Bruchrechner für die Vereinfachung von Brüchen

Mit unserem Bruchrechner können Sie schnell und einfach echte sowie unechte Brüche kürzen. Das Ergebnis liefert Ihnen der Rechner zum Brüche vereinfachen wahlweise als gemischte Zahl oder als vollständig gekürzten Bruch in seiner einfachsten Form (Grunddarstellung).

Bedienungsanleitung

• Um einen Bruch mit diesem Bruchrechner zu kürzen, geben Sie einfach den Zähler und den Nenner des jeweiligen Bruchs ein und klicken Sie auf "Berechnen".
• Handelt es sich bei der Eingabe um einen echten Bruch, liefert der Rechner den vollständig gekürzten Bruch als Ergebnis.
• Handelt es sich bei der Eingabe um einen unechten Bruch, wird das Ergebnis als gemischte Zahl in ihrer einfachsten Form ausgegeben. Zudem zeigt der Rechner den detaillierten Rechenweg Schritt für Schritt an.

Definitionen

Bruch

Ein Bruch definiert einen Teil oder Anteil eines Ganzen. Das "Ganze" kann durch eine beliebige Zahl, einen Wert oder auch einen Gegenstand dargestellt werden. Wenn beispielsweise eine ganze Torte in 6 gleich große Stücke geschnitten wird, entstehen 6 Bruchteile. Jedes dieser Stücke entspricht einem Sechstel oder \$\frac{1}{6}\$ der gesamten Torte.

Jeder Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler und dem Nenner. Diese werden durch eine horizontale Linie – den sogenannten Bruchstrich – getrennt. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich und gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde. Im obigen Beispiel ist der Nenner 6, da die Torte in 6 Stücke geschnitten wurde. Der Zähler steht über dem Bruchstrich und beschreibt die Anzahl der Teile, die wir betrachten. Im obigen Beispiel war der Zähler 1, da es um 1 der 6 Stücke ging. Wenn wir 2 Stücke nehmen wollten, lautete der entsprechende Bruch \$\frac{2}{6}\$.

Brüche können auch mit einem diagonalen Schrägstrich geschrieben werden. So beschreiben 1/3 und \$\frac{1}{3}\$ exakt denselben Bruch.

Echte und unechte Brüche

Ein Bruch wird als echter Bruch bezeichnet, wenn sein Nenner größer ist als sein Zähler.

\$\frac{1}{3}\$, \$\frac{2}{50}\$ und \$\frac{56}{125}\$ sind klassische Beispiele für echte Brüche.

Umgekehrt spricht man von einem unechten Bruch, wenn der Zähler größer (oder gleich) dem Nenner ist. Beispiele für unechte Brüche sind \$\frac{33}{15}\$, \$\frac{17}{8}\$ und \$\frac{3}{2}\$.

Jeder unechte Bruch lässt sich in eine gemischte Zahl umwandeln – eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch besteht. Beispiele hierfür sind \$5 \frac{1}{3}\$ oder \$12 \frac{132}{256}\$.

Einfachste Form eines Bruchs

Ein Bruch liegt in seiner einfachsten Form (also vollständig gekürzt) vor, wenn Zähler und Nenner außer der Zahl 1 keine gemeinsamen Teiler mehr haben. \$\frac{1}{3}\$ ist beispielsweise ein Bruch in seiner einfachsten Form, \$\frac{4}{6}\$ hingegen nicht. Die Zahlen 4 und 6 haben mit der 2 einen weiteren gemeinsamen Teiler. Daher ist dieser Bruch noch nicht vollständig gekürzt.

Berechnungsalgorithmen

Vereinfachen eines echten Bruchs

Um einen Bruch zu vereinfachen bzw. zu kürzen, führen Sie die folgenden Schritte aus:

• Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner des Bruchs.
• Dividieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch diesen ggT.
• Der daraus resultierende Bruch ist nun vollständig gekürzt und liegt in seiner einfachsten Form vor.

Lassen Sie uns als Beispiel den folgenden Bruch vereinfachen: \$\frac{70}{236}\$.

• Alle Teiler von 70 sind: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
• Alle Teiler von 236 sind: 1, 2, 4, 59, 118, 236.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 70 und 236 ist: 2.

• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

Antwort: \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, gehen Sie wie folgt vor:

• Prüfen Sie zunächst, ob der Bruch gekürzt werden kann, indem Sie nach gemeinsamen Teilern suchen. Ist dies der Fall, vereinfachen Sie den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) dividieren.
• Um die ganze Zahl (den ganzzahligen Anteil) der gemischten Zahl zu ermitteln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner und notieren Sie nur das ganzzahlige Ergebnis dieser Division.
• Ermitteln Sie den echten Bruchteil der gemischten Zahl, indem Sie den Rest der Division aus Schritt 2 als neuen Zähler verwenden. Der Nenner bleibt derselbe wie beim ursprünglichen (gekürzten) Bruch.

Wenden wir dies an und vereinfachen den Kehrwert des vorherigen Beispiels: \$\frac{236}{70}\$.

Zunächst kürzen wir den gegebenen Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch den ggT dividieren.

• Alle Teiler von 236 sind: 1, 2, 4, 59, 118, 236.
• Alle Teiler von 70 sind: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 70 und 236 ist: 2.

• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{70} = \frac{118}{35}\$

Nun dividieren wir den neuen Zähler durch den neuen Nenner und notieren den ganzzahligen Anteil der Division:

$$\frac{118}{35} = 3 + Rest\ von\ 13$$

Der Bruchteil der gemischten Zahl erhält den Rest der Division als Zähler. Der Zähler lautet also 13. Der Nenner bleibt derselbe wie beim gekürzten Bruch, der Nenner ist also 35.

Die daraus resultierende gemischte Zahl ist \$3\frac{13}{35}\$.

Antwort: \$\frac{236}{70} = 3\frac{13}{35}\$

Berechnungsbeispiel

Brüche spielen im Alltag, beispielsweise beim Backen nach Rezepten, eine große Rolle. Häufig müssen Sie unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln – etwa dann, wenn Sie ein Rezept für eine größere Anzahl von Personen anpassen möchten.

Stellen Sie sich vor, Sie möchten Muffins für eine Party backen. Laut Rezept reichen die angegebenen Zutaten für 4 Personen. Sie haben jedoch 12 Gäste eingeladen. Das Rezept verlangt \$\frac{3}{4}\$ Tassen Mehl für 4 Personen. Wie viel Mehl benötigen Sie, um das Rezept für Ihre 12 Gäste hochzurechnen?

Lösung

Um die Mehlmenge anzupassen, müssen Sie den angegebenen Bruch \$\frac{3}{4}\$ mit 3 multiplizieren. Da \$\frac{12}{4}\$ = 3 ergibt, benötigen Sie exakt die dreifache Menge an Mehl:

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4}$$

Um nun herauszufinden, wie vielen ganzen Tassen Mehl das entspricht, wandeln wir den unechten Bruch \$\frac{9}{4}\$ in eine gemischte Zahl um. Dafür folgen wir den oben beschriebenen Schritten.

Prüfen Sie zunächst, ob sich der Bruch kürzen lässt.

• Die Teiler von 9 sind: 1, 3, 9.
• Die Teiler von 4 sind: 1, 2, 4.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist 1. Dieser Bruch lässt sich also nicht weiter vereinfachen.

Um die ganze Zahl der gemischten Zahl zu ermitteln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner:

$$\frac{9}{4} = 2 + Rest\ von\ 1$$

Der Bruchteil der gemischten Zahl erhält den Rest der Division aus Schritt 2 als Zähler; dieser ist somit 1. Der Nenner bleibt unverändert zum ursprünglichen Bruch und ist folglich 4.

Die resultierende gemischte Zahl lautet \$2\frac{1}{4}\$.

Antwort

Um das Rezept für 12 Personen anzupassen, müssen Sie die Zutaten verdreifachen.

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

Sie benötigen somit 2 und eine viertel Tasse Mehl.