Breuken vereenvoudigen rekenmachine

Met onze handige online rekenmachine voor het vereenvoudigen van breuken kun je snel en moeiteloos eigenlijke en oneigenlijke breuken herleiden. Het resultaat van deze breukencalculator wordt overzichtelijk weergegeven als een gemengd getal of als een eigenlijke breuk in zijn eenvoudigste vorm.

Gebruiksaanwijzing

• Om een breuk te herleiden met deze tool, voer je simpelweg de teller en de noemer van de gegeven breuk in en klik je op "Bereken".
• Als de ingevoerde breuk een eigenlijke breuk is, geeft de rekenmachine de eenvoudigste vorm van deze breuk als antwoord.
• Als de ingevoerde breuk oneigenlijk is, krijg je als resultaat een gemengd getal in de meest vereenvoudigde vorm. De rekenmachine toont bovendien de gedetailleerde, stap-voor-stap oplossing.

Definities

Breuk

Een breuk wordt gedefinieerd als een deel of een verhouding van een geheel. Het geheel kan worden voorgesteld door een getal, een waarde of zelfs een fysiek voorwerp. Als "het geheel" bijvoorbeeld wordt voorgesteld door een hele taart, dan ontstaan er 6 breuken wanneer je deze in 6 gelijke stukken snijdt. Elk stukje vertegenwoordigt dan één zesde deel, of \$\frac{1}{6}\$, van de hele taart.

Elke breuk bestaat uit twee delen: de teller en de noemer, gescheiden door een horizontale lijn, oftewel de breukstreep. De noemer staat onder de breukstreep en geeft het totale aantal delen aan waarin het geheel is verdeeld. In het taartvoorbeeld is de noemer 6, omdat de taart in 6 stukken is gesneden. De teller staat boven de breukstreep en geeft het aantal delen aan waarin we geïnteresseerd zijn. In ons voorbeeld was de teller 1, omdat we het over 1 van de 6 stukken hadden. Als we 2 stukken zouden pakken, is de resulterende breuk \$\frac{2}{6}\$.

Breuken kunnen ook worden geschreven met een schuine streep (slash). Zo beschrijven 1/3 en \$\frac{1}{3}\$ exact dezelfde breuk.

Eigenlijke en oneigenlijke breuken

Een breuk wordt een eigenlijke breuk (of echte breuk) genoemd als de noemer groter is dan de teller.

\$\frac{1}{3}\$, \$\frac{2}{50}\$ en \$\frac{56}{125}\$ zijn voorbeelden van eigenlijke breuken.

Daartegenover staat dat een breuk oneigenlijk wordt genoemd als de teller groter is dan de noemer. Bijvoorbeeld: \$\frac{33}{15}\$, \$\frac{17}{8}\$ en \$\frac{3}{2}\$ zijn allemaal oneigenlijke breuken.

Elke oneigenlijke breuk kan worden omgeschreven naar een gemengd getal (of gemengde breuk). Dit is een getal dat bestaat uit een geheel getal en een eigenlijke breuk. Denk bijvoorbeeld aan \$5 \frac{1}{3}\$ of \$12 \frac{132}{256}\$.

Eenvoudigste vorm van een breuk

Een breuk staat in zijn eenvoudigste vorm (oftewel: is maximaal vereenvoudigd) als de teller en de noemer geen andere gemeenschappelijke delers meer hebben dan het getal 1. Zo is \$\frac{1}{3}\$ een breuk in zijn eenvoudigste vorm, maar \$\frac{4}{6}\$ niet. De getallen 4 en 6 delen namelijk nog een gemeenschappelijke deler (het getal 2). Daarom is deze laatste breuk nog niet volledig herleid.

Rekenalgoritmen

Een eigenlijke breuk vereenvoudigen

Volg de onderstaande stappen om een breuk handmatig te vereenvoudigen:

• Zoek de grootste gemene deler (GGD) van de teller en de noemer van de breuk.
• Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door deze GGD.
• De breuk die hieruit voortkomt, staat nu in zijn eenvoudigste vorm.

Laten we als voorbeeld de volgende breuk vereenvoudigen: \$\frac{70}{236}\$.

• Alle delers van 70 zijn: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
• Alle delers van 236 zijn: 1, 2, 4, 59, 118, 236.

De grootste gemene deler van 70 en 236 is: 2.

• 70 ÷ 2 = 35

• 236 ÷ 2 = 118

• \$\frac{70}{236}\$ = \$\frac{35}{118}\$

Antwoord: \$\frac{70}{236}\$ = \$\frac{35}{118}\$

Een oneigenlijke breuk omzetten in een gemengd getal

Voer de volgende stappen uit om een oneigenlijke breuk om te rekenen naar een gemengd getal:

• Controleer eerst of de breuk vereenvoudigd kan worden door te kijken of er gemeenschappelijke delers zijn. Zo ja, vereenvoudig de breuk dan door zowel de teller als de noemer te delen door de GGD.

• Om het gehele getal van het uiteindelijke gemengde getal te bepalen, deel je de teller door de noemer. Schrijf alleen het gehele getal van deze uitkomst op.

• Bepaal vervolgens het breukdeel van het gemengde getal: gebruik de restwaarde van de deling uit de vorige stap als nieuwe teller. De noemer blijft gelijk aan die van de oorspronkelijke (vereenvoudigde) breuk.

Laten we als voorbeeld het omgekeerde van de vorige breuk nemen: \$\frac{236}{70}\$.

Allereerst vereenvoudigen we deze breuk door de teller en de noemer te delen door de GGD.

• Alle delers van 236 zijn: 1, 2, 4, 59, 118, 236.
• Alle delers van 70 zijn: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

De grootste gemene deler van 70 en 236 is: 2.

• 236 ÷ 2 = 118

• 70 ÷ 2 = 35

• \$\frac{236}{70}\$ = \$\frac{118}{35}\$

Nu delen we de teller van de resulterende breuk door de noemer en noteren we het gehele getal van deze deling:

\$\frac{118}{35}\$ = 3 + een restwaarde van 13

Het breukdeel van het gemengde getal krijgt de restwaarde van de deling als teller. De teller is dus 13. De noemer blijft hetzelfde als in de oorspronkelijke (vereenvoudigde) breuk, wat betekent dat de noemer 35 is.

Het resulterende gemengde getal is \$3\frac{13}{35}\$.

Antwoord: \$\frac{236}{70}\$ = \$3\frac{13}{35}\$

Rekenvoorbeeld

Breuken worden in het dagelijks leven veel gebruikt, bijvoorbeeld in recepten. Het komt vaak voor dat je oneigenlijke breuken moet omrekenen naar gemengde getallen, bijvoorbeeld wanneer je een recept wilt opschalen voor meer personen.

Stel, je wilt cupcakes bakken voor een feestje. In het recept staat dat de aangegeven hoeveelheid ingrediënten genoeg is voor 4 personen. Je hebt echter 12 gasten uitgenodigd. Als het recept zegt dat je \$\frac{3}{4}\$ kopje bloem nodig hebt voor 4 personen, hoeveel bloem heb je dan in totaal nodig om genoeg cupcakes te bakken voor je 12 gasten?

Oplossing

Om de juiste hoeveelheid bloem te berekenen, moet je de oorspronkelijke hoeveelheid (\$\frac{3}{4}\$) vermenigvuldigen met 3. Aangezien \$\frac{12}{4}\$ = 3, heb je namelijk 3 keer zoveel bloem nodig:

\$\frac{3}{4}\$ × 3 = \$\frac{9}{4}\$

Om erachter te komen hoeveel kopjes bloem dit in de praktijk zijn, moet je de oneigenlijke breuk \$\frac{9}{4}\$ omrekenen naar een gemengd getal. Laten we de eerder beschreven stappen volgen.

Controleer eerst of de breuk verder vereenvoudigd kan worden:

• De delers van 9 zijn: 1, 3, 9.
• De delers van 4 zijn: 1, 2, 4.

De grootste gemene deler is 1, wat betekent dat deze breuk niet verder vereenvoudigd kan worden.

Om het gehele getal van het gemengde getal te vinden, deel je de teller door de noemer:

\$\frac{9}{4}\$ = 2 + een restwaarde van 1

Het breukdeel van het gemengde getal krijgt de restwaarde van de deling uit de vorige stap als teller, dus de teller is 1. De noemer blijft hetzelfde als in de oorspronkelijke breuk, dus de noemer is 4.

Het resulterende gemengde getal is \$2\frac{1}{4}\$.

Antwoord

Om het recept op te schalen voor 12 personen, moet je de ingrediënten verdrievoudigen. \$\frac{3}{4}\$ × 3 = \$\frac{9}{4}\$ = \$2\frac{1}{4}\$. Je hebt dus 2 en een kwart kopje bloem nodig voor je cupcakes.