còn gọi là cạnh bên và c - là độ dài của cạnh dài nhất hay còn gọi là cạnh huyền. Phương trình trên có thể được mô tả như sau: a bình phương cộng b bình phương bằng c bình phương.

Chứng minh định lý Pytago

Hãy chứng minh định lý Pytago bằng cách cộng diện tích.

Trong hình trên, hình vuông có cạnh (a + b) được tạo thành từ một hình vuông có cạnh c và bốn hình tam giác vuông có các cạnh a, b và c. Hãy tìm diện tích của hình vuông này bằng hai cách khác nhau:

1. Diện tích toàn phần của hình vuông có độ dài cạnh (a + b) có thể được tính bằng (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Diện tích bề mặt tương tự có thể được tính bằng tổng diện tích bề mặt của các hình tạo nên hình vuông - diện tích hình vuông có cạnh c và diện tích của bốn tam giác có các cạnh a, b và c. Diện tích hình vuông có cạnh c có thể được tính là c². Diện tích của tam giác vuông có các cạnh a, b và c có thể được tính bằng (ab)/2. Do đó,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Vì cả hai phép tính này đều mô tả cùng một diện tích bề mặt nên chúng ta có phương trình sau:

(a + b)² = c² + 2ab

Khai triển bình phương ở vế trái của phương trình, ta được:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Trừ 2ab từ cả hai vế của phương trình, chúng ta có được:

a² + b² = c²

đây là kết quả mà chúng ta đang tìm.

Thuật toán tính toán

Tìm các cạnh của một tam giác vuông

Nếu biết hai cạnh của một tam giác vuông thì cạnh thứ ba có thể được tính bằng định lý Pytago. Ví dụ: nếu cho cạnh a và b thì độ dài của cạnh c có thể được tính như sau:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

tương tự,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

và

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Tìm các góc của một tam giác vuông

Nếu biết cả ba cạnh của tam giác vuông thì các góc không phải 90° của tam giác đó có thể tính được như sau:

• ∠α = arcsin(a/c) or ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) or ∠β = arccos(a/c)

Ở đây, ∠α là góc đối diện với cạnh bên 'a', ∠β là góc đối diện với cạnh bên 'b' và 'c' là cạnh huyền. Việc lựa chọn giữa arcsin và arccos phụ thuộc vào cạnh bên (a hoặc b) mà bạn đang xem xét liên quan đến góc cần tính. Sử dụng arcsin, bạn sử dụng cạnh bên đối diện để tính góc và với arccos, bạn sử dụng cạnh bên liền kề để tính góc. Cả hai phương pháp đều hợp lệ và sẽ cho bạn số đo góc trong một tam giác vuông chính xác.

Diện tích của một tam giác vuông

Diện tích của một tam giác vuông có thể được tính bằng 1/2 tích hai cạnh bên của nó:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Chu vi của một tam giác vuông

Chu vi của một tam giác vuông được tính bằng tổng tất cả các cạnh của nó: P = a + b + c

Đường cao đến cạnh huyền

Nếu biết cả ba cạnh của một tam giác vuông thì đường cao đến cạnh huyền, h, có thể được tính như sau:

h = (a × b)/c

Ví dụ thực tế

Định lý Pytago thường được sử dụng rộng rãi trong kiến trúc và xây dựng để tính toán độ dài của các bộ phận cần thiết và đảm bảo các góc trong công trình xây dựng được chính xác. Hãy xem một ví dụ dưới đây áp dụng định lý này.

So khớp các đối tượng

Hãy tưởng tượng bạn đang chuyển các vật dụng và bạn thuê một chiếc xe tải có chiều dài 4 mét và chiều cao 3 mét. Bạn không có nhiều đồ vật cồng kềnh nhưng bạn lại có một chiếc thang dài 4,5 mét. Liệu chiếc thang của bạn có vừa với xe tải không?

Lời giải

Vì chiều dài của thang là 4,5 mét vượt quá chiều dài của xe tải là 4 mét, nên cách duy nhất để thang có thể vừa với bên trong xe là đặt theo đường chéo. Để xác định xem điều đó có khả thi hay không, chúng ta cần sử dụng định lý Pytago để tính cạnh huyền của một tam giác có cạnh bằng chiều dài và chiều cao của chiếc xe tải. Do đó, trong trường hợp này a = 4, b = 3 và chúng ta cần tìm c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Cạnh huyền của một tam giác có a = 4 và b = 3 là c = 5. Do đó, vật dài nhất có thể nhét vừa xe tải có thể là 5 mét. Thang của bạn dài 4,5 mét. Vì vậy, nó sẽ vừa với xe tải!

Đáp án

Có, chiếc thang vừa với xe tải.

Các phép tính khác

Công cụ máy tính trực tuyến này cũng sẽ giúp tính ra một số đặc điểm khác của tam giác đã cho. Tính các đặc điểm này cho tam giác có a = 4, b = 3 và c = 5.

** Diện tích của hình tam giác:**

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

** Chu vi của hình tam giác:**

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

** Đường cao đến cạnh huyền:**

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Góc đối diện với cạnh a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Góc đối diện với cạnh b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad