حاسبة التوافيق

توفر الرياضيات استراتيجيات متعددة لتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر محددة من مجموعة معينة. ولكن، ما هو عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار عدد r من العناصر من إجمالي n من الاحتمالات؟ تعتمد الإجابة على ما إذا كان ترتيب هذه العناصر مهماً أم لا، وما إذا كان يُسمح بتكرار القيم.

يُعرف عدد طرق اختيار العناصر دون اعتبار للترتيب من بين n من الاحتمالات باسم "التوافيق" (Combinations)، ويُكتب بالصيغة C(n, r) والذي يُعرف أيضاً باسم المعامل ذي الحدين (Binomial Coefficient). تتيح لك حاسبة التوافيق حساب عدد التوافيق الممكنة لاختيار r من العناصر من مجموعة إجمالية مكونة من n من العناصر بكل سهولة ودقة.

قواعد استخدام الآلة الحاسبة

بالنسبة لأي مجموعة معينة من العناصر، يوجد عدد محدد من الطرق لترتيب أو اختيار بعضها أو جميعها وفقاً لمواصفات معينة. تقوم الآلة الحاسبة بحساب عدد طرق اختيار r من العناصر من مجموعة كليّة تتكون من n من العناصر، وذلك في الحالات التي لا يُسمح فيها بالتكرار ولا يكون الترتيب مهماً. يتطلب استخدام الحاسبة إدخال قيمتين رئيسيتين:

• n = العدد الإجمالي للعناصر المميزة المتاحة للاختيار، و
• r = عدد العناصر المراد اختيارها.

المعيار الأساسي لإدخال البيانات في حاسبة التوافيق هو:

$$0 ≤ r ≤ n$$

إذا قمت بإدخال رقم r أكبر من n ، فسيتم إظهار رسالة:

"الرجاء إدخال قيم حيث n ≥ r ≥ 0"

المبدأ الأساسي للعد

يرشدنا مبدأ العد الأساسي إلى كيفية إيجاد عدد الطرق الممكنة لإنجاز مهام أو أحداث مختلفة. وفي هذا السياق، نعتمد على قاعدتين أساسيتين للعد:

قاعدة الجمع

إذا أمكن تنفيذ المهمة الأولى بعدد m من الطرق، وإنجاز المهمة الثانية بعدد n من الطرق، بحيث لا يمكن تنفيذ كلتا المهمتين في نفس الوقت (أحداث متنافية)، فإن العدد الإجمالي للطرق الممكنة يُحسب بجمع الاحتمالين: (m + n).

قاعدة الضرب

إذا أمكن تنفيذ المهمة الأولى بعدد m من الطرق، وإنجاز المهمة الثانية بعدد n من الطرق، وكان من الممكن تنفيذ كلتا المهمتين معاً أو على التوالي، فإن العدد الإجمالي للطرق الممكنة لأدائهما يُحسب بضرب الاحتمالين: (m * n).

أمثلة

تبيع إحدى الكافتيريات 3 أنواع من الفطائر (فطيرة التفاح، فطيرة الفراولة، وفطيرة التوت) و 4 أنواع من المشروبات (عصير البرتقال، العنب، الكرز، والأناناس). يُباع كل مشروب وكل فطيرة مقابل 2 دولار. لنفترض أنك لا تملك سوى دولارين فقط؛ في هذه الحالة، لتطبيق قاعدة الجمع، لديك 3 + 4 = 7 خيارات ممكنة لشراء صنف واحد فقط.

لنفترض أنك تريد حساب عدد النتائج الممكنة لرمي عملة معدنية وإلقاء حجر نرد في آنٍ واحد. عدد الطرق التي يمكن أن تقع بها العملة المعدنية هو 2 (لأن لها وجهين: صورة وكتابة). وبالمثل، هناك 6 نتائج محتملة لرمي حجر النرد. نظراً لأنه يمكنك القيام بكلتا المهمتين معاً، فإننا نطبق قاعدة الضرب، وبالتالي يوجد 2 * 6 = 12 نتيجة ممكنة لرمي العملة المعدنية وحجر النرد.

إذا كنت ترغب في سحب بطاقتين من مجموعة أوراق لعب مكونة من 52 بطاقة دون إرجاع (بدون استبدال)، فهناك 52 طريقة لسحب البطاقة الأولى، و51 طريقة لسحب البطاقة الثانية. لذلك، فإن إجمالي عدد الطرق الممكنة لسحب بطاقتين هو 52 * 51 = 2,652 طريقة.

فضاء العينة

يُعرّف "فضاء العينة" بأنه قائمة شاملة لجميع النتائج الممكنة لتجربة ما، ويُشار إليه عادةً بالحرف الإنجليزي الكبير S. على سبيل المثال، فضاء العينة لرمي عملة معدنية وإلقاء حجر نرد في نفس الوقت هو:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

كما نرى، هناك 12 نتيجة ممكنة. تتيح لنا مبادئ العد في الرياضيات (مثل التباديل والتوافيق) معرفة عدد النتائج الممكنة لأي تجربة رياضية دون الحاجة إلى سردها وكتابتها جميعاً.

التوافيق

يُشير مصطلح "التوافيق" إلى عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر غير متكررة من بين n من الاحتمالات المتاحة، وذلك عندما يكون ترتيب الاختيار غير مهم. تُكتب صيغة التوافيق لهذه العناصر بالشكل C(n, r) وتُعرف رياضياً باسم "المعامل ذي الحدين". تُعرّف صيغة التوافيق الرياضية على النحو التالي:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

إن وجود علامة التعجب (!) بعد أي رقم أو حرف يشير إلى عملية حساب "مضروب العدد" (Factorial). على سبيل المثال، n! تمثل مضروب العدد n؛ وهو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية من 1 إلى n. على سبيل التوضيح: مضروب الرقم 2 هو 1 × 2، ومضروب الرقم 3 هو 1 × 2 × 3، ومضروب الرقم 4 هو 1 × 2 × 3 × 4، وهكذا. تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن حساب المضروب إلا للأعداد الصحيحة غير السالبة.

من الخصائص الأساسية لحساب التوافيق باستخدام هذه الصيغة الرياضية هو أنه غير مسموح بتكرار العناصر في الاختيار، كما أن الترتيب الذي تُسحب به العناصر لا يشكل أي فارق.

مثال 1

افترض أن لديك مجموعة مكونة من أربعة أرقام:

{1, 2, 3, 4}

ما هو عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج (عنصرين) من هذه المجموعة، بافتراض أنه لا يمكن تكرار نفس العنصر في الزوج الواحد؟

إذا كان ترتيب العناصر مهماً، فإننا نتحدث هنا عن "التباديل" ونحصل على المجموعات التالية:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

أما إذا كان الترتيب غير مهم، فإننا نتعامل مع "التوافيق" ونحصل على المجموعات التالية:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

نلاحظ أن هناك 6 توافيق ممكنة. يمكنك دائماً استخدام الصيغة الرياضية لإيجاد عدد جميع التوافيق المحتملة. في هذا المثال، لدينا $n=4$ و $r=2$ وبالتالي:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

وهذا هو بالضبط ما تقوم حاسبة التوافيق بحسابه بسرعة ودقة.

مثال 2

ما هو عدد توافيق الأحرف A و B و C و D عند اختيار 3 أحرف في كل مرة؟ إذا كان الترتيب مهماً، سيكون لدينا 24 تبديلاً ممكناً. ولكن في حساب التوافيق، لا يُعتد بالترتيب. بناءً على الجدول أدناه، الصف الأول فقط يمثل التوافيق الفريدة، مما يعني أن هناك 4 توافيق محتملة فقط.

بدلاً من إرهاق أنفسنا بسرد جميع الترتيبات الممكنة يدوياً، يمكننا حساب عددها (في حالة كون الترتيب غير مهم) عبر استخدام صيغة التوافيق المذكورة أعلاه. لدينا هنا إجمالي n=4 من العناصر، ونريد اختيار r=3 في كل مرة. وبالتالي:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

التباديل

يُستخدم مصطلح "التباديل" لتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار وتنظيم مجموعة من العناصر عندما يكون ترتيب هذه العناصر أمراً مهماً. تُكتب صيغة حساب التباديل عند اختيار عدد r من العناصر من قائمة إجمالية تتكون من n من العناصر على النحو التالي:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

تعتمد عملية حساب التباديل باستخدام هذه الصيغة الرياضية على سمتين أساسيتين: عدم السماح بتكرار العناصر، وأهمية ترتيب اختيارها.

مثال 3

افترض أن هناك 4 مرشحين في مقابلة عمل. ومهمة لجنة الاختيار هي ترتيب هؤلاء المرشحين من 1 إلى 4. في هذه الحالة، تكون احتمالات الاختيار كما يلي:

• المرتبة الأولى - هناك 4 خيارات لاختيار المرشح
• المرتبة الثانية - يتبقى 3 خيارات لاختيار المرشح
• المرتبة الثالثة - يتبقى خياران لاختيار المرشح
• المرتبة الرابعة - يتبقى خيار واحد فقط

بتطبيق قاعدة الضرب، نحصل على العدد الإجمالي لطرق الاختيار والترتيب الممكنة، أي 4 × 3 × 2 × 1 = 24 طريقة، وهو ما يطابق قيمة المضروب 4!. لنفترض أن المرشحين الأربعة هم:

{A, B, C, D}

يمكن توضيح فضاء العينة لهذه المسألة، والذي يبرز جميع التباديل الممكنة، في الجدول أدناه:

مرة أخرى، بدلاً من سرد كافة الترتيبات الممكنة كما هو موضح في الجدول أعلاه، يمكننا ببساطة حساب عدد الترتيبات الإجمالية باستخدام صيغة التباديل الرياضية. في المثال السابق، يبلغ إجمالي العناصر n = 4، ونقوم باختيارها وترتيبها بمقدار r = 4 عناصر في المرة الواحدة. وبالتالي:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

الفرق بين التباديل والتوافيق

يتمثل الاختلاف الرئيسي والجوهري بين التباديل والتوافيق في عامل الترتيب؛ ففي حساب التوافيق، لا يشكل ترتيب العناصر المختارة أي أهمية، بينما في حساب التباديل، يُعد ترتيب العناصر أمراً مهماً وحاسماً في إيجاد النتائج.