حاسبة التباديل

تقدم حاسبة التباديل أداة دقيقة وسريعة لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب عدد n من العناصر، مع أخذ عينة محددة مكونة من r من العناصر في كل مرة. بعبارة أخرى، توضح لنا هذه الحاسبة عدد الترتيبات الممكنة للعناصر في المجموعات التي يكون فيها الترتيب مهمًا. يُشار إلى العدد الإجمالي للعناصر المراد ترتيبها بالرمز n، بينما يُشار إلى حجم العينة أو عدد العناصر في كل مجموعة فرعية بالرمز r.

على سبيل المثال، إذا أردنا ترتيب الأحرف XYZ في مجموعات مكونة من حرفين لكل منها، فسنحصل على الترتيبات التالية: XY و XZ و YZ و YX و ZX و ZY؛ أي أن هناك 6 طرق ممكنة للترتيب.

لاستخدام هذه الحاسبة، ما عليك سوى إدخال القيمة n (العدد الإجمالي للعناصر التي سيتم ترتيبها)، وإدخال القيمة r (عدد العناصر في كل مجموعة)، ثم النقر فوق زر "احسب". يمكنك أيضًا استخدام الزر "مسح" لتفريغ الحاسبة وإدخال مجموعة جديدة من الأرقام بسهولة.

التباديل

يُعرف "التبديل" (Permutation) لمجموعة ما بأنه عملية تنظيم أو ترتيب عناصرها في تسلسل معين. وإذا كانت المجموعة مرتبة بالفعل، فإن إعادة ترتيبها تُعد تبديلًا لعناصرها. السمة الأساسية في حساب التباديل هي أن ترتيب العناصر له أهمية كبرى. على سبيل المثال، التبديل AB يختلف تمامًا عن التبديل BA، فهما تبديلان مختلفان. يُرمز إلى عدد التباديل الممكنة لعدد n من العناصر المأخوذة في عينات بحجم r بالرمز nPr.

تعتمد طريقة حساب عدد التباديل على طبيعة العناصر المراد ترتيبها، وتعتمد أيضًا على ما إذا كان "التكرار" مسموحًا به أم لا. وما لم يُنص على خلاف ذلك، فإننا نفترض دائمًا عدم السماح بالتكرار عند حساب التباديل.

في هذه المقالة، سنستعرض أمثلة متنوعة على حساب التباديل بدون تكرار.

تتبع التباديل "المبدأ الأساسي للعد" في الرياضيات. وينص هذا المبدأ على أنه إذا كانت هناك تجربة تتكون من k من الأحداث المتتالية، حيث يقع الحدث الأول n₁ من المرات، والحدث الثاني n₂ من المرات، وهكذا حتى الحدث الأخير الذي يقع nₖ من المرات؛ فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن تقع بها هذه التجربة بالتسلسل يُحسب من خلال حاصل ضرب عدد مرات وقوع الأحداث الفردية \$n_1× n_2×\ldots× n_k\$.

لنفترض أننا نريد معرفة عدد الترتيبات الممكنة للأحرف ABC بدون تكرار. يمكن لأي حرف من الأحرف الثلاثة أن يأتي في المركز الأول، لذا هناك 3 طرق لاختيار الحرف الأول.

بعد اختيار الحرف الأول، يتبقى حرفان فقط، ويمكن وضع أي منهما في المركز الثاني، لذا هناك طريقتان لاختيار الحرف الثاني. وبعد تحديد الحرف الثاني، سيتبقى حرف واحد فقط، وبالتالي توجد طريقة واحدة فقط لتحديد الحرف الثالث.

بناءً على مبدأ العد الأساسي، هناك \$3×2×1=6\$ طرق مختلفة لترتيب الحروف ABC، وهي: ABC و ACB و BCA و BAC و CAB و CBA.

المضروب

في المثال السابق، استنتجنا أن عدد التباديل لثلاثة عناصر مختلفة هو \$3×2×1=6\$. بشكل عام، يُعطى إجمالي عدد التباديل الممكنة لعدد n من العناصر من خلال الصيغة: \$n×\left(n-1\right)×\left(n-2\right)×\ldots×1\$.

هذه العملية عبارة عن ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة تنازليًا من n وحتى 1. يُطلق على عملية ضرب جميع الأعداد الصحيحة بدءًا من عدد صحيح معين n وصولاً إلى 1 اسم "المضروب" (Factorial)، ويُرمز له في الرياضيات بعلامة التعجب (!).

وبالتالي، فإن \$n!=n×\left(n-1\right)×\left(n-2\right)×\ldots×1\$ ويُقرأ "مضروب n".

من المهم ملاحظة أن \$0!=1\$ و \$1!=1\$.

مثال على التباديل

عادةً ما يحتوي مضمار الجري القياسي في الألعاب الأولمبية على 9 مسارات. ومع ذلك، في سباق الـ 100 متر، لا يُستخدم المسار رقم 1 غالبًا، بل يتم توزيع 8 متسابقين على المسارات من 2 إلى 9 على التوالي. كم عدد الطرق الممكنة لترتيب هؤلاء المتسابقين الثمانية في المسارات المتاحة (من 2 إلى 9)؟

وفقًا للمبدأ الأساسي للعد:

• يمكن لأي متسابق من الثمانية الحصول على المسار رقم 2،
• يمكن لأي متسابق من السبعة المتبقين الحصول على المسار رقم 3،
• يمكن لأي متسابق من الستة المتبقين الحصول على المسار رقم 4،
• يمكن لأي متسابق من الخمسة المتبقين الحصول على المسار رقم 5،
• يمكن لأي متسابق من الأربعة المتبقين الحصول على المسار رقم 6،
• يمكن لأي متسابق من الثلاثة المتبقين الحصول على المسار رقم 7،
• يمكن لأي متسابق من الاثنين المتبقيين الحصول على المسار رقم 8،
• المتسابق الأخير المتبقي سيحصل تلقائيًا على المسار رقم 9.

لذلك، فإن إجمالي التباديل الممكنة لترتيب العدائين الثمانية على المسارات الثمانية هو \$8!=8×7×6×\ldots×2×1=40,320\$ طريقة.

للتأكد من ذلك، في حاسبة التباديل، أدخل الرقم 8 في كل من حقل n (إجمالي العناصر) وحقل r (حجم العينة)، ثم انقر فوق "احسب" لتحصل على النتيجة 40,320.

التباديل من المجموعات الفرعية

في الأمثلة السابقة، قمنا بحساب التباديل بافتراض أننا نستخدم جميع عناصر المجموعة في الترتيب. ولكن، في كثير من الحالات العملية، نحتاج إلى ترتيب أجزاء أو مجموعات فرعية أصغر مأخوذة من المجموعة الكلية.

في هذه الحالات، يُرمز إلى العدد الإجمالي للعناصر المتاحة بالرمز n، ويُشار إلى عدد العناصر المراد اختيارها وترتيبها (حجم العينة) بالرمز r. يُعطى قانون التباديل لهذه الحالة من خلال المعادلة التالية:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

تُستخدم هذه المعادلة الرياضية لحساب عدد التباديل الممكنة بدون تكرار، وذلك عندما نحتاج إلى اختيار وترتيب عينة بحجم r من أصل مجموعة إجمالية بحجم n.

أما إذا أردنا حساب عدد الترتيبات الممكنة لـ جميع عناصر المجموعة بترتيب معين وبدون تكرار (أي أن n تساوي r)، فإن المعادلة تتبسط إلى الشكل التالي:

$$ₙPᵣ=n!$$

مثال

بالعودة إلى مثال المتسابقين أعلاه، قمنا بحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب المتسابقين الثمانية على مسارات الجري. الآن، لنتخيل أن في هذا السباق تتنافس المجموعة على 3 ميداليات فقط: المركز الأول يفوز بالميدالية الذهبية، والمركز الثاني بالفضية، والمركز الثالث بالبرونزية. من بين المتسابقين الثمانية، كم عدد الطرق الممكنة لتوزيع الميداليات الثلاث (الذهبية والفضية والبرونزية)؟

وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يمكن لأي من المتسابقين الثمانية الفوز بالمركز الأول. بمجرد تحديد الفائز بالمركز الأول، يتبقى 7 متسابقين يتنافسون على المركز الثاني. وبعد حسم المركز الثاني، يتبقى 6 متسابقين يتنافسون على المركز الثالث. لذلك، فإن العدد الإجمالي للتباديل الممكنة للمراكز الثلاثة الأولى من بين 8 متسابقين هو: 8×7×6=336

باستخدام معادلة التباديل الرسمية:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

نقوم بالتعويض للحصول على:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

باستخدام حاسبة التباديل، يمكنك ببساطة إدخال الرقم 8 في حقل n (العناصر)، والرقم 3 في حقل r (العينة)، والنقر على "احسب" لتحصل مباشرة على النتيجة 336.

الفرق بين التباديل والتوافيق:

التوافيق (Combinations) هي طريقة أساسية أخرى من طرق العد في الرياضيات. يُقصد بالتوافيق عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها اختيار عينة أصغر حجمها r من مجموعة أكبر حجمها n، دون النظر إلى الترتيب. يُرمز لعدد التوافيق لاختيار r من العناصر من أصل n من العناصر بالرمز ₙCᵣ.

لقد أكدنا في تعريف التباديل أن "الترتيب مهم". وهذا تحديداً هو الجوهر الفاصل والفرق الرئيسي بين التباديل والتوافيق؛ ففي التوافيق، الترتيب ليس له أي أهمية.

لتوضيح ذلك، ذكرنا سابقًا أن التباديل للأحرف XYZ المأخوذة في أزواج (حرفين) هي: XY و XZ و YZ و YX و ZX و ZY. وبالتالي لدينا 6 تباديل.

أما إذا أردنا حساب "التوافيق" لنفس الأحرف XYZ المأخوذة في أزواج، فستكون النتيجة هي: XY و XZ و YZ فقط (أي 3 توافيق). يرجع ذلك إلى أنه في عالم التوافيق، يُعتبر الزوج XY والزوج YX اختيارًا واحدًا؛ والأمر نفسه ينطبق على XZ و ZX، وكذلك YZ و ZY. ولهذا السبب، يتم تجاهل الترتيب عند حساب التوافيق.

لإيجاد عدد التوافيق لعينة r من أصل مجموعة n، نستخدم المعادلة التالية:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

مثال على حساب التوافيق

في مثال سباق الـ 100 متر، حسبنا عدد الطرق التي يمكن من خلالها ترتيب أصحاب المراكز الثلاثة الأولى من بين 8 متسابقين. ولكن، ماذا لو أردنا فقط معرفة عدد الطرق لاختيار 3 فائزين بالميداليات من بين 8 متسابقين، دون الاهتمام بمن حصل على الذهب أو الفضة أو البرونز؟ هنا لا يهمنا من جاء أولاً أو ثانيًا، المهم هو أن المتسابق ضمن الثلاثة الأوائل.

في هذه الحالة، نستخدم قانون التوافيق لأن ترتيب الفوز بالميدالية غير مهم. تُحل المسألة باستخدام معادلة التوافيق:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

وبالتالي، يُحسب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 3 فائزين من أصل 8 متسابقين كما يلي:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

أمثلة عملية على حساب التباديل

1. يُريد منتج برنامج إخباري اختيار 3 ضيوف متحدثين من أصل قائمة تضم 5 خبراء للمشاركة في برنامجه التحليلي. الترتيب الذي سيظهر به الضيوف على الشاشة له أهمية قصوى. فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكن للمنتج من خلالها ترتيب ظهور هؤلاء الضيوف؟ بما أن الترتيب مهم، والتكرار غير مسموح (إذ لا يمكن للضيف نفسه أن يُقدم فقرتين مختلفتين في نفس الحلقة)، فإننا نستخدم معادلة التباديل:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

وهكذا، نجد أن لدى المنتج 60 طريقة مختلفة لترتيب ظهور الضيوف.

2. قام ناقد متخصص في تقييم المطاعم باختيار 10 مطاعم متميزة تقدم السوشي في المدينة، ويرغب في نشر قائمة تصنيف لأفضل 3 مطاعم منها. يجب ترتيب المطاعم ليعكس المركز الأول، والثاني، والثالث. وبطبيعة الحال، لا يمكن أن يظهر المطعم الواحد أكثر من مرة في التصنيف. تتوافق هذه الشروط تماماً مع مبدأ التباديل (الترتيب ضروري، ولا يوجد تكرار). نطبق معادلة التباديل:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. عندما نقول أن "الترتيب مهم" في التباديل، فهذا لا يعني بالضرورة أن الترتيب يجب أن يكون رقمياً متسلسلاً (مثل 1، 2، 3...). بل يمكن أن يُعبر عن الترتيب بتخصيص مهام أو مواقع محددة لعناصر المجموعة.

تخيل مديرًا لشركة صيانة وإصلاح منازل لديه 4 طلبات لطلاء أماكن مختلفة في يوم واحد، وهي: مكتب وكالة تأشيرات، ومستودع في مصنع، ومتجر ملابس، وغرفة في منزل خاص. تمتلك الشركة 6 عمال طلاء. يمكن إرسال عامل واحد فقط لكل موقع عمل في اليوم، بينما سيحصل العاملان المتبقيان على يوم إجازة.

هنا، مواقع العمل (مكتب وكالة التأشيرات، المستودع، المتجر، الغرفة الخاصة) تقوم مقام المراكز التسلسلية (1، 2، 3، 4) في الترتيب.

سيكون لدى المدير الخيارات التالية للتوزيع:

• 6 عمال يمكن اختيار أحدهم للعمل في المكتب،
• 5 عمال متبقين يمكن اختيار أحدهم للمستودع،
• 4 عمال متبقين يمكن اختيار أحدهم للمتجر،
• 3 عمال متبقين يمكن اختيار أحدهم لغرفة المنزل الخاص.

منطقياً وبشكل بديهي، يمكننا حساب إجمالي الخيارات المتاحة بضرب: \$6 × 5 × 4 × 3 = 360\$.

الشرط هنا واضح: الترتيب الذي يتم به توزيع العمال على المهام مهم، ولا يُسمح بالتكرار (لا يمكن للعامل أن يتواجد في موقعين مختلفين في نفس اليوم). لذا يمكننا تطبيق معادلة التباديل التي أثبتت فعاليتها:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

يتضح لنا أن هناك 360 طريقة مختلفة يمكن من خلالها لمدير الشركة توزيع طلبات العمل على العمال المتاحين وفقاً للشروط المحددة.