Rechner für Standardabweichung und Fehlermarge

Mit unserem Rechner für die Standardabweichung können Sie schnell und präzise die Standardabweichung eines beliebigen Datensatzes berechnen. Darüber hinaus liefert dieses Statistik-Tool weitere wichtige Kennzahlen wie den Mittelwert und die Varianz. Der Rechner ermittelt zudem das Konfidenzintervall für verschiedene Konfidenzniveaus und erstellt eine übersichtliche Häufigkeitsverteilungstabelle.

Um den Rechner zu nutzen, geben Sie Ihre Zahlen einfach durch Kommata getrennt in das Eingabefeld ein. Wählen Sie anschließend aus, ob Ihre Daten eine Grundgesamtheit (Population) oder lediglich eine Stichprobe darstellen, und klicken Sie auf „Berechnen“. Über die Schaltfläche „Löschen“ können Sie die Eingabefelder leeren, um direkt einen neuen Datensatz zu analysieren.

Die Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein zentrales statistisches Maß, das die Streuung oder Variabilität eines Datensatzes beschreibt. Sie gibt den durchschnittlichen Abstand der einzelnen Datenpunkte vom Mittelwert an. Grundsätzlich gilt: Je kleiner die Standardabweichung, desto näher liegen die Werte am Mittelwert. Umgekehrt bedeutet ein hoher Wert, dass die Datenpunkte weiter vom Mittelwert entfernt gestreut sind. Mathematisch betrachtet ist die Standardabweichung die Quadratwurzel aus einem weiteren Streuungsmaß, der Varianz.

Die Berechnung der Standardabweichung hängt von der Art des Datensatzes ab. Umfasst der Datensatz alle relevanten Datenpunkte (die sogenannte Grundgesamtheit), spricht man von der Standardabweichung der Grundgesamtheit (oder Populationsstandardabweichung). Handelt es sich jedoch nur um einen ausgewählten Teil der Daten, spricht man von der Stichprobenstandardabweichung.

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit

Diese Form der Standardabweichung wird berechnet, wenn Ihr Datensatz die gesamte interessierende Grundgesamtheit (Population) abdeckt – wenn also alle infrage kommenden Beobachtungen eines Falls vorliegen. Sie wird mit dem griechischen Kleinbuchstaben σ (Sigma) bezeichnet.

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird mit der folgenden Formel berechnet:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Wo:

• Σ ist der griechische Großbuchstabe Sigma, der in der Mathematik als Summenzeichen dient;
• xᵢ repräsentiert jeden einzelnen Datenpunkt (jede Beobachtung des Datensatzes), beginnend beim ersten bis zum N-ten (letzten) Wert;
• μ steht für den Mittelwert der Grundgesamtheit;
• N ist die Größe der Grundgesamtheit (Anzahl aller Datenpunkte).

Beispiel für die Berechnung der Standardabweichung der Grundgesamtheit

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Berechnung der Standardabweichung anhand von echten Bevölkerungs- bzw. Marktdaten.

Anleger betrachten Aktien aufgrund ihrer oft hohen Volatilität im Vergleich zu anderen Anlageklassen als riskant. Ein Anlageverwalter möchte die Kursschwankungen einer bestimmten Aktie im vergangenen Monat analysieren. Er wird seinen Kunden keine Aktie empfehlen, deren Standardabweichung größer oder gleich dem Mittelwert ist, da er diese als „zu riskant“ einstuft.

Nachfolgend sind alle Tagesschlusskurse (in USD) dieser Aktie aus dem Vormonat aufgelistet. Berechnen Sie die Standardabweichung und bestimmen Sie, ob der Manager die Aktie für „zu riskant“ hält:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Da der Manager sich ausschließlich für die Kurse des Vormonats interessiert und alle diese Datenpunkte vorliegen, bildet dieser Datensatz die komplette Grundgesamtheit ab. Wir verwenden folglich die Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Um die Standardabweichung zu ermitteln, berechnen wir zunächst den Mittelwert μ. Dieser ergibt sich aus der Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Im nächsten Schritt wird von jedem einzelnen Wert der Mittelwert subtrahiert und diese Differenz quadriert. Diese Ergebnisse werden aufsummiert und durch die Gesamtanzahl der Werte dividiert. Das Resultat ist die Varianz σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Um abschließend die Standardabweichung zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel aus der Varianz.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Wie die Berechnung zeigt, ist die Standardabweichung der Aktienkurse des letzten Monats (0,21) deutlich kleiner als der Mittelwert (1,097). Daher wird der Anlageverwalter diese Aktie nicht als „zu riskant“ einstufen.

Die Standardabweichung der Stichprobe

Die Stichprobenstandardabweichung kommt zum Einsatz, wenn der betrachtete Datensatz nur einen Ausschnitt (eine Stichprobe) der gesamten Grundgesamtheit abbildet. In der Statistik wird die Stichprobenstandardabweichung mit dem Buchstaben s bezeichnet und anhand der folgenden Formel berechnet:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Wo:

• Σ steht für die Summenbildung;
• xᵢ repräsentiert jeden einzelnen Datenpunkt;
• x̄ steht für den Stichprobenmittelwert;
• n ist der Stichprobenumfang (Anzahl der Beobachtungen).

Wir nutzen dasselbe Aktienszenario, um die Berechnung für eine Stichprobe zu demonstrieren. In dieser Situation hat der Anlageverwalter jedoch keinen Zugriff auf alle historischen Tageskurse des letzten Monats, sondern nur auf eine zufällige Stichprobe von 5 Tagen. Er schätzt die Volatilität der Aktie nun auf Basis dieser begrenzten Daten.

Nehmen wir an, ihm liegen folgende 5 Schlusskurse vor:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Da nicht alle Kurse des Vormonats vorliegen, sondern nur eine kleine Teilmenge von 5 Tagen, handelt es sich um eine Stichprobe. Wir verwenden dementsprechend die Formel für die Standardabweichung der Stichprobe.

Berechnen Sie zunächst den Mittelwert der Stichprobe (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Berechnen Sie anschließend die Varianz s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Ziehen Sie abschließend die Quadratwurzel aus der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Fehlermarge

Die Standardabweichung wird unter anderem genutzt, um einen statistisch verlässlichen Wertebereich ("akzeptablen Bereich") zu berechnen. Dies spielt insbesondere in der industriellen Qualitätssicherung und in der prädiktiven Analytik eine wichtige Rolle. Wenn wir davon ausgehen, dass die zugrunde liegenden Daten normalverteilt sind, wird dieser Bereich als Konfidenzintervall bezeichnet (siehe nächster Abschnitt). Diese Konfidenzintervalle werden stets in Verbindung mit einem bestimmten Konfidenzniveau (in Prozent) angegeben.

Die Fehlermarge (oft als Halbwertsbreite des Intervalls verstanden) ist der Teil des Konfidenzintervalls, der dessen Breite definiert. Sie gibt die maximale und minimale zu erwartende Abweichung vom berechneten Wert an.

Die Fehlermarge wird mit der folgenden Formel berechnet:

$$Irrtumswahrscheinlichkeit = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Diese Formel kommt zum Einsatz, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit, σ, bekannt ist und die Stichprobe gleichzeitig ausreichend groß ist (in der Regel n > 30).

Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit jedoch unbekannt und die Stichprobe klein (in der Regel n ≤ 30), verwenden wir die folgende Formel:

$$Irrtumswahrscheinlichkeit = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

In dieser Formel wird die Standardabweichung der Stichprobe s verwendet, da σ nicht bekannt ist.

\$z_{\alpha/2}\$ und \$t_{n-1, \alpha/2}\$ werden mithilfe der z-Verteilung bzw. t-Verteilung ermittelt und als kritische Werte bezeichnet. Es handelt sich um Konstanten, die direkt von den gewählten Konfidenzniveaus abhängen.

Die in der Statistik am häufigsten verwendeten Konfidenzniveaus sind 90 %, 95 % und 99 %. Die entsprechenden \$z_{\alpha/2}\$-Werte lauten 1,645 (für 90 %), 1,96 (für 95 %) und 2,575 (für 99 %).

Die Ausdrücke \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ und \$\frac{s}{\sqrt n}\$ werden als Standardfehler bezeichnet.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ bekannt ist und eine große Stichprobe vorliegt (meist n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und wir mit einer kleinen Stichprobe arbeiten (meist n ≤ 30). Das heißt, anstelle von σ müssen wir auf die Standardabweichung der vorliegenden Stichprobe s zurückgreifen.

Das Konfidenzintervall

Wie bereits erwähnt, ist das Konfidenzintervall ein Wertebereich, in dem ein bestimmter statistischer Wert mit einer definierten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau) zu erwarten ist.

Wir könnten beispielsweise statistisch aussagen, dass die Körpergröße von 13-jährigen Mädchen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % zwischen 150 cm und 168 cm (bzw. 59 und 66 Zoll) liegt. Das bedeutet: Wenn wir eine repräsentative Gruppe 13-jähriger Mädchen auswählen, wird deren Körpergröße in 9 von 10 Fällen innerhalb dieses Intervalls liegen.

Das Konfidenzintervall wird anhand folgender Formel berechnet:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ist der Stichprobenmittelwert,
• \$z_{\alpha/2}\$ ist der kritische Wert,
• σ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit,
• n ist die Anzahl der Beobachtungen (Stichprobenumfang).

Eine alternative Formel wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ nicht bekannt ist und stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe s herangezogen werden muss:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ist der Stichprobenmittelwert,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ist der kritische Wert der t-Verteilung,
• s ist die Standardabweichung der Stichprobe,
• n ist die Anzahl der Beobachtungen (Stichprobenumfang).

Wie wir uns aus dem vorigen Abschnitt erinnern können, stellen die Terme \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ und \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ die jeweilige Fehlermarge dar.

Beispiel für die Berechnung eines Konfidenzintervalls

Gehen wir davon aus, dass die von uns untersuchten täglichen Aktienkurse normalverteilt sind. Uns liegt folgende Stichprobe von Aktienkursen vor:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Wir möchten nun den Wertebereich berechnen, in dem die Aktienkurse mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % schwanken werden (95 %-Konfidenzintervall).

Da es sich um eine kleine Stichprobe handelt und wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht kennen, verwenden wir die Standardabweichung der Stichprobe sowie die dazugehörige Formel:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ist der Stichprobenmittelwert: 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ist der kritische Wert: \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (Der kritische Wert für eine bestimmte Stichprobengröße und ein bestimmtes Konfidenzniveau wird in der Regel in einer t-Tabelle nachgeschlagen).
• s ist die Standardabweichung der Stichprobe: 0,23
• n ist die Anzahl der Beobachtungen: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ ist der Standardfehler: \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Wir setzen diese Werte nun in die Formel ein:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

und erhalten für die Unter- und Obergrenze:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Das bedeutet: Wir können mit 95-prozentiger Sicherheit davon ausgehen, dass der durchschnittliche Aktienkurs innerhalb des Konfidenzintervalls von (0,94, 1,26) liegt.