Permutations-Rechner

Unser Permutationsrechner berechnet exakt die Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Objekten, aus denen jeweils eine Stichprobe von r Elementen gezogen wird. Er ermittelt zuverlässig, auf wie viele Arten Objekte gruppiert werden können, wenn die exakte Reihenfolge der Anordnung entscheidend ist. In der Kombinatorik steht n für die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte, während r die Anzahl der Elemente in der jeweiligen Auswahl (Stichprobe) repräsentiert.

Möchten wir beispielsweise die Buchstaben XYZ in Gruppen von jeweils zwei Buchstaben anordnen, ergeben sich folgende Kombinationen unter Beachtung der Reihenfolge: XY, XZ, YZ, YX, ZX und ZY. Es gibt in diesem Fall also genau 6 Möglichkeiten.

Die Nutzung dieses Rechners ist unkompliziert: Geben Sie den Wert für n (die Gesamtzahl der Objekte) und den Wert für r (die Größe der Stichprobe) ein. Klicken Sie anschließend auf "Berechnen", um Ihr Ergebnis zu erhalten. Mit der Schaltfläche "Löschen" können Sie die aktuellen Eingaben verwerfen und sofort einen neuen Zahlensatz für eine weitere Berechnung eingeben.

Permutationen

In der Mathematik ist eine Permutation die Anordnung der Elemente einer Menge in einer spezifischen Abfolge oder Reihenfolge. Ist eine Menge bereits geordnet, stellt sie selbst eine Permutation ihrer Elemente dar. Das wichtigste Merkmal einer Permutation ist: Die Reihenfolge der Elemente ist absolut entscheidend. So gelten beispielsweise AB und BA als zwei völlig unterschiedliche Permutationen. Die Anzahl der Permutationen von n Objekten in Stichproben der Größe r wird mathematisch als nPr bezeichnet.

Wie die Anzahl der Permutationen berechnet wird, hängt von den Eigenschaften der jeweiligen Objekte ab – insbesondere davon, ob Wiederholungen zulässig sind oder nicht. Sofern im Folgenden nicht ausdrücklich anders angegeben, beziehen sich unsere Erklärungen stets auf Permutationen ohne Wiederholung.

Dieser Artikel führt Sie durch anschauliche Beispiele zur Berechnung von Permutationen ohne Wiederholungen.

Die Basis der Permutationsberechnung bildet das fundamentale Zählprinzip der Kombinatorik. Es besagt: Besteht ein Vorgang aus k aufeinanderfolgenden Ereignissen, wobei das erste Ereignis n₁-mal eintreten kann, das zweite Ereignis n₂-mal und so weiter bis zum Ereignis nₖ, dann entspricht die Gesamtzahl der Möglichkeiten dem Produkt dieser Einzelereignisse. Mathematisch ausgedrückt: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Nehmen wir an, wir möchten ermitteln, wie viele mögliche Anordnungen es für die Buchstaben ABC gibt (als Permutation ohne Wiederholung). Jeder dieser Buchstaben kann an erster Stelle stehen, woraus sich 3 Möglichkeiten für die erste Position ergeben.

Ist der erste Buchstabe platziert, verbleiben noch zwei Buchstaben. Jeder dieser beiden kann die zweite Position einnehmen, was 2 Möglichkeiten für den zweiten Platz bedeutet. Nachdem der zweite Buchstabe ebenfalls platziert ist, bleibt nur noch ein einziger Buchstabe für die dritte und letzte Position übrig – es gibt hierfür also genau 1 Möglichkeit.

Gemäß dem fundamentalen Zählprinzip ergeben sich somit 3 × 2 × 1 = 6 mögliche Wege, die Buchstabenfolge ABC anzuordnen. Diese lauten im Detail: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB und CBA.

Die Fakultät

Wie im vorherigen Beispiel gezeigt, lässt sich die Anzahl der Permutationen von 3 verschiedenen Objekten mit 3 × 2 × 1 = 6 berechnen. Verallgemeinert ausgedrückt, berechnet sich die Anzahl der Permutationen von insgesamt n Objekten durch n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Dies entspricht der Multiplikation aller natürlichen Zahlen von n absteigend bis hinunter zur 1. Diese fortlaufende Multiplikation bezeichnet man in der Mathematik als Fakultät. Sie wird mit einem Ausrufezeichen (!) symbolisiert.

Demnach gilt n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, was als "n-Fakultät" gesprochen wird.

Besonders zu beachten sind dabei die festgelegten mathematischen Definitionen: 0! = 1 und 1! = 1.

Ein Praxisbeispiel für Permutationen

Eine Standardlaufbahn bei olympischen Wettkämpfen verfügt in der Regel über 9 Bahnen. Beim 100-Meter-Sprint bleibt Bahn 1 jedoch meistens frei. Folglich werden 8 Läufer auf die Bahnen 2 bis 9 verteilt. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es nun, diese 8 Läufer auf die 8 verfügbaren Bahnen anzuordnen?

Nach dem fundamentalen Zählprinzip verhält es sich wie folgt:

• Jeder der 8 Läufer kann der Bahn 2 zugewiesen werden.
• Jeder der verbleibenden 7 Läufer kann Bahn 3 erhalten.
• Jeder der verbleibenden 6 Läufer kann Bahn 4 erhalten.
• Jeder der verbleibenden 5 Läufer kann Bahn 5 erhalten.
• Jeder der verbleibenden 4 Läufer kann Bahn 6 erhalten.
• Jeder der verbleibenden 3 Läufer kann Bahn 7 erhalten.
• Jeder der verbleibenden 2 Läufer kann Bahn 8 erhalten.
• Der letzte verbleibende Läufer bekommt automatisch Bahn 9.

Die Gesamtzahl der möglichen Permutationen für die Anordnung von 8 Läufern auf 8 Bahnen beträgt somit: 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 Möglichkeiten.

Um dieses Ergebnis zu überprüfen, geben Sie in unserem Permutationsrechner einfach in das Feld n (Objekte) sowie in das Feld r (Stichprobe) jeweils eine 8 ein. Klicken Sie auf "Berechnen", und das Tool liefert Ihnen exakt 40.320.

Permutation von Teilmengen (Stichproben)

In den bisherigen Beispielen haben wir Fälle betrachtet, bei denen stets alle vorhandenen Objekte für die finale Anordnung genutzt wurden. Oftmals müssen Objekte jedoch in kleineren Teilgruppen oder Stichproben angeordnet werden.

Hierbei wird die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte weiterhin als n bezeichnet, während die Anzahl der auszuwählenden Objekte (die Stichprobengröße) mit r benannt wird. Die Formel zur Berechnung der Anzahl dieser Permutationen lautet:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Diese Formel kommt immer dann zum Einsatz, wenn wir Permutationen ohne Wiederholung berechnen wollen und eine spezifische Stichprobe r aus einer Gesamtmenge n in einer exakten Reihenfolge anordnen müssen.

Sollen hingegen alle Elemente der Gesamtmenge in einer bestimmten Reihenfolge und ohne Wiederholungen angeordnet werden, greift der Spezialfall der Formel:

$$ₙPᵣ=n!$$

Anwendungsbeispiel: Platzierungen im Rennen

Im obigen Laufbahn-Beispiel haben wir ermittelt, auf wie viele Arten alle acht Läufer auf die Bahnen verteilt werden können. Betrachten wir nun den Ausgang desselben Rennens, bei dem drei Medaillen vergeben werden. Der Erstplatzierte erhält die Goldmedaille, der Zweite die Silbermedaille und der Dritte die Bronzemedaille. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, aus dem Startfeld von 8 Läufern das Siegerpodest (Gold, Silber, Bronze) zu besetzen?

Nach dem fundamentalen Zählprinzip kann jeder der 8 Läufer den ersten Platz erreichen. Ist der erste Platz vergeben, verbleiben noch sieben Läufer im Kampf um den zweiten Platz. Nach Vergabe des zweiten Platzes kämpfen schließlich noch sechs Läufer um den dritten Platz auf dem Treppchen. Die Gesamtzahl der möglichen Permutationen für die Plätze 1 bis 3 bei insgesamt 8 Läufern berechnet sich also wie folgt: 8 × 7 × 6 = 336.

Setzen wir diese Werte in unsere Permutationsformel ein:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

So erhalten wir folgendes Ergebnis:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Tragen Sie zur Bestätigung in unserem Permutationsrechner einfach eine 8 in das Feld n (Objekte) und eine 3 in das Feld r (Stichprobe) ein. Ein Klick auf "Berechnen" bestätigt sofort das Ergebnis: 336.

Der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen

In der Kombinatorik bilden Kombinationen eine weitere zentrale Berechnungsmethode. Kombinationen beschreiben die verschiedenen Wege, eine kleinere Stichprobe der Größe r aus einer größeren Gesamtmenge n auszuwählen. Die Anzahl der Kombinationen von r Elementen aus n Objekten wird mathematisch meist als ₙCᵣ dargestellt.

Wie bereits gelernt, ist bei einer Permutation die spezifische Reihenfolge der Elemente entscheidend. Genau hier liegt der essenzielle Unterschied: Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge der Auswahl absolut keine Rolle.

Erinnern wir uns an die Anordnung der Buchstaben XYZ in Zweiergruppen. Bei den Permutationen erhielten wir sechs Varianten (XY, XZ, YZ, YX, ZX und ZY), da hierbei XY und YX als unterschiedlich zählten.

Betrachten wir nun jedoch die Kombinationen dieser Buchstaben, so reduzieren sich diese auf nur drei: XY, XZ und YZ. Der Grund dafür ist simpel: Bei Kombinationen werden XY und YX als exakt dasselbe Paar betrachtet. Das Gleiche gilt für XZ und ZX sowie für YZ und ZY. Die Anordnung ist bei der Berechnung von Kombinationen also irrelevant.

Zur Berechnung der Anzahl der Kombinationen von r Objekten aus einer Gesamtmenge von n Objekten dient diese Formel:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Beispiel: Berechnung von Kombinationen

Kehren wir noch einmal zu unserem Läufer-Beispiel zurück. Zuvor berechneten wir die Verteilung auf die Plätze 1, 2 und 3. Angenommen, uns interessiert nun lediglich, auf wie viele Arten wir überhaupt 3 Medaillengewinner aus dem 8-köpfigen Teilnehmerfeld ermitteln können – völlig unabhängig von ihrer genauen Platzierung. Es zählt nur, dass der Läufer eine Medaille gewinnt, egal ob Gold, Silber oder Bronze.

Da die exakte Reihenfolge der Medaillen in diesem Szenario keine Rolle spielt, greifen wir auf Kombinationen zurück. Wir lösen das Problem folglich mit der Kombinationsformel:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Die Anzahl der Wege, 3 beliebige Gewinner aus 8 Läufern auszuwählen, berechnet sich dann wie folgt:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Weitere Praxisbeispiele zur Permutationsberechnung

1. Ein Nachrichtenproduzent muss 3 von 5 möglichen Gastsprechern für seine anstehende Talkshow auswählen. Die Reihenfolge ihrer Auftritte ist dabei von großer dramaturgischer Bedeutung. Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die Präsentationen der ausgewählten Gäste in die Sendung einplanen? Da die Reihenfolge ausschlaggebend ist und jeder Gast nur einmalig in der Sendung auftreten kann (keine Wiederholung), ist die Permutationsformel hier das Werkzeug der Wahl:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Dem Produzenten stehen demnach exakt 60 Möglichkeiten zur Verfügung, die Abfolge der Sprecher zu gestalten.

2. Ein renommierter Restaurantkritiker hat 10 exzellente Sushi-Lokale in der Stadt besucht und möchte nun eine Top-3-Rangliste erstellen. Die Restaurants müssen zwingend in einer festen Reihenfolge präsentiert werden, die ihren Rang widerspiegelt. Ein Restaurant darf naturgemäß nicht doppelt in den Top 3 vertreten sein. Die grundlegenden Bedingungen für eine Permutation – Relevanz der Reihenfolge und keine Wiederholung – sind somit erfüllt. Wir nutzen die Permutationsformel:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

Es existieren somit 720 verschiedene Wege, diese Top-3-Liste zu erstellen.

3. Ein wichtiger Hinweis: Wenn in der Kombinatorik von einer "festen Reihenfolge" gesprochen wird, muss diese nicht immer streng numerisch (wie Platz 1 bis 3) sein. Die Reihenfolge kann sich auch durch verschiedene, klar definierte Einsatzorte oder Aufgabenstellungen ergeben, denen Personen zugeordnet werden.

Stellen wir uns beispielsweise den Einsatzleiter eines Malerbetriebs vor, der heute vier spezifische Aufträge koordinieren muss: Es gilt, das Büro einer Visa-Agentur, ein Fabriklager, ein Bekleidungsgeschäft und ein Zimmer in einer Privatwohnung zu streichen. Der Betrieb beschäftigt insgesamt sechs Maler. Jeder Maler kann pro Tag genau ein Objekt übernehmen, was bedeutet, dass heute zwei Maler frei haben werden.

Die vier unterschiedlichen Auftragsorte – Visa-Agentur, Fabriklager, Bekleidungsgeschäft und Privatwohnung – fungieren in diesem Modell de facto als die festgelegten Positionen 1, 2, 3 und 4.

Der Einsatzleiter durchläuft bei der Personalplanung folgenden Prozess:

• Für das Büro der Visa-Agentur stehen zunächst alle 6 Mitarbeiter zur Verfügung.
• Ist das Büro besetzt, können 5 verbleibende Mitarbeiter dem Fabriklager zugewiesen werden.
• Für das Ladengeschäft bleiben noch 4 mögliche Mitarbeiter übrig.
• Die Zuweisung für die Privatwohnung erfolgt schließlich aus den 3 noch verfügbaren Malern.

Rein intuitiv lässt sich die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten also über das Produkt 6 × 5 × 4 × 3 = 360 errechnen.

Die mathematischen Bedingungen sind eindeutig: Die Reihenfolge, in der die Maler den unterschiedlichen Standorten zugewiesen werden, ist essenziell. Zugleich sind Wiederholungen ausgeschlossen – kein Maler darf am selben Tag an mehr als einem Objekt arbeiten. Unter diesen Voraussetzungen ist die Permutationsformel erneut die perfekte Lösung:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Es gibt also stolze 360 verschiedene Möglichkeiten für den Einsatzleiter, seine verfügbaren Maler unter diesen spezifischen Bedingungen auf die Tagesaufträge zu verteilen.