حاسبة التوافيق

هناك استراتيجيات مختلفة لتحديد عدد الطرق لاختيار الأشياء من مجموعة معينة في الرياضيات. ما عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار النتائج r من الاحتمالات n؟ يعتمد ذلك على ما إذا كان الترتيب مهمًا أم لا ويمكن أن تتكرر القيم أم لا.

يُعرف عدد طرق انتقاء النتائج غير المرتبة من الاحتمالات n باسم مجموعة ويتم كتابتها كـ C (n, r) عرف أيضًا باسم المعامل ذي الحدين. تمكنك هذه الآلة الحاسبة من حساب مجموعة كائنات r من مجموعة من الكائنات n.

قواعد استخدام الآلة الحاسبة

بالنسبة لمجموعة معينة من الكائنات، هناك عدد معين من الطرق لترتيب أو تحديد بعضها أو جميعها وفقًا لترتيب أو مواصفات معينة. تحسب الآلة الحاسبة عدد طرق اختيار الكائنات r من مجموعة n من الكائنات بدون تكرار وعندما لا يكون الترتيب مهمًا. تتطلب الآلة الحاسبة مدخلين:

• n = عدد العناصر المميزة للاختيار من بينها ، و
• r = عدد الأماكن المطلوب ملؤها.

المعيار الأساسي لإدخال البيانات في حاسبة التوافيق هو

$$0 ≤ r ≤ n$$

إذا قمت بإدخال رقم r أكبر من n ، فسيتم إظهار رسالة

"الرجاء إدخال 0 ≤ r ≤ n"

المبدأ الأساسي للعد

يرشدنا مبدأ العد الأساسي في إيجاد طرق لإنجاز المهام المختلفة. هناك نوعان من القواعد الأساسية للعد.

قاعدة الجمع

يمكن تنفيذ المهمة الأولى بطرق m ، ويمكن إنجاز المهمة الثانية بطرق n. إذا تعذر تنفيذ المهام في وقت واحد ، فيمكن حساب عدد الطرق الممكنة على أنها (m + n).

حكم المنتجات

يمكن تنفيذ المهمة الأولى بطرق m ويمكن إنجاز المهمة الثانية بطرق n. إذا كان من الممكن القيام بكلتا المهمتين في وقت واحد، فهناك طرق (m * n) لأدائهما.

أمثلة

تبيع الكافتيريا 3 أنواع من الفطائر و 4 أنواع من المشروبات. من بينها فطيرة التفاح وفطيرة الفراولة وفطيرة التوت. وعصير البرتقال والعنب والكرز والأناناس. تباع كل من المشروبات والفطائر مقابل 2 دولار. لديك دولاران فقط معك وليس سنتًا أكثر. إذن لديك 3 + 4 = 7 فرص للقيام باختيار معين.

لنفترض أنك تريد حساب عدد الطرق لقلب عملة معدنية ورمي حجر نرد. عدد الطرق التي يمكنك من خلالها قلب عملة هو 2 لأن العملة لها وجهان. وبالمثل، هناك 6 طرق محتملة يمكنك من خلالها رمي حجر النرد. نظرًا لأنه يمكنك القيام بكلتا المهمتين في وقت واحد، فهناك إذن 2 * 6 = 12 طريقة يمكنك من خلالها قلب عملة معدنية ورمي نرد.

إذا كنت ترغب في سحب ورقتين من مجموعة مكونة من 52 بطاقة دون استبدالها، فهناك 52 طريقة لرسم الطريقة الأولى و51 طريقة لرسم الثانية. لذلك، فإن عدد طرق سحب ورقتين هو 52 * 51 = 2,652.

مساحات العينة

مساحة العينة عبارة عن قائمة بجميع النتائج المحتملة ويُشار إليها بالحرف الكبير S مساحة العينة لقلب عملة معدنية ودحرجة قالب في وقت واحد هي

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

هناك اثنا عشر طريقة ممكنة. تتيح لنا مبادئ العد معرفة عدد طرق التجربة دون الحاجة إلى سردها جميعًا.

التوافيق

يُعرف عدد الطرق الممكنة لانتقاء نتائج غير متكررة من احتمالات n عندما يكون الترتيب غير ذي صلة بالمجموعة. يتم كتابة مجموعة الكائنات كـ C (n, r) يُعرف أيضًا باسم المعامل ذي الحدين. يتم تعريف صيغة الجمع على أنها

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

الإشارة! بعد الرقم أو الحرف يعني أننا نستخدم مضروب بعض الأرقام. على سبيل المثال، n! هو مضروب الرقم n - أو حاصل ضرب الأعداد الطبيعية من 1 إلى n. مضروب الرقم 2 هو 1 × 2 معامل الرقم 3 هو 1 × 2 × 3. مضروب الرقم 4 هو 1 × 2 × 3 × 4. مضروب الرقم 5 هو 1 × 2 × 3 × 4 × 5 وهكذا. لا يمكن حساب العامل إلا للأعداد الصحيحة غير السالبة.

من الخصائص الأساسية لحساب المجموعة باستخدام هذه الصيغة أن تكرار الكائنات غير مسموح به، ولا يهم ترتيب الترتيب.

مثال 1

افترض أن لديك مجموعة من أربعة أرقام

{1, 2, 3, 4}

ما عدد الطرق التي يمكننا بها دمج عنصرين من هذه المجموعة إذا كان لا يمكن تكرار نفس العنصر في زوج؟

إذا كان ترتيب العناصر مهمًا، نحصل على مجموعات مكونة من التباديل:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

إذا لم يكن الترتيب مهمًا - نحصل على مجموعات مكونة من مجموعات:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

هناك 6 مجموعات ممكنة. يمكنك استخدام الصيغة لإيجاد عدد كل التركيبات الممكنة. في هذا المثال، $n=4$, $r=2$ وبالتالي،

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

هذا هو بالضبط ما تحسبه حاسبة التوافيق.

مثال 2

ما هي مجموعات الأحرف A و B و C و D في مجموعة من 3؟ هناك 24 تبديلًا ممكنًا عندما يكون الترتيب مهمًا. في العد التوافيقي ، الترتيب غير ذي صلة. لذلك، الصف الأول فقط هو المناسب، أي أن هناك 4 مجموعات محتملة.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

بدلاً من سرد جميع الترتيبات الممكنة، يمكننا حساب عدد الترتيبات الممكنة (التي لا يكون الترتيب مهمًا فيها) باستخدام صيغة المجموعة أعلاه. هنا ، هناك n=4 كائنات ، وأنت تأخذ r=3 في كل مرة. وبالتالي،

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

التباديل

يحدد التباديل عدد طرق تنظيم الكائنات عندما يكون ترتيب الكائنات مهمًا. صيغة التباديل عند اختيار r كائنات من قائمة n كائنات هي كما يلي:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

السمتان الرئيسيتان لحساب التباديل باستخدام هذه الصيغة هما أن تكرار الكائن غير مسموح به ، وأن ترتيب الكائنات مهم.

مثال 3

افترض أن هناك 4 مرشحين في مقابلة عمل. مهمة لجنة الاختيار هي ترتيب المرشحين من 1 إلى 4. فيما يلي الاحتمالات:

• المرشح الأول - هناك 4 طرق للاختيار
• المرشح الثاني - هناك 3 طرق للاختيار
• المرشح الثالث - هناك طريقتان للاختيار
• المرشح الرابع - هناك طريقة واحدة فقط للاختيار

تعطي قاعدة المنتج العدد الإجمالي لطرق الاختيار، أي 4 × 3 × 2 × 1 = 24 وهو نفس 4!. لنفترض أن المرشحين هم

{A, B, C, D}

يتم عرض مساحة عينة المشكلة، مع إظهار جميع التباديل الممكنة، أدناه:

A in 1st place	B in 1st place	C in 1st place	D in 1st place
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

بدلاً من سرد جميع الترتيبات الممكنة كما هو موضح في الجدول أعلاه، يمكننا حساب عدد الترتيبات الممكنة باستخدام صيغة التباديل. في المثال أعلاه ، هناك n = 4 كائنات ، وتأخذ r = 4 عناصر في المرة الواحدة. وبالتالي،

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

الفرق بين التباديل والتوافيق

يتمثل الاختلاف الرئيسي بين التباديل والتوافيق في أنه في التوافيق ، لا يكون ترتيب العناصر مهمًا ، بينما يكون ترتيب العناصر مهمًا في التباديل.